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数学 学年论文 毕业论文 数项级数敛散性判别法归纳总结与解题思路分析
数项级数敛散性判别方法归纳总结与解题思路分析摘要文章对数项级数敛散性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路关键词数项级数敛散性判别方法归纳总结解题思路引言在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下教材中常数项级数敛散性判别方法有以下多种特殊项级数（一）等比级数（几何级数）判别法01?????ARN（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散1?R?（二）级数判别法?P01???PN1当时，级数发散0??2当时，级数收敛1?P正项级数（三）比较原则设与是两个正项级数，若?NUNV（2）当时，两级数同时收敛或同时发散；???10（3）当且级数收敛时，级数也收敛；?LNNU2（4）当且级数发散时，级数也发散；???L?NVNU（四）比式判别法（极限形式）若为正项级数，且则NULIMQN??11当时，级数也收敛；1?QN2当时，或时，级数发散；????NU注当时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的例如，级数与，它们的比式极限都是?21N但是收敛的，而是发散的1LIM????NU?2（五）根式判别法（极限形式）若为正项级数，且则NU1LIM???NU1当时，级数收敛1?L2当时，级数发散?注当时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与?L?21N，二者都有，但是收敛的，而是发散的但是?N11IM?NU?2NN1收敛的，而是发散的（六）积分判别法设是上非负递减函数那么正项级数与非正F???,NF常积分同时收敛或同时发散；???1DXF（七）拉贝判别法（极限形式）若为正项级数，且NURUN?????1LIM存在，则1当时，级数收敛；1?R?N2当时，级数发散；?U3当时拉贝判别法无法判断?R一般项级数3（八）级数若，则此级数发散???1NU0LIM??N（九）柯西收敛准则级数收敛的充要条件当??1NU,,0NN?????NNM??时，有P??????MPMUU21（十）绝对收敛定义法若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则?N?NU原级数收敛；N（十一）莱布尼兹判别法若交错级数满足下述两??,21,01?????UN个条件1数列单调递减；??NU20LIM???则级数收敛??,21,1?????N（十二）阿贝耳判别法设级数若为单调有界数列，且级数NBA??收敛，则级数收敛NBNBA（十三）狄利克雷判别法设级数若单调递减，且又级数?N0LIM???NA的部分和数列有界，则级数收敛N每个级数收敛的判别方法往往不是唯一的，按什么步骤判别其敛散性才能较快地得出结论呢1等比级数和级数的敛散性判别比较简单，由级数的形式就可直接?P看出；由，即可判断，级数发散；比式判别法和根式判别法只0LIM???NUNU要算出和的值即可。前者比后者更常用，但后者较之前者更有N1LI?NLI效（见例1），以上这些方法都比较简单，应优先考虑比较原则需要找一个已知其敛散性的级数作比较（见例2）积分判别法是利用非负函数的单调性和4积分性质，并以非正常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性的方法（见例3）比式判别法和根式判别法是基于把要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一几何级数的通项收敛速度快的级数，这两种方法才能鉴定出它的收敛性如果级数的通项收敛于零的速度较慢，就必须寻找级数的通项收敛于零的速度较慢的级数作为比较标准，那么以P级数为比较标准，得到拉贝判别法（见例4）对于一般项级数应先判别的敛散性，可按正项级数的敛散性判别方法判定，若???1NU收敛，则绝对收敛（见例5），若发散再看是否满足交错级??1NU?1N???1NU数的收敛条件，若满足则为条件收敛（见例6）对于行如的级数可用阿??1NBA贝尔判别法（见例7）或狄利克雷判别法（见例8）判别其收敛性，这两种方法难度都比较大，应适当选取和,最后对于任意的级数都可以用柯西收敛??NANB准则进行判断其敛散性，但繁琐，难度大，在可以使用以上方法判断时，应尽量避免使用柯西收敛准则（见例9）例1判别级数的敛散性?????N21解首先它不是等比级数，也不是级数，由于?P231LIMLI12??????MU6123LIMLI21??????MU故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于213LILI22????MMU21LIMLI1212????????MU所以由根式判别法知原级数收敛LIN注能由比式判别法判定敛散性的级数，也能用根式判别法来判断，反之不5成立例2判别级数的敛散性?N1SI解它不是等比级数也不是级数，也无法用比式判别法和根式判别法来?P解题。由于，根据比较原则，及调和级数发散，所1SILM???N?N1以级数也发散1SI例3讨论级数的敛散性???2LNP解研究非正常积分，由于???2LPXD??????2LN22LLNPPPUXD当1?时收敛时发散，由积分判别法级数在1?P时收敛????2LN时发散?P例4讨论级数当时的敛散性??,2413?????????SN3,2?解无论哪一个值，级数的比式极限都有,1?S??,41????????SN所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉LIM1???NU贝判别法来讨论，当时，由于1?S所以级数是发散的2121??????NNUN当时，由于2?S???????NNNU这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断，当时，由于3?S??????NNNUN所以级数收敛例5．的各项绝对值所组成的级数是????2NN??????|2|||N?应用比式判别法，对于任意实数都有01|LIM|LI1??????NUN?因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛例6考察级数的敛散性????1N解因为发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布???1||NN尼茨条件，故收敛例7讨论级数X0的敛散性???NX1解对于数列{}来说，当X0时，01，显然此级数是收敛的2N（下面用柯西收敛准则证明）由于||21PMMUU???2221?N及任意自然数P，由上式?1??N就有||21PMMUU???1?由柯西收敛准则推得级数是收敛的?N总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路后，我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果参考文献1华东师范大学数学系编数学分析（第三版）北京大学高等教育出版社，19912数学分析习题解析下册，陕西师范大学出版社，1993THEINDUCTIONABOUTCONVERGENCECRITERIONSOFCONSTANTTERMSERIESANDTHEANALYSISOFTHINKSOFSOLUTIONABSTRACTTHEARTICLEINDUCEDCONVERGENCECRITERIONSOFCONSTANTTERMSERIESANDOBTAINEDGENERALTHINKINGOFSOLUTIONKEYWORDSCONSTANTTERMSERIESCONVERGENCE，DECISION，METHODSINDUCTIONTHINKING9
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内容简介：
全书分二篇，分别是高等数学、线性代数，各篇按大纲设置章节，每章的编排如下：
1．考点与要求设置本部分的目的是使考生明白考试内容和考试要求，从而在复习时有明确的目标和重点。
2．内容精讲本部分对考试大纲所要求的知识点进行全面阐述，并对考试重点、难点以及常考知识点进行深度剖析。
3．例题分析本部分对历年考题所涉及的题型进行归纳分类，总结各种题型的解题方法，注重对所学知识的应用，以便能够开阔考生的解题思路，使所学知识融会贯通，并能建议考生在使用本书时不要就题论题，而是要多动脑，通过对题目的练习、比较、思考，总结并发现题目设置和解答的规律性，真正掌握应试解题的金钥匙，从而迅速提高知识水平和应试能力，取得理想分数。
4．习题分阶只有适量的练习才能巩固所学的知识，数学复习离不开做题。为了使考生更好地巩固所学知识，提高实际解题能力，本书作者精心优化设计了一定数量的练习题，供考生练习，以便使考生在熟练掌握基本知识的基础上，达到轻松解答真题的水平。同时，本书对精选的练习题，进行了难度分阶，从基础概念，到综合应用，层层递进，实现练习、巩固、提高三维一体。
作者简介：
清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长。全国著名的考研数学线性代数辅导专家，多次参加考研数学大纲修订和全国性数学考试命题工作。
年间担任全国研究生入学考试数学命题组组长，教育部考研数学命题组资深专家。原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任、教授，享受国务院特殊津贴。王老师是2004年中央电视台采访的考研辅导名师！凭着王老师多年参加考研数学命题工作的经验，使他对考研数学的命题思路和命题方向了如指掌。
全国研究生入学考试数学试卷命题组组长，北京交通大学教授（享受国家津贴）。季文铎教授自1989年以来至今一直致力研究生入学考试数学科目的命题工作，常年担任该命题组组长、阅卷组组长，对硕士研究生入学考试命题有着精准的把握及深刻的洞察；长期承担大学生数学竞赛、数学建模竞赛及大学基础数学的教学和理论研究工作。
第一篇　高等数学
第一章　函数极限连续
考点与要求
二、重要性质、定理、公式
一、求分段函数的复合函数
二、由函数的奇偶性与周期性构造函数
三、求反函数的表达式
四、关于函数有界（无界）的讨论
二、重要性质、定理、公式
三、计算极限的一些有关方法
一、求函数的极限
二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限
三、含有｜x｜，e1x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限
四、无穷小的比较
五、数列的极限
六、极限运算定理的正确运用
3函数的连续与间断
二、重要性质、定理、公式
一、讨论函数的连续与间断
二、在连续条件下求参数
三、连续函数的零点问题
第二章　一元函数微分学
考点与要求
1导数与微分，导数的计算
二、重要性质、定理、公式
一、按定义求一点处的导数
二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数
三、绝对值函数的导数
四、由极限式表示的函数的可导性
五、导数与微分、增量的关系
六、求导数的计算题
2导数的应用
二、重要性质、定理、公式与方法
一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论
二、渐近线
三、曲率与曲率圆
四、最大值、最小值问题
3中值定理、不等式与零点问题
一、重要定理
二、重要方法
一、不等式的证明
二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题
三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点
四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点
五、“双中值”问题
六、零点的个数问题
七、证明存在某ξ满足某不等式
八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的极限关系
第三章　一元函数积分学
考点与要求
1不定积分与定积分的概念、性质、理论
二、重要性质、定理、公式
一、分段函数的不定积分与定积分
二、定积分与原函数的存在性
三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分
2不定积分与定积分的计算
一、基本积分公式
二、基本积分方法
一、简单有理分式的积分
二、三角函数的有理分式的积分
三、简单无理式的积分
四、两种不同类型的函数相乘的积分
五、被积函数中含有导数或变限函数的积分
六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分
七、含参变量带绝对值号的定积分
八、积分计算杂例
3反常积分及其计算
二、重要性质、定理、公式
一、反常积分的计算与反常积分的敛散性
二、关于奇、偶函数的反常积分
4定积分的应用
一、基本方法
二、重要几何公式与物理应用
一、几何应用
二、物理应用
5定积分的证明题
一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等
二、由积分定义的函数求极限
三、积分不等式的证明
四、零点问题
第四章　多元函数微积分学
考点与要求
1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分
一、多元函数
二、二元函数的极限与连续
三、二元函数的偏导数与全微分
一、讨论二重极限
二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性
三、讨论二元函数的可微性
2多元函数的微分法
一、复合函数的偏导数与全微分
二、隐函数的偏导数与全微分
一、求复合函数的偏导数与全微分
二、求隐函数的偏导数与全微分
3极值与最值
一、无条件极值
二、条件极值
一、无条件极值问题
二、条件极值（最值）问题
三、多元函数的最大(小)值问题
一、二重积分的定义及几何意义
二、二重积分的性质
三、二重积分的计算
一、计算二重积分
二、累次积分交换积分次序及计算
三、与二重积分有关的综合题
四、与二重积分有关的积分不等式问题
第五章　常微分方程
考点与要求
1常微分方程
一、微分方程的基本概念
二、常见的几类一阶方程及解法
三、可降阶的高阶微分方程
四、高阶线性方程
一、微分方程求解
二、微分方程的综合题
三、微分方程的应用
第二篇　线性代数
第一章　行列式
考点与要求
一、数字型行列式的计算
二、抽象型行列式的计算
三、行列式|A|是否为零的判定
四、关于代数余子式求和
第二章　矩阵
考点与要求
1矩阵的概念及运算
一、矩阵的概念
二、矩阵的运算
三、矩阵的运算规则
四、特殊矩阵
一、可逆矩阵的概念
二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件
三、逆矩阵的运算性质
四、求逆矩阵的方法
3初等变换、初等矩阵
二、初等矩阵与初等变换的性质
一、矩阵秩的概念
二、矩阵秩的公式
一、分块矩阵的概念
二、分块矩阵的运算
一、矩阵的概念及运算
二、特殊方阵的幂
三、伴随矩阵的相关问题
四、可逆矩阵的相关问题
五、初等变换、初等矩阵
六、矩阵秩的计算
第三章　向量
考点与要求
1n维向量的概念与运算
2线性表出、线性相关
3极大线性无关组、秩
4Schmidt正交化、正交矩阵
一、线性相关的判别
二、向量的线性表示
三、线性相关与线性无关的证明
四、秩与极大线性无关组
五、正交化、正交矩阵
第四章　线性方程组
考点与要求
1克拉默法则
2齐次线性方程组
3非齐次线性方程组
一、线性方程组的基本概念题
二、线性方程组的求解
三、基础解系
四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A
五、线性方程组系数列向量与解向量的关系
六、两个方程组的公共解
七、同解方程组
八、线性方程组的有关杂题
第五章　特征值、特征向量、相似矩阵
考点与要求
1特征值、特征向量
二、特征值的性质
三、求特征值、特征向量的方法
2相似矩阵、矩阵的相似对角化
二、矩阵可相似对角化的充分必要条件
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件
3实对称矩阵的相似对角化
二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤
一、特征值，特征向量的求法
二、两个矩阵有相同的特征值的证明
三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法
四、矩阵是否相似于对角阵
五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数
六、由特征值、特征向量反求A
七、矩阵相似及相似标准形
八、相似对角阵的应用
第六章　二次型
考点与要求
1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵
一、二次型概念
二、二次型的矩阵表示
2化二次型为标准形、规范形合同二次型
3正定二次型、正定矩阵
一、二次型的矩阵表示
二、化二次型为标准形、规范形
三、合同矩阵、合同二次型
四、正定性的判别
五、正定二次型的证明
六、综合题
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