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高一数学三角函数压轴题，感觉太容易了有些不对劲，求助一下请帮忙
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若对于任意的&&[0,&/2]，都有f(2a+cos&)+f(a*cos&-1)&0恒成立，求实数a的取值范围。怎么算，都求出来只有一个a&0，可这是压轴题呀，不应该这么简单呀？求数学帝急救呀
问题补充：
100分呢，哥哥们，这么简单的题你们不来？
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你好！f(2a+cos&)+f(a*cos&-1)&=0f(2a+cos&)&=-f(a*cos&-1)=f(-a*cos&+1)&&&&（这一步是用到奇函数性质(⊙o⊙)哦）根据是增函数所以2a+cos&&=-a*cos&+1恒成立(2+cos&)*a&=1-cos&a&=(1-cos&)/(2+cos&)对于&&[0,&/2]上恒成立所以a要小于等于右边式子的在&&[0,&/2]上的最小值我们假设g(&)=(1-cos&)/(2+cos&),其中&&[0,&/2]，那么cos&&[0,1]所以当cos&=1时，g(&）最小=0所以a&=0你是对的(⊙o⊙)哦追问&&嗯，我也是这么算出来的，可总感觉缺了些神马&回答&&没有(⊙o⊙)哦，这是对的，这里已经考了奇函数的性质，单调函数的性质，另外还是一个恒成立的题目，所以这个是压轴题也是正常的(⊙o⊙)哦有时候吧题目用到的已知都用上了，这个题目也就完成了，不要太顾虑了，\(^o^)/~以前我也是这么觉得总少考虑某个了，可是长大后就会觉得那也是很正常的，但是还是要学会相信自己，这也很重要！增强自信！You&are&Number&one！&追问&&f(2a+cos&)+f(a*cos&-1)&0f(2a+cos&)-f(-a*cos&+1)&0f(2a+cos&)&=f(-a*cos&+1)2a+cos&&=-a*cos&+1cos&&=(1-2a)/(1+a)1&=(1-2a)/(1+a)-1&=a&=0&有个人是这么回答的，我一看也迷茫了，感觉没问题呀，可是一验算就是错的，能帮忙看看嘛Edit：看明白了=&=这人解不等式没考虑变号的问题&回答&&好的！这个我刚才也看见他的回答了的，他这个解法是错的，希望不要误解你他这里有一个致命的错误，那就是根据2a+cos&&=-a*cos&+1直接得到cos&&=(1-2a)/(1+a)敢问，我们题目本来就是求a的范围，那么我们怎么知道a+1的正负呢所以怎么直接把1+a除过去做分母呢，而且我们也不知道是否不等式方向变号所以对于恒成立的题目这样子的解法就是唯一的那就是把要求的变量提到一边，然后根据已知得到另一边的最大或者最小值，这是恒成立题目的通性解法(&⊙&o&⊙&)啊！他的那个不知你明白怎么错了吗不懂还可以问哦&|评论&&&求助知友wangwei88min&|来自团队雄鹰展翅英语团&&|十七级采纳率58%擅长领域：教育/科学提问者对回答的评价：Thanks&&&&&&&&&&&&&相关内容&&&&&&&&&&高一数学三角函数题&&&&&20&&&&&&&高一数学必修4三角函数的几道题&&&&&33&&&&&&&求高一数学必修4三角函数的10道选择题&&&&&43&&&&&&&谁有高一数学三角函数题的规律和题型?&&&&&30&&&&&&&【高一数学】同角三角函数公式证明题》》》&&&&&22&&&&&&&&&&更多相关问题&&&&&&&&&&&&&&&&&三角函数:数学&&&&&&三角函数:高一&&&&&&三角函数:图像&&&&&&三角函数:诱导公式&&&&&&&&&&&&&高一三角函数数学题&&&&5&&&&&&&关于三角函数的数学题&&&&4&&&&&&&一道三角函数的数学题&&&&2&&&&&&&高中三角函数数学题一道&&&&1&&&&&&&高一三角函数数学题&急！~&&&&1&&&&&&&&更多关于三角函数:数学的问题&&&&&&&&&&&&&&高一三角函数数学题&&&&20&&&&&&&有关三角函数&高一数学&&&&&&&&&两道三角函数的高一题&&&&&&&&&一道三角函数题，高一的，求解答，急急急！！&&&&1&&&&&&&高一三角函数问题&&&&7&&&&&&&&更多关于三角函数:高一的问题&&&&&&&&&&&&&&三角函数的图像平移&&&&120&&&&&&&三角函数图像的平移？&&&&82&&&&&&&三角函数的图像和性质&&&&68&&&&&&&三角函数图像变换&&&&55&&&&&&&三角函数的图像变换&&&&51&&&&&&&&更多关于三角函数:图像的问题&&&&&&&&&&&&&&三角函数诱导公式怎么记?&&&&270&&&&&&&三角函数&诱导公式&&&&215&&&&&&&三角函数诱导公式&&&&155&&&&&&&要所有三角函数诱导公式&&&&206&&&&&&&三角函数诱导公式的推导&&&&36&&&&&&&&更多关于三角函数:诱导公式的问题&&&&&&&&&&&&&&&&其他回答&共4条&&&&&&00:04littlepigus|十二级f(x)是定义在R上的奇函数&=&&f(0)=0，&f(-x)=f(x)且f(x)在R上单调递增&=&&当a1&a2，&f(a1)&=f(a2)&f(2a+cos&)+f(a*cos&-1)&0&=&2a+cos&+a*cos&-1&=0a(1+2cos&)&=1-cos&&&[0,&/2]=&a&=(1-cos&）/（1+2cos&）
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三角函数的图象与性质
知识点总结
知识点总结
&&&&&&& 本节主要包括三角函数的图象及其性质、函数y=Asin(ax+b)、y=Acos(ax+b)及y=Atan(ax+b)的图象及其性质。关键是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。
&&&&&& 1．三角函数的图象及性质&
&&&&&& (1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
&&&&&&& 本节知识在段考中是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。
知识点精练
练习题一　难易度：易
练习题二　难易度：中
练习题三　难易度：难
[高三数学]已解答
提问学生：
题型:解答题
德智币:6.0德智币
提问时间: 12:38
问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下
[高三数学]已解答
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题型:解答题
德智币:6.0德智币
提问时间: 17:02
问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下
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『碎片时间快速学，提分更轻松』2014年高考数学三角函数试题汇编
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2014年高考数学三角函数试题汇编
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2014年高考数学三角函数试题汇编
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM &&&&&&&&&&&&&&&&&& 数&&& 学&C单元　三角函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C1& 角的概念及任意角的三角函数6．、[;新课标全国卷Ⅰ] 如图1&1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　) 6．C　 C2& 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16．、、[;福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0&α&π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×22＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.17．，，[;重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω&0，－π2≤φ&π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若fα2＝34π6&α&2π3，求cosα＋3π2的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sinα－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.因此cosα＋3π2＝sin α＝sin（α－π6）＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.
C3& 三角函数的图象与性质9．[;辽宁卷] 将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数(　　)A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D．在区间－π6，π3上单调递增9．B　3．[;全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)A．a&b&c& B．b&c&a& C．c&b&a& D．c&a&b3．C　6．、[;新课标全国卷Ⅰ] 如图1&1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　) 6．C　14．、[;新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．14．1　17．，，[;重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω&0，－π2≤φ&π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若fα2＝34π6&α&2π3，求cosα＋3π2的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sinα－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.因此cosα＋3π2＝sin α＝sin（α－π6）＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.
C4　函数 的图象与性质3．[;四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点(　　)A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度3．A　
11．[;安徽卷] 若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．11.3π8　14．[;北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A&0，ω&0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．14．π&16．、、[;福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0&α&π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×22＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.7．、[;广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4& B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行& D．l1与l4的位置关系不确定7．D　&17．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．16．、[;江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．16．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sin x＋cos x)－2sin x＝22cos x－22sin x＝sinπ4－x.因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，f（π）＝1，得cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin2θ－sin θ－a＝1.又θ∈－π2，π2，知cos θ≠0，所以1－2asin θ＝0，（2asin θ－1）sin θ－a＝1，解得a＝－1，θ＝－π6.12．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C16．，[;山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a•b，且y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2.(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.因为y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，解得m＝3，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6.由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6.设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y＝g(x)得，sin2φ＋π6＝1.因为0&φ&π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin2x＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.2．[;陕西卷] 函数f(x)＝cos2x－π6的最小正周期是(　　)A.π2& B．π& C．2π& D．4π2．B　16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.15．、、[;天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34＝12sin x•cos x－32cos2x＋34＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34＝14sin 2x－34cos 2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.4．[;浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝2cos 3x的图像(　　)A．向右平移π4个单位& B．向左平移π4个单位C．向右平移π12个单位& D．向左平移π12个单位4．C　17．，，[;重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω&0，－π2≤φ&π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若fα2＝34π6&α&2π3，求cosα＋3π2的值．17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sinα－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.因此cosα＋3π2＝sin α＝sin（α－π6）＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.
C5& 两角和与差的正弦、余弦、正切14．、[;新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．14．1
16．、[;安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝sin A2sin B，所以由正弦定理可得a＝2b•a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 3.(2)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.因为0&A&π，所以sin A＝1－cos2A＝1－19＝2 23.故sinA＋π4＝sin Acosπ4＋cos Asinπ4＝2 23×22＋－13×22＝4－26.7．、[;广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4& B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行& D．l1与l4的位置关系不确定7．D　&16．、[;广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.17．[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．17．、[;辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a&c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→•BC→＝2得c•a•cos B＝2，又cos B＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23•2&& 23＝ 4 29.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝1－4 292＝79.所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [;全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝13，求B.17．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝12.所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－1，所以B＝135°.8．[;新课标全国卷Ⅰ] 设α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则(　　)A．3α－β＝π2& B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2& D．2α＋β＝π28．C　13．，[;四川卷] 如图1&3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)&图1&3
13．60　16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.15．、、[;天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34＝12sin x•cos x－32cos2x＋34＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34＝14sin 2x－34cos 2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.10．，[;重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)A．bc(b＋c)&8& B．ab(a＋b)&162& C．6≤abc≤12& D．12≤abc≤2410．A　
C6& 二倍角公式15．、[;全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．&15.43　16．、[;全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间π6，π2是减函数，则a的取值范围是________．16．(－∞，2]　
16．、、[;福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.(1)若0&α&π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×22＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12＝12sin 2x＋12cos 2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0&α&π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.15．、、[;天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34＝12sin x•cos x－32cos2x＋34＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34＝14sin 2x－34cos 2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
C7& 三角函数的求值、化简与证明16．、[;广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.17．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．16．、[;江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．16．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sin x＋cos x)－2sin x＝22cos x－22sin x＝sinπ4－x.因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，f（π）＝1，得cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin2θ－sin θ－a＝1.又θ∈－π2，π2，知cos θ≠0，所以1－2asin θ＝0，（2asin θ－1）sin θ－a＝1，解得a＝－1，θ＝－π6.16．，，，[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin& αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α&0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
C8　解三角形12．[;天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．12．－14　
16．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．16．[－1，1]　
12．[;广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________．12．2　
&16．、[;安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝sin A2sin B，所以由正弦定理可得a＝2b•a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 3.(2)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.因为0&A&π，所以sin A＝1－cos2A＝1－19＝2 23.故sinA＋π4＝sin Acosπ4＋cos Asinπ4＝2 23×22＋－13×22＝4－26.15．[;北京卷] 如图1&2，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．&图1&2
15．解：(1) 在△ADC中，因为cos ∠ADC＝17，所以sin ∠ADC＝4 37.所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝4 37×12－17×32＝3 314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB•sin ∠BADsin ∠ADB＝8×.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC＝7.12．[;福建卷] 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　3，则△ABC的面积等于________．12．2　318．、[;湖南卷] 如图1&5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.&图1&5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC•AD，故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－.于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD　　 ＝3－－714×217　　 ＝32.在△ABC中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC＝AC•sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.4．[;江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是(　　)A．3& B.9 32& C.3 32& D．3 34．C　17．、[;辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a&c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→•BC→＝2得c•a•cos B＝2，又cos B＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23•2&& 23＝ 4 29.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝1－4 292＝79.所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17． [;全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝13，求B.17．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝12.所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－1，所以B＝135°.16．[;新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)•(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．16.34．[;新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝(　　)A．5& B.5& C．2& D．14．B　12．，[;山东卷] 在△ABC中，已知AB→•AC→＝tan A，当A＝π6时，△ABC的面积为______．12.16　16．，，[;陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．16．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为12.13．，[;四川卷] 如图1&3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)&图1&3
13．60 18．　[浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A＝45，求△ABC的面积．18．解：(1)由题意得1＋cos 2A2－1＋cos 2B2＝32sin 2A－32sin 2B，即32sin 2A－12cos 2A＝32sin 2B－12cos 2B，sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.(2)由c＝3，sin A＝45，asin A＝csin C，得a＝85.由a&c，得A&C，从而cos A＝35，故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝4＋3 310.所以，△ABC的面积为S＝12acsin B＝8 3＋1825.10．，[;重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)A．bc(b＋c)&8& B．ab(a＋b)&162& C．6≤abc≤12& D．12≤abc≤2410．A　[解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋12，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋12，所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋12，所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋12， 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12，所以sin Asin Bsin C＝18.由1≤S≤2，得1≤12bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2•sin Asin Bsin C≤2，所以1≤R24≤2，即2≤R≤2　2，所以bc(b＋c)&abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.
&&&& C9& 单元综合16．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．16．[－1，1]　
17．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)&11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3&11，即sinπ12t＋π3&－12.又0≤t&24，因此7π6&π12t＋π3&11π6，即10&t&18.故在10时至18时实验室需要降温．18．、[;湖南卷] 如图1&5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.&图1&5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC•AD，故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－.于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD　　 ＝3－－714×217　　 ＝32.在△ABC中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC＝AC•sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.21．、[;辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln3－2xπ.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1&π.21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝－(1＋sin x)•(π＋2x)－2x－23cos x&0，函数f(x)在0，π2上为减函数．又f(0)＝π－83&0，fπ2＝－π2－163&0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.(2)记函数h(x)＝3（x－π）cos x1＋sin x－4ln3－2πx，x∈π2，π.令t＝π－x，则当x∈π2，π时，t∈0，π2.记u(t)＝h(π－t)＝3tcos t1＋sin t－4 ln1＋2πt，则u′(t)＝3f（t）（π＋2t）（1＋sin t）.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)&0，当t∈x0，π2时，u′(t)&0.故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)&0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．在x0，π2上u(t)为减函数，由u(x0)&0，uπ2＝－4ln 2&0，知存在唯一t1∈x0，π2，使u(t1)＝0，故存在唯一的t1∈0，π2，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈π2，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈π2，π时，1＋sin x&0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.因为x1＝π－t1，t1&x0，所以x0＋x1&π.21．、[;辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln3－2xπ.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1&π.21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝－(1＋sin x)•(π＋2x)－2x－23cos x&0，函数f(x)在0，π2上为减函数．又f(0)＝π－83&0，fπ2＝－π2－163&0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.(2)记函数h(x)＝3（x－π）cos x1＋sin x－4ln3－2πx，x∈π2，π.令t＝π－x，则当x∈π2，π时，t∈0，π2.记u(t)＝h(π－t)＝3tcos t1＋sin t－4 ln1＋2πt，则u′(t)＝3f（t）（π＋2t）（1＋sin t）.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)&0，当t∈x0，π2时，u′(t)&0.故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)&0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．在x0，π2上u(t)为减函数，由u(x0)&0，uπ2＝－4ln 2&0，知存在唯一t1∈x0，π2，使u(t1)＝0，故存在唯一的t1∈0，π2，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈π2，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈π2，π时，1＋sin x&0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.因为x1＝π－t1，t1&x0，所以x0＋x1&π. 文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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