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初中数学几个常用模型
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初中数学几个常用模型
关注微信公众号来源：兰老师初中数学研究会（许兴华数学/选编）
【模型1】倍长
1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连
【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE．
（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.
角平分线模型
【模型1】构造轴对称
【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形
【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为.
三手拉手模型
【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为.
四邻边相等的对角互补模型
【例】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，FG⊥BE于F，则DF为.
一线三角模型
最短路径模型
【两点之间线段最短】
1、将军饮马
【垂线段最短】
【两边之差小于第三边】
已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
求证：EG=CG且EG⊥CG；
将图1中BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？
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许兴华数学初中数学重要知识点初中数学必考知识全解解题模型
初中数学重要知识点初中数学必考知识全解解题模型
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&　　初中数学重要知识点初中数学必考知识全解解题模型。有理数是很重要的知识，三好网初中数学辅导名师把这些知识整理出来发给大家，大家在这个周末放假时间多多复习一下吧!
　　重要知识点基本知识
　　㈠、数与代数A、数与式：
　　1、有理数
　　有理数：
　　①整数&正整数/0/负整数
　　②分数&正分数/负分数
　　数轴：
　　①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
　　②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
　　③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
　　④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
　　绝对值：
　　①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
　　②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
　　有理数的运算：
　　加法：
　　①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
　　②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
　　③一个数与0相加不变。
　　减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
　　乘法：
　　①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
　　②任何数与0相乘得0。
　　③乘积为1的两个有理数互为倒数。
　　除法：
　　①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
　　②0不能作除数。
　　乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
　　混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
　　2、实数
　　无理数：无限不循环小数叫无理数
　　平方根：
　　①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
　　②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
　　③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
　　④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
　　立方根：
　　①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
　　②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
　　③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
　　实数：
　　①实数分有理数和无理数。
　　②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
　　③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
　　3、代数式
　　代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。
　　合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
　　4、整式与分式
　　整式：
　　①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。
　　②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
　　③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
　　整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
　　幂的运算：AM+AN=A(M+N)
　　(AM)N=AMN
　　(A/B)N=AN/BN 除法一样。
　　整式的乘法：
　　①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
　　②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
　　③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
　　公式两条：平方差公式/完全平方公式
　　整式的除法：
　　①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
　　②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
　　分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
　　方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
　　分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
　　分式的运算：
　　乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
　　除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
　　加减法：
　　①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
　　②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。
　　分式方程：
　　①分母中含有未知数的方程叫分式方程。
　　②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
　　方程与不等式
　　1、方程与方程组
　　一元一次方程：
　　①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
　　②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。
　　解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
　　二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
　　二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
　　适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
　　二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
　　解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
　　一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程
　　1一元二次方程的二次函数的关系
　　大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了
　　2一元二次方程的解法
　　大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解
　　(1)配方法
　　利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解
　　(2)分解因式法
　　提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解
　　(3)公式法
　　这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+&[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-&[b2-4ac)]}/2a
　　3解一元二次方程的步骤：
　　(1)配方法的步骤：
　　先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
　　(2)分解因式法的步骤：
　　把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
　　(3)公式法
　　就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
　　4.韦达定理
　　利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a
　　也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用
　　5一元一次方程根的情况
　　利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为&△&，读作&diao ta&，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：
　　I当△&0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;
　　II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根;
　　III当△&0时，一元二次方程没有实数根(在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根)
　　2、不等式与不等式组
　　不等式：
　　①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
　　②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
　　③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
　　④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
　　不等式的解集：
　　①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
　　②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
　　③求不等式解集的过程叫做解不等式。
　　一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
　　一元一次不等式组：
　　①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
　　②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
　　③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
　　一元一次不等式的符号方向：
　　在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
　　在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：A&B,A+C&B+C
　　在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：A&B，A-C&B-C
　　在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：A&B，A*C&B*C(C&0)
　　在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：A&B，A*C
　　如果不等式乘以0，那么不等号改为等号
　　所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;
　　3、函数
　　变量：因变量，自变量。
　　在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
　　一次函数：
　　①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B(B为常数，K不等于0)的形式，则称Y是X的一次函数。
　　②当B=0时，称Y是X的正比例函数。
　　一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限;当K〈0，B〉0时，则经124象限;当K〉0，B〈0时，则经134象限;当K〉0，B〉0时，则经123象限。④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。
　　空间与图形
　　A、图形的认识
　　1、点，线，面
　　点，线，面：
　　①图形是由点，线，面构成的。
　　②面与面相交得线，线与线相交得点。
　　③点动成线，线动成面，面动成体。
　　展开与折叠：
　　①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。
　　②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
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