定积分计算器
定积分计算器
请输入你需要积分的函数表达式:
定积分计算器可以用数值积分的方法，计算出一个函数在确定积分区间上的定积分。要求的定积分也可以在函数图所在的x-y平面上用标记的区域来表示。
定积分的范例
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＞＞＞计算下列定积分的值：（1）；（2）.-高二数学-魔方格
计算下列定积分的值：（1）；（2）.
题型：解答题难度：偏易来源：不详
（1）；（2）.试题分析：（1）利用常见函数的导数公式，找到函数，使得，所以（这是定区间的积分问题，通常只须取进行计算即可），然后利用微分定理可得，从中进行运算即可；（2）在计算一些函数的定积分时，通常先要将积分函数化简为，然后利用常见函数的导数公式，找到，使得，从而，从中进行运算即可.试题解析：（1）因为所以（2）因为且所以.
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据魔方格专家权威分析，试题“计算下列定积分的值：（1）；（2）.-高二数学-魔方格”主要考查你对&&定积分的概念及几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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定积分的概念及几何意义
定积分的定义：
设函数f（x）在[a，b]上有界（通常指有最大值和最小值），在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间（i=1，2，…，n），记每个小区间的长度为（i=1，2，…，n），在上任取一点ξi，作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）&（i=1，2，…，n），并求和，记λ=max{△xi；i=1，2，…，n }，如果当λ→0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，&称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。
定积分的几何意义：
定积分在几何上，当f（x）≥0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当f（x）≤0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=f（x）、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。 定积分的性质：
（1）（k为常数）； （2）； （3）（其中a＜c＜b）。 &定积分特别提醒：
①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：&②定义中区间的分法和ξ的取法是任意的，
发现相似题
与“计算下列定积分的值：（1）；（2）.-高二数学-魔方格”考查相似的试题有：
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& & &一、符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：&&syms x y z %定义符号变量&&F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =/*2^(1/2)+*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解&&VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.32805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。2.数值积分的实现方法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。例：求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。&&fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname&&Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法Isim =0.425IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法IL =0.447三、梯形法求向量积分trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。&&d=0.001;&&x=0:d:1;&&S=d*trapz(exp(-x.^2))S=&0.7468或：&&format long g&&x=0:0.001:1; %x向量，也可以是不等间距&&y=exp(-x.^2); %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量&&S=trapz(x,y); %求向量积分S =0.185int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。&[FROM: 58.192.116.*]对于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被积函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：&& syms x&&y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))&&s=int(y,x,0,inf)&y =exp((-x^2-x-1)/(1+x))Warning: Explicit integral could not be found.&& In sym.int at 58&s =int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0 .. Inf)只有通过数值计算解法&& dx=0.05; %采样间隔&&&x=0:dx:1000; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响&&y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));&&S=dx*cumtrapz(y); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得&&S(end)&ans =0.5641 %所求定积分值或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：%表达式保存为函数文件function y=fxy(x)y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x)); % save fxy.m% main --------主程序clear,clch=.001;p=0;a=0;R=input('请输入积分上限，R=')while a&Rp=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;a=a+h;endp=vpa(p,10)运行主程序后得到结果：请输入积分上限，R=1000R =1000p =&.其它结果如下：0-1: int=.0-2: int=.0-5: int=.0-10: int=.0-100: int=.0-1000: int=.&[FROM: 211.65.33.*]在积分函数中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了，可以求三重积分了。&完整函数程序：&function Fn(n1,n2,n3)&if n1==0&e1=1;&else if n1&0&e1=2;&end&end&if n2==0&e2=1;&else if n2&0&e2=2;&end&end&if n3==0&e3=1;&else if n3&0&e3=2;&end&end&F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);&S=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5) %求三重数值积分将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：&& Fn(1,1,1)S =866.9655&[FROM: 211.65.33.*]三重积分请用三重积分函数triplequad，与三个积分上下限对应，即x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)其中被积函数F用"匿名函数"来表达，即&F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);&如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了。&完整函数程序：&function Fn(n1,n2,n3)&if n1==0&e1=1;&else if n1&0&e1=2;&end&end&if n2==0&e2=1;&else if n2&0&e2=2;&end&end&if n3==0&e3=1;&else if n3&0&e3=2;&end&end&F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);&x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)&&& Fn(1,1,1)x =866.9655&
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历史上的今天
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blogAbstract:'转自：http://www.zhixing123.cn/jiaocheng/9580.html& & &一、符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时',
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