【图片】高数中二元函数极值求法的解析【线性代数吧】_百度贴吧
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高数中二元函数极值求法的解析收藏
首先说一下二元函数最坑爹的地方，就是偏导数，非常坑爹，各种坑，一元函数的一阶，二阶导数可以用来求极值，但是，二元函数的偏导是神马！P用木有，so，咱找找有木有可以代替它的东西。呐！就是这个啦，方向导数！（(⊙o⊙)…截图的时候没弄好，是二元函数）这里的两个角度的余弦值是向量L的单位向量的两个分量，向量L与x轴和y轴夹角分别为α和β，so，以这两个余弦值为分量的平面向量必然是单位向量了。
偏导那么面的东西有一阶二阶，方向导数必然也可以有，下面说说二阶方向导数。就是这样，一阶方向导函数再求一次导，二阶方向导数和一阶方向导数一样，也有一个简明的计算公式证明如下亲们，这个东西是不是很眼熟？那么这个矩阵的两个特征值必然一正一负，所以其行列式必须小于0。 到此为止，高数中二元函数的极值判定条件已经简要说明完了。微分导数神马的，从二元推广到更过元函数，没什么特别，就是从一元推广到二元的时候，会非常的不一样。可以这样想，一元函数嘛，自变量就一个，就是在一条直线（数轴）上变化，一维问题，只需要关注这条直线就行了，一旦推广到二元函数，就是平面上的事了，平面上有无数个方向，单纯的看x和y方向的变化情况是不够的，需要看沿任意方向的变化情况，但是，指向任意方向的向量都可以用x和y方向的一对向量来线性表示，所以，二元函数沿任意方向变化率必然也可以用沿x和y方向的变化率来表示，这就得到了方向导数和偏导数的关系。
用方向导数判定二元函数极值的形象化理解，在p0点二阶方向导数大于0，则在p0附近任意一点的一阶方向导数都大于0，想象自己站在一个盆地的最低点，向周围任何一个方向走，都是在爬坡这个最低点p0就是个极小值点。取极大值的情况也可这样想，是站在一个小山丘的最顶端，往任何一个方向走，都是下坡。。。
留名。二元函数极值还可以从这个来看啊！窃以为梯度算子就是扩展的二元函数导数。。。二次型用来求最优解和函数极值问题联系在了一起，这个要好好看看
其实那个二阶方阵有名字的。叫Hesse矩阵。
有个思路：如果上面化处的二次型是半正定或者半负定的，也是极值点，这些极值点变成了一条极值线，但是二次型若是不定的，就一定不是极值点！
觉得很好用，能转贴吗？
顶。。大赞留名
好帖~刚刚学到这里
问一下 那个向量l是在xy平面上的吗？
怎么办呢？
刚好学到这里来 我也得到了一点结论一个多元函数 如果在某点 前面n-1阶方向导数都是0 有不为0的n阶方向导数如果n是奇数 那么这点一定不是极值点（因为每项乘以方向向量分量的奇数次方 那么取相反方向 会得到相反的方向导数值 如果不是0那么肯定就不是极值点） ；n为偶 可能是极值点二阶的方向导数是个二次型；四阶的方向导数也可以看做是个二次型，其中矩阵的每个元素也是二次型 （矩阵的每个元素都是二次型的二次型）；六阶就是二次型套二次型套二次型。。。。我想问个问题 偶数高阶方向导数有没有类似二阶hessian的“正定”性质？也就是说无论哪个方向 方向导数都大于0？ 最重要的问题 有没有一个简洁的表达方式？（二次型套二次型套二次型太蛋疼）
多元函数的泰勒展开式能解决这个问题吗？最想问的问题：一阶是“向量” 二阶是“矩阵”
三阶以上是什么？有相关书籍或者资料吗？
比如 x^3+y^3 和 x^4+y^4
给你推荐一本书吧有个变分法基础，老大中写的，国防科技出版社。看看就好了，前面是讲多元函数的
楼主挺厉害的
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多元函数的极值与最值
　　摘 & &要： 本文通过几个例子的讨论说明求多元函数的极值与最值比求一元函数极值与最值要复杂得多，某些一元函数求极值与最值的方法及结论对多元函数并不适用，因此在解题时要特别注意. 中国论文网 /9/view-7127621.htm　　关键词： 驻点 & &极值 & &最值 　　我们在学习多元函数的微积分学时知道，讨论多元函数的微分及其应用时以二元函数为主，因二元以上的函数的微分理论可以由二元函数的微分理论直接类推.一元函数到二元函数则不同，有些知识可以由一元函数的理论直接类推得到，但有些知识从一元函数类推到多元函数会产生新的问题.因而如果用一元函数的一些结论解决多元函数的问题，就会出现错误认识.本文就关于求多元函数的极值与最值问题容易出现的错误认识做了探讨. 　　判断一元函数极值点的一般方法是：首先找出函数的驻点和一阶导数不存在的点.其次由极值存在的第一充分条件来判断，若某点左右两侧的导数符号相反，该点一定是极值点.最后再具体判断出是极小值点还是极大值点，从而求出函数的极值. 　　求可导的一元函数在闭区间[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函数在区间内的一切驻点（即导数为零的点），然后求出这些驻点和区间端点处的函数值，再进行比较，最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值. 　　关于一元函数的极大值与极小值和最大值与最小值，我们有这样的命题. 　　命题一：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上连续，若y=f（x）在I内两点x，x（x 　　命题二：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上可微，又在I内有唯一驻点x且为极值点，则x就是y=f（x）在区间I上的最值点. 　　这两个命题的几何意义非常明显，且很容易证明.因此，在学习多元函数的极值和最值的过程中，如果也按一元函数的理论理解上述两个命题，就很容易产生以下错误认识. 　　（1）若函数z=f（x，y）在闭区域D内可微且有多于两个极大值（或极小值）点，那么在D内，函数在闭区域D内至少存在一个极小值（极大值）点. 　　（2）若函数z=f（x，y）在有界闭区域D内可微且有唯一的驻点（x，y）（f（x，y）=f（x，y）=0）且是函数的极大值点（或极小值点），则该点必是函数的最大值点（或最小值点）. 　　以上结论对多元函数都不成立. 　　对于错误认识（1），我们有这样的例子. 　　例1：讨论函数z=f（x，y）=（1+e）cosx-ye的极值. 　　解：函数的定义区域是整个平面. 　　求驻点，解方程组 　　f（x，y）=-（1+e）sinx=0f（x，y）=e（cosx-1-y）=0 　　得无数个驻点（kπ，（-1）-1） & &k∈Z， 　　由f（x，y）=-（1+e）cosx，f（x，y）=-esinx，f（x，y）=e（cosx-2-y） 　　可知在点（2kπ，0）处： 　　在点（（2k-1）π，-2）处： 　　f（（2k-1）π，-2）-f（（2k-1）π，-2）?f（（2k-1）π，-2）=e（1+e）&0，函数无极值. 　　故可知此函数在全平面上有无穷多个极大值，但没有极小值.考察此函数的曲面形态，我们会发现，函数在全平面上的无数个极大点对应曲面上无数个小“山包”，任意两“山包”之间有沟，这些沟都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函数没有极小值. 　　对于错误认识（2），我们讨论下例. 　　例2：设z=f（x，y）=8x+y-xy-8x，D：|x|≤，|y|≤. 　　解：求驻点，解方程组 　　f（x，y）=16x-y-24x=0f（x，y）=y-x=0 　　得两个驻点（0，0）和，2.但，2不在D内，故在D内仅有唯一驻点（0，0）. 　　f（x，y）=16-48x & &f（x，y）=-1 & & f（x，y）= 　　在（0，0）点处，由f（0，0）-f（0，0）?f（0，0）=-3&0，f（0，0）=16&0，可以判定（0，0）为f（x，y）在D内的唯一极小值点.但可以求出f（x，y）在边界点，处取得最小值，f，=π-π&0，因此f（0，0）=0并非最小值. 　　由例2可知z=g（u，v）在全平面上仅有一个驻点（0，0）且在该点处由 　　g（0，0）=16，g（0，0）=-1，g（0，0）=， 　　g（0，0）-g（0，0）?g（0，0）&0，g（0，0）=16&0， 　　可以判定（0，0）为z=g（u，v）在全平面内的唯一极小值点，g（0，0）=0是极小值.但它并不是最小值，如z=g（tan1，tan1）=8-1-8=-&0.显然函数的最小值不存在，因为全平面是开区域，若有最小值，则一定是内点，是域内的极值点，但前面已证明域内极小值点不是最小值点.观察这样函数的曲面模型，我们可以看到显然在极小值点处可以形成“盆地”，但在它周围的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方，若区域有界，则最低点就在边界上. 　　由以上讨论可以看出，多元函数的极值和最值问题要比一元函数的情况复杂得多.即便在有界闭区域的边界上有限个点的函数值都大于区域内点的函数值，也不能做出区域内必有极小值点的判断，更不能得出最小值一定在区域内的结论.对极大值也是如此.所以对一般多元函数求最值的方法是首先找出函数在区域内的驻点和边界上的最值点，然后比较它们的函数值确定函数的最值点.在解决具体的实际问题中，如果根据问题的性质，我们确实可以肯定函数是在区域内部取得最值时，才能利用域内有唯一驻点且是极值点而得出此点即为最值点的结论. 　　参考文献： 　　[1]高等数学.同济大学数学教研室.高等教研出版社，1982. 　　[2]钱吉林，等.数学分析题解精粹.崇文书局，2003.
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多元函数的极值讲解.ppt 33页
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二元函数的极值 一.
二元函数的极值 二.
条件极值问题 切的联系；故以下以二元函数为例, 用多元函数微分法先来讨 多元函数极值问题有两种基本类型 (以二元函数为例) 在现代经济管理中, 有许多最优化问题属于多元函数的极 值和最值问题.
同一元函数类似, 其最值也与其极值有十分密 论多元函数的极值, 再讨论多元函数的最值. ——条件极值. 类型Ⅱ：讨论 在约束条件 下的极值 类型Ⅰ：讨论 的极值——无条件极值; 一. 二元函数的极值 若对于其相应去心邻域内的所有点(x, y) , 恒有 函数的极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点统称为极值点. 注1
与一元函数类似,
函数的极值概念是“局部”概念: 与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值. 定义7.6.1
在点 的某个邻域内有定义,
1.极值定义 例1
(1) 对于函数
由于它在点
处的 任意邻域内异于
的点处恒有
成立, 如图 故函数
处取得极大值4.
(2) 对于函数
处的任意邻域内总存在点使其 对应的函数值为正, 也存在点使其对应的函 因而点
数值为负,如右图. 同一极值,
故 故固定 y = y0 时有一元函数 在点 x0 处也一定有 定义7.6.2
能使 同时成立的点 处有极值,
且在该点的偏导数存在,
则必有 定理7.6.1 (极值存在的必要条件) 若函数 在点 证
因二元函数 处有极值， 在点 称为函数 的驻点. 2.极值的求法 (因z(0, 0) = 1,
而 z(0, y) & 1,
z(x, 0) & 1). 我们有如下充分条件： 定理7.6.2 (充分条件) 若函数 z = ?(x,
y0 )的某邻域内 注2
由定理1知： 在偏导数存在条件下,
极值点必为驻点. 但驻点却不一定是极值点. 如点(0, 0)是函数 的驻点,
又是极小值点 z(0, 0) = 0; 但点(0, 0)是函数 的驻点,
但却不是极值点. 怎样判断驻点是极值点呢？ 有连续的二阶偏导数，且 ( x0,
y0 )是驻点.
令 其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去 . 例 解 则 则在点 (1, 0) 处有 A = 12,
C = 6. 则在点(1, 2)处有A = 12,
从而 ? & 0, 故?(1, 2)非极值.
从而? & 0,
0)非极值. 则在点(?3, 0) 处有 A = ?12,
C = 6, (1, 0),
(－3, 2). 从而?&0,且A & 0,
故有极大值 ?(?3,
0). 故此函数的极大值点为(?3,
2)，极小值点为(1,
0). 则在点(?3, 2)处有A = ?12,
C = ?6, 解
在方程两边微分得 4xdx + 4ydy + 2zdz + 8zdy + 8ydz－dz = 0 例 故 z = z(x,
y)在驻点(0, ?2)处有极小值 z = 1. 故z = z(x,
y)在驻点( 0,
16/7 )处有极大值 z = ?8/7. 注3
在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点处偏 即 z(0, 0) = 1 为极大值. 只是此时定理2失效，只能用定义1 给予判定.
如函数 导数不存在的情况； 但它们也可能是函数的极值点； 如下步骤来求函数的极值：
方法小结：对于具有二阶连续偏导数的函数
可采取 (1) 求偏导数
(2) 解方程组
求出驻点；
(3) 对于每一个驻点
求出相应的二阶偏导数
的符号,并依据极值存在的充分条件判定
是极大值还是极小值； (5) 求出极值点及相应的极值. 二. 条件极值问题
前面研究的极值问题,
除了自变量须在定义域内取值外,
无其它限制条件;
但在实际中遇到的大多极值问题,除了自 变量须在定义域内取值外, 还对各自变量有一定的约束条件.
我们常将前者称为无条件极值,
后者称为条件极值. 条件极值的典型形式是: 其解法有两种:
代入法和拉格朗日乘数法. 在约束条件
下, 讨论函数
的极值. 1. 代入法:将条件极值转化为无条件极值
从而原问题变成了讨论一元函数的无条件极值问题. 确定了一个可微函数
正在加载中，请稍后...多元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?
多元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?还有就是当AC-B^2＞0时，为什么A＞0有极小值，A＜0有极大值？
这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h ,这里h为余项=f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0,因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h在极小值点的邻域,其值都比它大.所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b) 恒大于0.把它看成是x-a的2次式,恒大于0,表明A>0,且判别式小于0.即为(2B)^2-4AC0极大值点同理,只是需要A
我有更好的回答：
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与《多元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?》相关的作业问题
先根据导数等于0来求出相应的x值,然后在求出来的值左边和右边各取一个值代入导数的解析式来判断导数值是否一正一负,若是的话,则表示该点为极值点,否则不是极值点.导数是二次函数,导数等于0,若求出两个x值,分别取求得的x左右各一个值,根据导数的符号来判断是否极值点.
z=x^4+y^4-(x+y)^2,从而在直线上x+y=0上z=2x^4>0当(x,y)不等于(0,0)时成立,在直线x-y=0上z=-2x^2(2-x^2)
/>此函数可看成一个球,球心（1,1,1）半径f(x,y,z),x^2+y^2+z^2&=1也是一个球体,球心在原点.半径最大为1,而前者距原心根号3,最大值为根号3+1,最小值为根号3-1.二元函数可看成一条直线,x+y=z,求z的最大最小值,而限定范围又告诉了我们,x+y&=1,那么最大值为1,而限定条
显然长宽相等,否则可使用更少的材料制造出相同容积的箱盒记边长为x,高y则x^2 *y=100, y>=5;材料 f(x,y)=4xy+x^2=400/x+x^2因x不大于根号20,上述值在x取根号20时 最小 ,此时y等于5
在matlab里面中输入：edit zhidao_1.m输入：function y=zhidao_1(x)y=x(3)*sqrt((x(1)-0)^2+(x(2)-4)^2)+x(4)*sqrt((x(1)-1)^2+(x(2)-5)^2)+x(5)*sqrt((x(1)-2)^2+(x(2)-4)^2)+x(6)*s
syms&x&y;z=4*(x-y)-x^2-y^2;ezsurf(x,y,z)view(-30,15)[x1,y1]=solve(diff(z,x),diff(z,y))z1=4*(x1-y1)-x1^2-y1^2得到极值点：x1&=&2& y1&nbsp
_1.m输入：function y=zhidao_1(x)y=x(3)*sqrt((x(1)-0)^2+(x(2)-4)^2)+x(4)*sqrt((x(1)-1)^2+(x(2)-5)^2)+x(5)*sqrt((x(1)-2)^2+(x(2)-4)^2)+x(6)*sqrt((x(1)-3)^2+(x(2)-4)^
你好,这是我的解法,希望对你有帮助,有不清楚请追问,祝好,朋友
设平面上任意一点P(x,y)P到点(2,8)的距离为:√[(x-2)^2+(y-8)^2]因此,求得根号里面的式子的最小值即求得最短距离.用拉格朗日乘子法:L(x,y,λ)=(x-2)^2+(y-8)^2+λ(y^2-4x)令▽L=0,即L'x=0,L'y=0,L'λ=0即:x-2=2λ……(1)y-8=λy……(2)
80.f(x,y)=-(x-2)^2-(y+2)^2+8显然f(x,y)≤8 当且仅仅当x=2;y=-2所以f(x,y) max=f(2,-2)=8这题用偏导数做太麻烦,没必要 再问： 必须用偏导数再问： 规定再问： 希望可以详细写出步骤，最好写在纸上 再答： 再问： 图片，我看不到，可以发一下吗？ 再答： 令fx=0
授之以鱼不如授之以渔,我告诉你方法你,以后遇到这种题就没问题了.写出原函数对x,y的偏导数,然后令fx=0、fy=0,求出x,y值,再算原函数的二阶偏导数,记fxx=A、fxy=B、fyy=C,带入刚才求得的x、y值,如果算出B^2-AC小于零就有极值（其他情况就不能确定极值）,A大于0就是极大值,A小于0就是极小值.
F'x=(2x+2y-x^2-2xy)e^(-x+y)=0,得：2x+2y-x^2-2xy=0 1）F'y=(2x+x^2+2xy)e^(-x+y),得：2x+x^2+2xy=0 2）A=F"xx=(2-4x-4y+x^2+2xy)e^(-x+y) B=F"xy=(2+2y-x^2-2xy)e^(-x+y)C=F"yy
首先各自变量的偏导为0,能求出z(x,y)的唯一驻点(0,-1)计算在(0,-1)的Hesse矩阵,发现A=∂²z/∂x²=4,B=∂²z/(∂x∂y)=-2(y+1)=0,C=∂²z/∂y&#1
不可以.反例：f(x,y)=xy+y,F(x,y,z)=x+y+z,则由M(x,y,z)＝f(x,y)＋λF(x,y,z)可以解得极值点（-1,0）.由M(x,y,z)＝F(x,y,z)＋λf(x,y)无法解题.
有个叫拉格朗日求极值法,原函数h（）=0,就是先设一个λ,令f()=λh(),然后h分别对各个自变量,(包括λ)求偏导数,并让其等于0,就可解得各个自变量和λ的值,各个代入,检验,即可
设高度H 底边为b 腰与竖直的加角是 us=0.5(2b+2htanu)hb=s/h-htanuc=b+2h/cosu带入bc=s/h-h(sinu-2/cosu)再对(sinu-2/cosu）求一介导得 1-2sinu/cosu平方sinu=1/2所以当与水平面夹角为60 腰与底边相等 注意在算周长的时候上底是不要的
利用二元函数的充分条件可以判断,AC-B^2与0的大小关系就能判断.如果是隐函数你可以对直接对隐函数求导来求A B C
f'x(x,y)=cosx-cos(x+y)=0 => cosx = cos(x+y)f'y(x,y)=cosy-cos(x+y)=0 => cosy = cos(x+y)0 ≤ x,y ≤ 2 Pi,两个方程联立,x=y = x+y,x=y = 2Pi - (x+y),x+y = 2Pi => x=y=0; x=y=多元函数的极值及其求法_百度文库
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