年考研数学历年真题及答案与解析-海文库
您现在的位置：&>&&>&研究生入学考试
年考研数学历年真题及答案与解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)???edx= _____________. 2xlnx(2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________.(3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?1的特解是_____________. 222(4)已知实二次型f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型f?6y12,则a=_____________.(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在.
则有:(A)②?③?①
(B)③?②?①(C)③?④?①
(D)③?①?④(2)设un?0,且lim(A)发散敛 n1n?11?1,则级数?(?1)(?)为 n??uuunnn?1
(B)绝对收(C)条件收敛不能判定.
(D)收敛性(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则(A)当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0 x???x??? (B)当limf?(x)存在时,必x???有limf?(x)?0 x???(C) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0 x?0?x?0?x?0?(D) 当limf?(x)存在时,必有x?0?limf?(x)?0.(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数
(B) fX(x)fY(y)必为密度函数(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.
四、(本题满分7分)已知两曲线y?f(x)与y?并求极限limnf(). n???arctanx0e?tdt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,22n
五、(本题满分7分)计算二重积分
六、(本题满分8分)设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y&0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d). 记I?max{x??eD2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}. 1x221?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy, ?yy2(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分)x3n
(1)验证函数y(x)??(???x???)满足微分方程y???y??y?ex.n?0(3n)!?x3n(2)求幂级数y(x)??的和函数. (3n)!n?0?
八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.
十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵,(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.
十一、(本题满分7分)设维随机变量X的概率密度为 (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.1
xcos0?x?x f(x)?20其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于十二、(本题满分7分)设总体X的概率分布为 ?的次数,求Y2的数学期望. 3其中?(0???)是未知参数,利用总体X的如下样本值 23,1,3,0,3,1,2,3.求?的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1(1)lim(cosx)ln(1?x) = . x?02(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 .(3)设x?2?an?0?ncosnx(???x??),则a2= .?1??1??1??1?(4)从R的基α1???,α2???到基β1???,β2???的过渡矩阵为 . ?0???1??1??2?2(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y
)x0?x?y?1,则0其它P{X?Y?1}? .(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有 n??n??n??(A)an?bn对任意n成立
(B)bn?cn对任意n成立(C)极限limancn不存在
n?? (D)极限limbncn不存在 n??(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且lim(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点 x?0,y?0f(x,y)?xy?1,则 222(x?y)(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点(4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则(A)当r?s时,向量组II必线性相关线性相关(C)当r?s时,向量组I必线性相关线性相关(5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题: ①若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B)②若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解③若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B)④若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解以上命题中正确的是(A)①②①③(D)
(D)当r?s时,向量组I必
(B)当r?s时,向量组II必(C)②④③④(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?(A)Y~?2(n)1,则 X2
(B)Y~?2(n?1)(C)Y~F(n,1)
(D)Y~F(1,n)
三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A.(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.
四、(本题满分12分) ?(?1)n1?2x将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数,并求级数?的和. 2n?11?2xn?0
五、(本题满分10分) 已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证:(1)(2)
六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为????L?sinysinxxesinydy?ye?sinxdx??xedy?yedx. ?LLxesinydy?ye?sinxdx?2?2. k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)
七、(本题满分12分)设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.d2xdx(1)试将x?x(y)所满足的微分方程2?(y?sinx)()3?0变换为y?y(x)满dydy足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?
八、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大于零, 3的解. 2???F(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2D(t)??f(x?y)d?2,G(t)?D(t)??f(x?t?12?y2)d?2, f(x)dx其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性.(2)证明当t?0时,F(t)?
九、(本题满分10分) 2?G(t).?322??010?????设矩阵A?232,P?101,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向???????223???001??量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax?2by?3c?0,l2:bx?2cy?3a?0,l3:cx?2ay?3b?0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为?2(x??)x?? f(x)?x?00其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记???min(X1,X2,?,Xn).(1)求总体X的分布函数F(x).(2)求统计量??的分布函数F??(x).(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ . (3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分值为__________.?Lxdy?2ydx的d2ydy(4)欧拉方程x?4x?2y?0(x?0)的通解为__________ . 2dxdx2?2?(5)设矩阵A?1???0阵,E是单位矩阵,则B10?20?,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩?01??=__________ .(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把x?0时的无穷小量????cost
x2dt,???tandt,???sint3dt,使排在
x2x后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)?,?,? (C)?,?,?
(B)?,?,?(D)?,?,?(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加
(B)f(x)在(??,0)内单调减少(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)?(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)(9)设?an为正项级数,下列结论中正确的是n?1(A)若limnan=0,则级数?an收敛n???n?1(B)若存在非零常数?,使得limnan??,则级数?an发散n???n?12(C)若级数?an收敛,则limnan?0n?1??n??(D)若级数?an发散, 则存在非零常数?,使得limnan??n?1n??(10)设f(x)为连续函数,F(t)?(A)2f(2)
?t1dy?f(x)dx,则F?(2)等于yt
(D) 0(B)f(2)(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为?010???(A)100 ????101???010???(C)100 ????011??
?010???(B)101
????001???011???(D)100 ????001??
(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若P{X?x}??,则x等于(A)u?2
(C)u1??2(D) u1??(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为?2?0.令1nY??Xi,则 ni?1(A)Cov(X1,Y)?(C)D(X1?Y)?
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,其中?是曲面????2n
(B)Cov(X1,Y)??2 (D)D(X1?Y)?n?22? n
n?12? n4(b?a). 2ez?1?x2?y2(z?0)的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当?收敛. ??1时,级数?xnn?1?(19)(本题满分12分)设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分) (n?2),?12?3???设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似????1a5??对角化.(22)(本题满分9分)设A,B为随机事件,且P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,令 432?1,A发生,?1,B发生,X??Y?? 0,0,?A不发生;?B不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布.(2)X和Y的相关系数?XY.(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为1??1??,x?1, F(x,?)??xx?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,求:(1)?的矩估计量.(2)?的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)x2(1)曲线y?的斜渐近线方程为 _____________.2x?1(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为____________.19?1x2y2z2(3)设函数u(x,y,z)?1?,单位向量n???{1,1,1},则61218?u?n(1,2,3)=.________.(4)设?是由锥面z??x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,则??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),如果A?1,那么B?.(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数f(x)?lim?xn??3n,则f(x)在(??,??)内
(B)恰有一个不可导点(D)至少有三个不可导点(A)处处可导(C)恰有两个不可导点(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,&M?N&表示&M的充分必要条件是N&,则必有(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数数
(B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函(C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数调函数x?y(D)F(x)是单调函数?f(x)是单(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?具有一阶导数,则必有 ?x?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,??2u?2u(A)2??2
?x?y?2u?2u(B)2? 2?x?y?2u?2u?2
(C)?x?y?y?2u?2u?(D) ?x?y?x2(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分必要条件是(A)?1?0
(D)?2?0(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则(A)交换A*的第1列与第2列得B*
(B)交换A*的第1行与第2行得B*(C)交换A*的第1列与第2列得?B* 行得?B*(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
(D)交换A*的第1行与第2已知随机事件{(A)a?0.2,b?0.3 (C)a?0.3,b?0.2(D)a?0.1,b?0.4(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则(A)n~N(0,1)
(B)nS2~?2(n)(D)
(B)a?0.4,b?0.1(n?1)(C)~t(n?1)S
(n?1)X12?Xi?2n~F(1,n?1)2i三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)22设D?{(x,y)x?y?,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最2大整数. 计算二重积分??xy[1?xD?y2]dxdy.(16)(本题满分12分) 求幂级数?(?1)n?1(1?n?1?1)x2n的收敛区间与和函数f(x).n(2n?1)(17)(本题满分11分)如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分?30(x
2?x)f???(x)dx.
(18)(本题满分12分)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明:(1)存在??(0,1),使得f(?)?1??.(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.(19)(本题满分12分)设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydy2x?y24L的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有???(y)dx?2xydy2x?y24C?0.(2)求函数?(y)的表达式.(20)(本题满分9分)22已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形.(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.(21)(本题满分9分)?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B?246(k为常????36k??数),且AB?O,求线性方程组Ax?0的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为10?1,0?y?2x f(x,y)?0求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y).(2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).(23)(本题满分9分)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记Yi?Xi?,i?1,2,?,n.求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n.(2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)limx?0xln(1?x)?1?cosx.(2)微分方程y??y(1?x)的通解是. x(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?.?(3)设?
是锥面z?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z=.?21?(5)设矩阵A???,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B=. ??12?(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?=.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则(A)0?dx??y(B)0??y?dy(C)?y?dy?0(D)dy??y?0?(8)设f(x,y)为连续函数,则0x?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
??0f(x,y)dy f(x,y)dy
yf(x,y)dx f(x,y)dx
(9)若级数??an?1n收敛,则级数(A)?an?1?n收敛n
(B)??(?1)n?1nn?1an收敛(C)?aan?1收敛(D)an?an?1收敛 ?2n?1?1(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0(C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是(A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关 (C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第?110???2列得C,记P??010?,则?001???(A)C?P?1AP(B)C?PAP?1
(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有(A)P(A?B)?P(A)
(B)P(A?B)?P(B)
(C)P(A?B)?P(A)
(D)P(A?B)?P(B)
2(14)设随机变量X服从正态分布N(?1,?12),Y服从正态分布N(?2,?2),且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则(A)?1??2(B)?1??2 (C)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(D)?1??2
??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???D1?xydxdy. 221?x?y(16)(本题满分12分)设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limxn存在,并求之.x??1?xn?1?xn2(2)计算lim??. x??x?n?(17)(本题满分12分) 将函数f?x??x展开成x的幂级数. 22?x?x(18)(本题满分12分)设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数
,且z?f满足等式?2z?2z??0. ?x2?y2(1)验证f???u??f??u?u?0.(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有f?tx,ty??t2f?x,y?.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.L(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2.(2)求a,b的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1???1,2,?1?,α2??0,?1,1?TT是线性方程组Ax?0的两个解.(1)求A的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A.(22)(本题满分9分)?1?2,?1?x?0??1随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x2,F?x,y?为二维随机变量?4?0,其它??(X,Y)的分布函数.(1)求Y的概率密度fY?y?. (2)F??,4?.(23)(本题满分9分) ?1?2??0?x?1设总体X的概率密度为F(X,0)???1?x?2,其中?是未知参数其它(0???1),X1,X2...,Xn为来自总体X,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当x?0?时,
等价的无穷小量是
1 (2)曲线y?
(B)1?ln(1?ex),渐近线的条数为 x
(C)2(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x
f(t)dt.则下列结论正确的是
(A)F(3)??3F(?2) 45(B)F(3)?F(2)4(C)F(3)?3F(2)45(D)F(3)??F(?2)4
(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是 (A)若limx?0f(x)存在,则f(0)?0
xf(x)存在,则f?(0)?0
x(B)若limx?0f(x)?f(?x)存在,则xf(x)?f(?x)存在,则xf(0)?0(C)若limx?0(D)若limx?0f?(0)?0(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f&(x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是(A)若u1?u2,则{un}必收敛散(C)若u1?u2,则{un}必收敛散(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是(A)
(C)(D)若u1?u2,则{un}必发
(B)若u1?u2,则{un}必发?(x,y)dx
(B)?f(x,y)dy ??
??f(x,y)ds
(D)??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是(A)α1?α2,α2?α3,α3?α1(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1(C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1?2?1?1??100?????(8)设矩阵A???12?1?,B??010?,则A与B??1?12??000?????(A)合同,且相似不相似(C)不合同,但相似同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)3p(1?p)2(D)既不合
(B)合同,但(B)6p(1?p)2(C)3p2(1?p)2(D)6p2(1?p)2(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX(A)fX(x)|Y(x|y)为
(B)fY(y)(C)fX(x)fY(y)(D)fX(x) fY(y)二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)?2111exdx=_______. 3x?z=______. ?x(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________.(14)设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则????(x?|y|)ds=_____________.?0?0?(15)设矩阵A??0???,则A3的秩为________. 001??000?1的概率为2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于________.
三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分I?2??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中?为曲面?y2z?1?x?(0?z?1)的上侧. 4(19)(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).(20)(本题满分10分)设幂级数?axnn?0?n在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.(1)证明:an?2?2an,n?1,2,?. n?1(2)求y(x)的表达式.(21)(本题满分11分)
设线性方程组?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0,?x?4x?a2x?023?1
与方程x1?2x2?x3?a?1,有公共解,求a的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.(2)求矩阵B.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为?2?x?y,0?x?1,0?y?1f(x,y)?? 0,其他?(1)求P{X?2Y}.(2)求Z?X?Y的概率密度.(24)(本题满分11分)设总体X的概率密度为?1?2?,0?x????1f(x;?)??,??x?1?2(1??)?0,其他??X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,是样本均值(1)求参数?的矩估计量??.(2)判断42是否为?2的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数f(x)?(A)0
ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数
(2)函数f(x,y)?arctan(A)i
x在点(0,1)处的梯度等于 y
(D)?j(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)y????y???4y??4y?0
(B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0
(D)y????y???4y??4y?0
(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛
(C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛
则?xn?收敛(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则(A)E?A不可逆,E?A不可逆
(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛
(D)若?f(xn)?单调,不可逆,E?A可逆(C)E?A可逆,E?A可逆
(D)E?A可逆,E?A不可逆(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程?x???(x,y,z)A?y??1在正交变换下的标准方程的图形?z???如图,则A的正特征值个数为(A)0(B)1(C)2(D)3(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为
?x?F?x?F?y? (A)F2
(B)(C) 1???1?F?x??? 2
(D) ??1?F?x?????1?F?y???(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则(A)P?Y??2X?1??1(B)P?Y?2X?1??1(C)P?Y??2X?1??1
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y?.(10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为.(11)已知幂级数?n
(D)P?Y?2X?1??1 ?a?x?2?nn?0?n在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数?an?x?3?的收敛域为.n?0(12)设曲面?
是z?的上侧,则2xydydz?xdzdx?xdxdy?. ???(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为.(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX?EX2?.三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)??sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4(16)(本题满分10分)计算曲线积分点??,0?的一段.?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到(17)(本题满分10分)?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.?x?y?3z?5(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x???f?t?dt可导,且F??x??f?x?.x0(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)?x
f(t)dt?x?f(t)dt也
2f?x??1?x(0?x??),用余弦级数展开,并求?2n?1???1?n2n?1的和.(20)(本题满分11分)A?ααT?ββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:(1)r(A)?2.(2)若α,β线性相关,则r(A)?2.(21)(本题满分11分)?2a1??2?a2a??,现矩阵A满足方程AX?B,其中设矩阵A?????1???2a2a??n?nX??x1,?,xn?,B??1,0,?,0?,n(1)求证A??n?1?a. T(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1.(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?,Y的概率3?10?y?1密度为fY?y???,记Z?X?Y, 0其它?(1)求P?Z???1?X?0?. 2?(2)求Z的概率密度.(23)(本题满分11分)设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本. 1n1n12222记??Xi,S?,(X?)T??S ?in?1i?1ni?1n(1)证明T是?2的无偏估计量.(2)当??0,??1时 ,求DT.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)2(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则 (A)a?1,b??1
(B)a?1,b?1 6(C)a??1,b??1 61(D)a??1,b? 6(2)如图,正方形划分为四个区域??x,y?Dkx?1,y?1被其对角线?Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max?Ik?? 1?k?4
(A)I1(C)I3
(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
则函数F?x??
?f?t?dt的图形为
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若limn??an?0,则
(B)(A)当发散.
时,??bn?1?n收敛时,?abn?1?nn收敛.
(B)当?bn?1?n发散时,?abn?1?nn(C)当?bn?1?n收敛时,?abn?1?22nn收敛.
(D)当?bn?1?n发散?abn?122nn发散.(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,α2,α3到基1213α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为?101???(A)?220??033????120??? (B)?023??103???
11??1??246???111? (C)?? ?246???111?????46??211??1??222???111??
(D)??444???111?????6??66
(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵??OA??的伴随矩阵为?BO?
?O3B*?(A)?*?O??2A?O2B*? (B)?*?O??3A?O3A*?(C)?*?2BO???O2A*? (D)?*?O??3B
(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??正态分布函数,则EX?(A)0(B)0.3
?x?1??,其中??x?为标准?2?
(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为P?Y?0??P?Y?1??断点个数为(A)0
1,记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间2
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)?2z?. (9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则?x?y(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则x非齐次方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y?.2(11)
已知曲线L:y?x0?x?,则??xds?.L(12)设????x,y,z?x2?y2?z2?1,则???z2dxdydz?.??(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为. (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若X?kS2为np2的无偏估计量,则k?.
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分9分)求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值.(16)(本题满分9分)设an为曲线y?xn与y?x????n?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.n?1n?1(17)(本题满分11分)x2y2??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43(1)求S1及S2的方程.(2)求S1与S2之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得f?b??f?a??f?????b?a?.f??x??A,则(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0f???0?存在,且f???0??A.(19)(本题满分10分)计算曲面积分I?外侧.(20)(本题满分11分) ????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y?z2322?,其中?是曲面2x2?2y2?z2?4的?1?1?1???1?????1?,ξ1??1? 设A???11??2??0?4?2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3.(2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.(21)(本题满分11分)222设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;2(2)若二次型f的规范形为y12?y2,求a的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求p?X?1Z?0?.(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.(23)(本题满分11 分)??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未0,其他?知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本.(1)求参数?的矩估计量.(2)求参数?的最大似然估计量.
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)??x2(1)极限lim??= x??(x?a)(x?b)??
(2)设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则yzxxx?z?z?y= ?x?y(A)x(B)z
(3)设m,n为正整数,
则反常积分(A)仅与m取值有关
取值有关(C)与m,n取值都有关 取值都无关(4)lim1(D)与m,nx????(n?i)(ni?1j?1nnn2?j)2=(A)1?00(1?x)(1?y2)dy1x1(B)?dx?dy00(1?x)(1?y)dx?x
1?00(1?x)(1?y)dy 111dy (D)?dx?00(1?x)(1?y2)(C)1dx?1
(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则(A)秩(A)?m,秩(B)?m
(B)秩(A)?m,秩(B)?n
(C)秩(A)?n,秩(B)?m(B)?n
(D)秩(A)?n,秩(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于?1???1? (A)???1??0???1???1?
(B)???1???0???1????1? (C)? ???1??0????1????1?
(D)???1???0??x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)?1
0?x?1,则P{X?1}= 21?e?x x?2(A)0(B)1(C)
(D)1?e?1(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,f(x)?为概率密度,则a,b应满足 af1(x)x?0(a?0,b?0) bf2(x?0(A)2a?3b?4
(B)3a?2b?4
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)d2y(9)设x?e,y??ln(1?u)du,求20dx?tt2=.
t?0(10)??2
=.(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分?Lxydx?x2dy=.(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标=.(13)设α1?(1,2,?1,0)T,α2?(1,1,0,2)T,α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则?=.(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程y???3y??2y?2xex的通解. (16)(本题满分10分) 求函数f(x)?C(k?0,1,2,?),则EX2=. k!?x1(x2?t)e?tdt的单调区间与极值.2(17)(本题满分10分) (1)比较?1
lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.n
1(2)记un??1
lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),求极限limun.x??(18)(本题满分10分)(?1)n?12n求幂级数?x的收敛域及和函数.n?12n?1?(19)(本题满分10分)设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C
,并计算曲面积分I?曲线C上方的部分.(20)(本题满分11分) ?,其中?是椭球面S位于11????a?????设A??0??10?,b??1?,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解. ?1?1?1??????(1)求?,a.(2)求方程组Ax?b的通解.(21)(本题满分11分)2设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y12?y2,且Q的第
三列为T. (1)求A.(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条件概率密度fY|X(y|x).(23)(本题满分11 分)设总体X的概率分布为
其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求常数a1,a2,a3,使T??aNii?13i为?的无偏估计量,并求T的方差.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1、 曲线y?x(x?1)(x?2)2(x?3)3(x?4)4的拐点是（） A
B （2，0）
D （4，0） 2、设数列?an?单调减少，且liman?0。Sn?n???ai?1ni无界，则幂级数?an?1?n(x?1)n的收敛域为（）A （?11]
(02]3、 设函数f(x)具有二阶连续的导数，且f(x)?0.f?(0)?0。则函数z?lnf(x)f(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）A
f(0)?1?f??(0)?0
f(0)?1f??(0)?0
f??(0)?0 f??(0)?0JK的大小关系?
4、设I?是（）?40lnsinxdxJ??lncotxdxK??4lncosxdx，则IA
K?J?I5、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B的第二行与第3?100??100?????行得到单位阵E，记P1??110?，P2??001?，则A=（）?001??010?????A
P2P16、设A?(?1?2?3?4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是Ax?0的一个基础解系，则A*x?0的基础解系可为（）?1?1A
?2?3?4F2(x)为两个分布函数，且连续函数f1(x)f2(x)为相应的概率密度，7、设F1(x)则必为概率密度的是（）A
f1(x)f2(x)
2f2(x)F1(x)
f1(x)F2(x)
D f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)8、设随机变量X,Y相互独立，且EX,EY都存在，记U?max?X,Y?V?min?X,Y?，则EUV?（）A
EX?EV二、填空题：9―14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。9、曲线y??x0tantdt(0?x??4)的弧长为_____________10、微分方程y??y?excosx满足条件y(0)?0的解为________________11、设函数F(x,y)??xy0?2Fsint____ ，则2|x?0?__________?xy?21?t212、设L是柱面方程x2?y2?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Ly2xzdx?xdy??_________ 213、若二次曲面的方程x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y1?y2?4，则a?_______ 22__ 14、设二维随机变量(X,Y)~N(?,?,?2,?2,0)，则E(XY2)?__________三、解答题：15―23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。ln(1?x)ex?1) 15、（本题满分10分）求极限lim(x?0x16、（本题满分9分）设函数z?f(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续的偏导数，函数g(x)可导且在x?1处1?2z|x?1 取得极值g(1)?1.求?x?yy?117、（本题满分10分）求方程karctanx?x?0的不同实根的个数，其中k为参数。18、（本题满分10分）①证明：对任意的正整数n，都有②设an?1?111?ln(1?)?成立； n?1nn11?............??lnn(n?1,2......)，证明数列?an?收敛. 2n19、（本题满分11分）已知函数f(x,y)具有二阶连续的偏导数，且f(1,y)?f(x,1)?0,其中D??(x,y)|0?x?1,0?y?1?计算二重积分20、（本题满分11分）设向量组?1?(1,0,1)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,3,5)T不能由向量组?1?(1,1,1)T，xy??f(x,y)dxdy?a，D??xyf??(x,y)dxdy D?2?(1,2,3)T，?3?(3,4,a)T线性表示；（1） 求a的值；（2） 将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示；21、（本题满分11分）?11???11?????A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?00???00??-11??11?????求（1）A的特征值与特征向量（2）矩阵A22、（本题满分11分）设随机变量X与Y的概率分布分别为
PX?Y?求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布；（2）Z?XY的概率分布（3）X与Y的相关系数?XY23、（本题满分11分）设X1,X2?Xn是来自正态总体N(?0,?2)的简单随机样本，其中?0已知，?2?0未知.X,S2为样本均值和样本方差.求（1）求参数?的最大似然估计? 2?2(2) 计算E?和D? ?2?2
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．x2?x（1）曲线y?2渐近线的条数为（） x?1（A）0（B）1（C）2（D）3x2xnx'（2）设函数f(x)?(e?1)(e?2)?(e?n)，其中n为正整数，则f(0)?（A）(?1)n?1(n?1)!n（B）(?1)(n?1)!（C）(?1)n?1n!n（D）(?1)n!（3）如果f(x,y)在?0,0?处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限limx?0y?0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 x?yf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 x2?y2f(x,y)存在 x?yf(x,y)存在 x2?y2（B）若极限limx?0y?0（C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0（4）设Ik??esinxdx(k=1,2,3),则有D ekx2（A）I1& I2&I3.(C) I1& I3&I1,
(B) I2& I2& I3.
(D) I1& I2& I3.?0??0??1???1?????????（5）设?1??0?,?2??1?,?3???1?,?4??1?其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列?c??c??c??c??1??2??3??4?向量组线性相关的是（）（A）?1,?2,?3（B）?1,?2,?4（C）?1,?3,?4（D）?2,?3,?4?1???1（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP???，P???1,?2,?3?，?2???Q???1??2,?2,?3?则Q?1AQ?（）?1??1?????21（A）?（B）?????1?2??????2??2?????12（C）?（D）??????2?1????
（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则p?x?y??（）(A)15
(D)45（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）(A)1(B)12(C)?1(D)?1 2二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）若函数f(x)满足方程f''(x)?f'(x)?2f(x)?0及f'(x)?f(x)?2ex，则f(x)=________。\（10
）\（11）grad?xy??20________。 ??z?________。 ?y?(2,1,1)\（12）设????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?,则??y2ds?________。?（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E?xxT的秩为________。 \（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?11,P(C)?,则23P(ABC)?________。\三、解答题：15―23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文．．．字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分） ?1?xx2证明：xln?cosx?1?,?1?x?11?x2
（16）（本题满分10分）x2?y2求f?x,y??xe?的极值。
（2）已知线性方程组Ax?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解。?101???（21）（本题满分10分）三阶矩阵A??011?，AT为矩阵A的转置，已知??10a???r(ATA)?2，且二次型f?xTATAx。1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示，
（2）cov?X?Y,Y?与?XY.（23）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N?,?2与N?,2?2，其中?是未知参数且??0,设Z?X?Y, (1) 求z的概率密度fz,?2；(2) 设z1,z2,?zn为来自总体Z的简单随机样本，求?2的最大似然估计量?； (3) 证明?为?2的无偏估计量。22??????2002年考研数学一试题答案与解析
一、填空题(1)【分析】(2)【分析】
原式????edlnx1??ln2xlnx??e?1. 方程两边对x两次求导得
eyy'?6xy'?6y?2x?0,
①eyy''?eyy'2?6xy''?12y'?2?0.②以x?0代入原方程得y?0,以x?y?0代入①得y'?0,,再以x?y?y'?0代入②得y''(0)??2.
(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程. 令y'?P(y)(以y为自变量),则y''?dy'dPdP??P. dxdxdy代入方程得 yPdPdP?P2?0,即y?P?0(或P?0,但其不满足初始条件dydyy'x?0?1). 2分离变量得 dPdy??0, PylnP?lny?C',即P?积分得
C1(P?0对应C1?0); y由x?0时y?1,P?y'?11,得C1?.于是 22
又由yx?0?1得C2?
1,所求特解为y?(4)【分析】 因为二次型xAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型T矩阵A的特征值,所以6,0,0是A的特征值.又因?a???,故a?a?a?6?0?0,?a?2. iii
(5)【分析】 设事件A表示“二次方程y?4y?X?0无实根”,则2A?{16?4X?0}?{X?4}.依题意,有而
1P(A)?P{X?4}?. 2 P{X?4}?1?P{X?4}?1??(4???),即1??(4??14??14??)?,?()?,?0.???4. ?2?2?二、选择题(1)【分析】故选(A).这是讨论函数f(x,y)的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件,若f(x,y)可微则必连续,111u?0,且lim(2)【分析】 由limn?1?0?n充分大时即?N,n?N时?0,不妨n???n???ununn1认为?n,un?0,因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性. un按定义考察部分和Sn??(?1)k?1nk?1nn111k?11 (?)??(?1)??(?1)k?1ukuk?1ukk?1uk?1k?1(?1)kn?11(?1)n?11l1?????(?1)???(n???), ulu1un?1u1k?1ukl?1n?原级数收敛. 11??uun?1nn?1n11再考察取绝对值后的级数?(?????2, ).注意n1uuuun?1n?1nn?1nn?1n?111发散(?)发散.因此选(C). ???uunn?1n?1nn?1?
(3)【分析】
证明(B)对:反证法.假设limf?(x)?a?0,则由拉格朗日中值定理,x???
f(2x)?f(x)?f'(?)x??(x???)(当x???时,????,因为x???2x);但这与f(2x)?f(x)?f(2x)?f(x)?2M矛盾(f(x)?M).(4)【分析】因为r(A)?r(A)?2?3,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是r(A)?r(A)?3.(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故r(A)?2和r(A)?3,且A中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故r(A)?2,r()?3,且A中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因
?????[f1(x)?f2(x)]dx??????f1(x)dx??????f2(x)dx?2?1,
F1(??)?F2(??)?1?1?2?1.对于选项(B),若f1(x)?????1,?2?x??1,?1,0?x?1,f2(x)??则对任何x?(??,??),?0,其他，?0,其他，f1(x)f2(x)?0,?
??f1(x)f2(x)dx?0?1,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,若令X?max(X1,X2),而Xi~fi(x),i?1,2,则X的分布函数F(x)恰是F1(x)F2(x).
F(x)?P{max(X1,X2)?x}?P{X1?x,X2?x}?P{X1?x}P{X2?x}?F1(x)F2(x).
三、【解】
用洛必达法则.由题设条件知lim[af(h)?bf(2h)?f(0)]?(a?b?1)f(0).由于f?(0)?0,故必有h?0a?b?1?0.
?(a?2b)f'(0)?0,及f?(0)?0,则有a?2b?0.四、【解】由已知条件得综上,得a?2,b??1.
f(0)?0,f'(0)?(?arctanx0e?tdt)'x2x?0e?arctanx?1?x22x?0?1,故所求切线方程为
y?x.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得
五、【分析与求解】D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示
2??x,x?y,max{x,y}??2(x,y)?D,??y,x?y,22
于是要用分块积分法,用y?x将D分成两块:D?D1UD2,D1?DI{y?x},D2?DI{y?x}.?
I???emax{xD12,y2}dxdy???emax{xD222,y2}dxdy2???exdxdy???eydxdy?2??exdxdy(D关于y?x对称)D1D2D12?2?dx?exdy(选择积分顺序)?2?xexdx?ex
六、【分析与求解】(1)易知Pdx?Qdy?原函数,Pdx?Qdy?1x1dx?yf(xy)dx?xf(xy)dy?2dy?2(ydx?xdy)?f(xy)(ydx?xdy) yyyxyxx?d()?f(xy)d(xy)?d[??f(t)dt]. yy0xyx?在y?0上Pdx?Qdy?原函数,即u(x,y)???f(t)dt. y0?积分I在y?0与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得I
七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数 ?u(x,y)(c,d)(a,b)?ca?. dbx3x6x9x3ny(x)?1????L??L 3!6!9!(3n)!的收敛域是(???x??),因而可在(???x??)上逐项求导数,得x2x5x8x3n?1y'(x)????L??L, 2!5!8!(3n?1)!x4x7x3n?2y''(x)?x???L??L, 4!7!(3n?2)!所以
x2xny''?y'?y?1?x??L??L?ex(???x??). 2!n!x(2)与y''?y'?y?e相应的齐次微分方程为y''?y'?y?0,其特征方程为????1?0,
特征根为?1,2???x221.
2因此齐次微分方程的通解为Y?e(C1cosxx?C2sinx). 22?x设非齐次微分方程的特解为y?Ae,将y代入方程y''?y'?y?e可得 ?11A?,即有y??ex. 33于是,
方程通解为y?Y?y?e??x2(C1cos1x?C2sinx)?ex. 2231?y(0)?1?C?,1?23??C1?,C2?0. 当x?0时,
有?3?y'(0)?0??1C??1.12?23?xx3n2?21于是幂级数?
的和函数为y(x)?ex?ex(???x??)33n?0(3n)!?
八、【分析与求解】
(1)由梯度向量的重要性质:函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向(x0,y0)?{gradh(x,y)?h?h,?x?y(x0,y0)?{?2x0?y0,?2y0?x0}
方向导数取最大值即gradh(x,y)(x0,y0)的模
,?g(x0,y0)?22(2)按题意,即求g(x,y)求在条件x?y?xy?75?0下的最大值点?g2(x,y)?(y?2x)2?(x?2y)2?5x2?5y2?8xy在条件x?y?xy?75?0下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数22L(x,y,?)?5x2?5y2?8xy??(x2?y2?xy?75),则有??L??x?10x?8y??(2x?y)?0,???L??10y?8x??(2y?x)?0, ??y??L?x2?y2?xy?75?0.????
解此方程组:将①式与②式相加得(x?y)(??2)?0.?x??y或?若y??x,则由③式得3x?75即x??5,y?m5.若?22??2.??2,由①或②均得y?x,代入③式得x
75即x??y??于是得可能的条件极值点
M1(5,?5),M2(?5,5),M3M4(??222现比较f(x,y)?g(x,y)?5x?5y?8xy在这些点的函数值:
f(M1)?f(M2)?450,f(M3)?f(M4)?150.
因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到.因此g(x,y)2在M1,M2取到在D的边界上的最大值,即M1,M2可作为攀登的起点.九、【解】由?2,?3,?4线性无关及?1?2?2??3知,向量组的秩r(?1,?2,?3,?4)?3,即矩阵A的秩为3.因此Ax?0的基础解系中只包含一个向量.那么由
?1???2?(?1,?2,?3,?4)????1?2?2??3?0?1????0?T知,Ax?0的基础解系是(1,?2,1,0).?1??1??1??1?T再由???1??2??3??4?(?1,?2,?3,?4)???A??知,(1,1,1,1)是Ax??的?1??1?????1???1??1??1???2??1?一个特解.故Ax??的通解是k?????,其中k为任意常数.?1??1??????0??1?
十、【解】
(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使PAP?B,故?1?E?B??E?P?1AP?P?1?EP?P?1AP?P?1(?E?A)P?P?1?E?AP??E?A.(2)令A???01??00?,B?,那么?E?A??2??E?B. ????00??00??1?1但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵P,使PAP?B?0.从而A?P0P?0,矛盾,亦可从r(A)?1,r(B)?0而知A与B不相似.(3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为?1,L,?n,则有??1OA相似于??????1??,也相似于?O??B??n?????.? ?n????1??1O即存在可逆矩阵P,Q,使PAP?????1?1?1?1???Q?1BQ. ??n??于是(PQ)A(PQ)?B.由PQ为可逆矩阵知,A与B相似.
十一、【解】 由于P{X??3????31x11cosdx?,依题意,Y服从二项分布B(4,),则有 2222
111EY2?DY?(EY)2?npq?(np)2?4???(4?)2?5. 222十二、【解】 EX?0???1?2?(1??)?2???3?(1?2?)?3?4?,?221?(3?EX). 4??1(3?X),根据给定的样本观察值计算x?1(3?1?3?0?3?1?2?3) ?的矩估计量为?48??1(3?x)?1. ?2.因此?的矩估计值?44对于给定的样本值似然函数为
L(?)?4?6(1??)2(1?2?)4,lnL(?)?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?),dlnL(?)??6????. d??1??1?2??(1??)(1?2?)令7dlnL(?)7?1(???,不合题意). ?0,得方程12?2?14??3?0,
12122d???于是?
的最大似然估计值为?
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷详解1.【分析】 1?型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行计算求极限均可.1【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)2=ex?0ln(1?x2)lim1lncosx,?sinxlncosxlncosx??1， 而
lim?lim?limx?0ln(1?x2)x?0x?02x2x2故 原式=e?12?1e.【详解2】 因为
lim(cosx?1)?x?0121?limln(1?x2)x?0?12x1， ??2x2所以
原式=e??1e.【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.2. 【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面z?x2?y2切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.【详解】 令 F(x,y,z)?z?x2?y2，则 ??Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有?2x0?2y01， ??24?122?y0?5. 可解得
x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0故所求的切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.【评注】
本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279【例10.28】和《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.
3. 【分析】 将f(x)?x2(???x??)展开为余弦级数x??ancosnx(???x??)，其系数计算公式为an?2n?0???2?0f(x)cosnxdx.【详解】 根据余弦级数的定义，有a2?2???0x2?cos2xdx?1[xsin2x21???0x2dsin2x
==?0?1??sin2x?2xdx] 0????01xdcos2x?[xcos2x?0???cos2xdx] 0?=1.【评注】
本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.4. 【分析】 n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足[?1,?2,?,?n]=[?1,?2,?,?n]P，因此过渡矩阵P为：P=[?1,?2,?,?n]?1[?1,?2,?,?n].【详解】根据定义，从R2的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡????????矩阵为 ?1??1??1??1??11??11??1P=[?1,?2][?1,?2]????12?. 0?1?????1=?3??11??11??2?. ??????0?1??12???1?2?【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】.5. 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)?z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=算.【详解】 由题设，有 g(x,y)?z0??f(x,y)dxdy进行计P{X?Y?1}?120x?y?1??f(x,y)dxdy??120dx?1?xx6xdy
=?1(6x?12x2)dx?. 4y
【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与
满足不等式x?y?1的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.6. 【分析】 已知方差?2?1，对正态总体的数学期望?进行估计，可根据1
x 2?????u?}?1??确定临界值u?，进而确定相应的置信区~N(0,1)，由P{22nn间.【详解】 由题设，1???0.95，可见??0.05. 于是查标准正态分布表知u??1.96.本题n=16, ?40, 因此，根据 P{2???1.96}?0.95，有 nP{40???1.96}?0.95，即 P{39.51,40.49}?0.95，故?的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49) .【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导f?(x)的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.2. 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限limancn是0??型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明n??即可；极限limbncn属1??型，必为无穷大量，即不存在. n??【详解】 用举反例法，取an?(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 21，bn?1，cn?n(n?1,2,?)，则可立即排除n2【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.3. 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由f(0,0)=0, 且 x?0,y?0limf(x,y)?xy?1知，分子的极限必为零，从而有(x2?y2)2f(x,y)?xy?(x2?y2)2(x,y充分小时），于是f(x,y)?f(0,0)?xy?(x2?y2)2.可见当y=x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)?x2?4x4?0；而当y= -x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)??x2?4x4?0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.4. 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则当r?s时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，且向量组I线性无关，则必有r?s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如?1???0??,?1???0??,?2???1??，则?1?0??1?0??2，但???????0??1??0??1,?2线性无关，排除(A)；?1???0??,?2???0??,?1???0??，则?1,?2可由?1线性表示，??????但?1线性无关，排除(B)；?1???0??,?1???0??,?2???1??，?1可由?1,?2线性表示，但???????0??1??1??1??1??0??1线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定5. 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，?10??00?如A???，B??01?，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命00????题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题：【例】
齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A)
r(A)=r(B).
A,B为相似矩阵.(C)
A, B的行向量组等价.
A,B的列向量组等价.
]有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.6. 【分析】 先由t分布的定义知X?U，其中U~N(0,1),V~?2(n)，再将其代入Y?1，然后利用F分布的定义即可. 2X【详解】 由题设知，X?U，其中U~N(0,1),V~?2(n)，于是VV1?2，这里U2~?2(1)，根据F分布的定义知Y?2=2UUX1Y?2~F(n,1).故应选(C). X【评注】 本题综合考查了t分布、?2分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义, 见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.57第二大题第（6）小题（事实上完全相当于原题）和《数学复习指南》P.592的定义和P.595的【解题提示】.三 、（本题满分10分）【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1)
设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y?lnx0?1(x?x0). x0由该切线过原点知 lnx0?1?0，从而x0?e. 所以该切线的方程为y?1x. e平面图形D的面积A??(ey?ey)dy?011e?1. 21x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥e1体积为
V1??e2. 3（2） 切线y?曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V2???(e?ey)2dy， 01因此所求旋转体的体积为11?V?V1?V2??e2???(e?ey)2dy?(5e2?12e?3). 036
D【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考
虑用微元法分析，完全类似例题见《数学复习指南》P.197的【例7.34】和P.201的【例7.42】.
四 、（本题满分12分）【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数1 1?x的幂级数展开数的和. 1?1?x?x2???xn??即可，然后取x为某特殊值，得所求级1?x?211nn2n【详解】 因为f?(x)????2(?1)4x,x?(?,). ?2221?4xn?0又f(0)=?, 所以 4xf(x)?f(0)??f?(t)dt?0?4?2?[?(?1)n4nt2n]dt 0n?0x?(?1)n4n2n?111x,x?(?,).
=?2?422n?02n?1??(?1)n1因为级数?收敛，函数f(x)在x?处连续，所以 2n?02n?1?(?1)n4n2n?111f(x)??2?x,x?(?,]. 422n?02n?1??令x?1，得 2?1?(?1)4n1??(?1)nf()??2?[?2n?1]???, 244n?02n?1n?02n?12再由f()?0，得 12(?1)n?1???f()?. ?424n?02n?1?【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.228的【例8.25】.五 、（本题满分10分）【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1)
左边==???0?esinydy???e?sinxdx ?0??0(esinx?e?sinx)dx，右边==????0?e?sinydy???esinxdx ?0?0(esinx?e?sinx)dx，所以
xesinydy?ye?sinxdx?xe?sinydy?yesinxdx. LL(2) 由于esinx?e?sinx?2，故由（1）得siny?sinxsinx?sinx2xedy?yedx??(e?e)dx?2?. ?L0?方法二：（1） 根据格林公式，得siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx?(e?e)dxdy， ??LD?sinysinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy. ??LD因为D 具有轮换对称性，所以siny?sinx?sinysinx=(e?e)dxdy(e?e)dxdy， ????DD故
xeLsinydy?ye?sinxdx?xe?sinydy?yesinxdx. L(2) 由(1)知xeLsinydy?ye?sinxdx???(esiny?e?sinx)dxdy Dsiny?sinxedxdy?e????dxdyDD
===sinx?sinxedxdy?e????dxdy （利用轮换对称性） DD??(eDsinx?e?sinx)dxdy???2dxdy?2?2. D【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.本题完全类似例题见《数学复习指南》P.325的【例12.15】, 相当于此例题中取?(x)?e?sinx，也就是说，本题是【例12.15】的特殊情形.六 、（本题满分10分）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n?1,2,3,?). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以x1kkW1??kxdx?x12?a2， 022x2k2k2W2??kxdx?(x2?x12)?(x2?a2). x122由W2?rW1可得2x2?a2?ra22?(1?r)a2. 即
x2k2k22W3??kxdx?(x3?x2)?[x3?(1?r)a2]. x222x3由W3?rW2?r2W1可得2x3?(1?r)a2?r2a2，2从而
x3???，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下??2am.（2） 由归纳法，设xn???2???n?1，则Wn?1??k2xn?1xnk22kxdx?(xn?1?xn) 22n?1
=[xn)a2]. ?1?(1?r???r由于Wn?1?rWn?r2Wn?1???rnW1，故得2n?1xn)a2?rna2, ?1?(1?r???r从而
xn?11?rn?1??r???ra?a. 1?rn于是
limxn?1?n??1a， 1?r1a m. 1?r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度。但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单，变力更复杂的情形可参见《数学复习指南》P.202的【例7.44-45】.七 、（本题满分12分）【分析】 将11dxdxdy?，关键是应注意： 转化为比较简单，=dydydyy?dxdxd2xddxd1dx?()=()? dxy?dydy2dydy=?y??1y?????. 23???yy(y)然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 dx1?，于是有 dyy?d2xddxy??d1dx?y??1?()???==. ()?223dydydxy?dyy?y?dy(y?)代入原微分方程得y???y?sinx.
)(2) 方程( * )所对应的齐次方程y???y?0的通解为Y?C1ex?C2e?x.设方程( * )的特解为y*?Acosx?Bsinx，代入方程( * )，求得A?0,B??11，故y*??sinx，从而y???y?sinx的通解是 221y?Y?y*?C1ex?C2e?x?sinx. 2由y(0)?0,y?(0)?3，得C1?1,C2??1. 故所求初值问题的解为 21y?ex?e?x?sinx. 2【评注】 本题的核心是第一步方程变换，完全类似例题见《数学复习指南》P.53的【例2.8】.八 、（本题满分12分）【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数F?(t)的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1)
因为F(t)??2?0d??d??f(r2)r2sin?dr?t?202?00d??f(r)rdr0t2?2?f(r2)r2drt?0t0f(r)rdr2，F?(t)?2tf(t)?f(r2)r(t?r)dr[?f(r)rdr]00t22t，所以在(0,??)上F?(t)?0，故F(t) 在(0,??)内单调增加.（2） 因G(t)???f(r2)rdrt?0t0f(r)dr2，要证明t&0时F(t)?2?G(t)，只需证明t&0时，F(t)?t2?G(t)?0，即 ?t0f(r2)r2dr?f(r2)dr?[?f(r2)rdr]2?0. 00t令
g(t)??t0f(r)rdr?f(r)dr?[?f(r2)rdr]2， 0022t2t则
g?(t)?f(t2)?t0f(r2)(t?r)2dr?0，故g(t)在(0,??)内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t&0时，有g(t)&g(0).又g(0)=0, 故当t&0时，g(t)&0,因此，当t&0时，F(t)?2?G(t).【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：[?f(x)g(x)dx]??f(x)dx??g2(x)dx， 22aaabbb在上式中取f(x)为2，g(x)为fr2即可.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.129【例9.21】、【例9.24】和《数学复习指南》P.305的【例11.26】.九 、（本题满分10分）【分析】 可先求出A*,,P?1，进而确定B?P?1A*P及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一：经计算可得?5?2?2??01?1??， P?1??100?， A*???25?2????????2?25???001??00??7?. ?25?4B?P?1A*P=??????2?23??从而00??9?， B?2E???27?4?????2?25????9?E?(B?2E)?22004?(??9)2(??3)， ??72??5故B+2E的特征值为?1??2?9,?3?3.当?1??2?9时，解(9E?A)x?0，得线性无关的特征向量为??1???2??,???0?, ?1??1??2?????0???1??所以属于特征值?1??2?9的所有特征向量为??1???2???k?0?，其中k,k是不全为零的任意常数. k1?1?k2?2?k1?12?12??????0???1??当?3?3时，解(3E?A)x?0，得线性无关的特征向量为?0??， ?3??1????1???0???所以属于特征值?3?3的所有特征向量为k3?3?k31，其中k3?0为任意常数. ????1??方法二：设A的特征值为?，对应特征向量为?，即 A????. 由于A?7?0，所以??0.又因 A*A?AE，故有 A*??A??.A(P?1?)， 于是有
B(P?)?PA*P(P?)??1?1?1?(B?2E)P?1??(因此，A??2)P?1?. A??2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P?1?.??3由于 ?E?A??2?2?2?2?(??1)2(??7)， ??3?2?2??3故A的特征值为?1??2?1,?3?7.??1???1?????当?1??2?1时，对应的线性无关特征向量可取为?1?1，
?2?0. ???????0???1???1???当?3?7时，对应的一个特征向量为?3?1. ????1???01?1??1???1??0??，得P?1????1?，P?1????1?，P?1???1?. ??100123?????????????001???0???1???1??由 P?1因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为?1???1???k??1?，其中k,k是不全为零的任意常数； k1P?1?1?k2P?1?2?k1??12?12??????0???1??对应于特征值3的全部特征向量为?0??，其中k是不为零的任意常数. k3P?1?3?k3?13????1??【评注】 设B?P?1AP，若?是A的特征值，对应特征向量为?，则B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值?的特征向量为P?1?.本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量，这方面可参见类似例题《考研数学大串讲》P.214【例5】，《数学最后冲刺》P.136【例3】.
十 、（本题满分8分）【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组?ax?2by??3c,??bx?2cy??3a,
(*)?cx?2ay??3b,??a2b??a2b?3c?????有唯一解，故系数矩阵A?b2c与增广矩阵?b2c?3a的秩均为2，于是???????c2a???c2a?3b???0.a由于 ?b2b2c2a?3c?3a?6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc] ?3bc=3(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],但根据题设 (a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0，故a?b?c?0.充分性：由a?b?c?0，则从必要性的证明可知，?0，故秩()?3. 由于a2bb2c?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]
=?2[(a?故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩()=2. 1232b)?b]?0， 24因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.方法二：必要性?x0???设三直线交于一点(x0,y0)，则y0为Ax=0的非零解，其中 ????1???a2b3c??. A??b2c3a????c2a3b??于是
A?b2b3c2c3a??6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc]2a3bc=?3(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],但根据题设 (a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0，故a?b?c?0.充分性：考虑线性方程组?ax?2by??3c,??bx?2cy??3a,
(*)?cx?2ay??3b,?将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ?ax?2by??3c,(* *) ?bx?2cy??3a.?因为
a2bb2c?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]=-[a2?b2?(a?b)2]?0,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.完全类似例题见《数学最后冲刺》P.196【例5】.十一 、（本题满分10分）【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为3?kC3kC3P{X?k}?， k=0,1,2,3. 3C6即 因此 0EX?0???3??. (2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有P(A)??P{X?k}P{AX?k}k?03k13=?P{X?k}???kP{X?k} 66k?0k?0=31131EX???. 6624【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设?0,从甲箱中取出的第i件产品是合格品,Xi?? 1,从甲箱中取出的第i件产品是次品,?则Xi的概率分布为XiP11i?2,3. 22因为X?X1?X2?X3，所以3EX?EX1?EX2?EX3?. 2完全类似例题见《考研数学大串讲》P.256【例20】，利用分解法求数字特征的思想见《数学题型集粹与练习题集》P.280【例3.18-21】.
十二 、（本题满分8分）【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量??的分布函数F??(x)，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，???是否成立. 只需检验E?【详解】(1)F(x)??x???1?e?2(x??),x??,f(t)dt?? x??.0,???x}?P{min(X,X,?,X)?x} (2)
F??(x)?P{?12n=1?P{min(X1,X2,?,Xn)?x}=1?P{X1?x,X2?x,?,Xn?x}=1?[1?F(x)]n?1?e?2n(x??),x??,
=? x??.0,?(3) ??概率密度为f??(x)?dF??(x)dx?2ne?2n(x??),x??,?? x??.0,?????因为
E??????xf??(x)dx??2nxe?2n(x??)dx ?=??1??， 2n所以??作为?的估计量不具有无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.
2004年数学一试题
详解和评注一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为
y?x?1.【分析】
本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】 由y??(lnx)??为 1?1，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程xy?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为y?x?x0?1?1，得x0?1，由此可知所求切线方程为y?0?1?(x?1)， 即 x0y?x?1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知f?(ex)?xe?x，且f(1)=0, 则f(x)= (lnx)2
.【分析】 先求出f?(x)的表达式，再积分即可。【详解】 令ex?t，则x?lnt，于是有 12f?(t)?lntlnx， 即
f?(x)?. tx积分得
f(x)?函数为f(x)= lnx12?(lnx)?C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求?x21(lnx)2. 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
（3）设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，则曲线积分3xdy?2ydx的值为 ? . ?L2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】
正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，可表示为?x?2cos?,??y?2sin?,于是
?:0???2.?xdy?2ydx??L20[2cos??2cos??22sin??2sin?]d? 3?. 2?
=???202sin2?d??【评注】
本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .
c1c2d2ydy?4x?2y?0(x?0)（4）欧拉方程x的通解为 y??2. 2dxxxdx2【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x?et化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解】
令x?et，则 dydydtdy1dy， ???e?t?dxdtdxdtxdtd2y1dy1d2ydt1d2ydy??2???[?]， dx2xdtxdt2dxx2dt2dt代入原方程，整理得d2ydy?3?2y?0， dtdt2解此方程，得通解为
y?c1e?t?c2e?2t?c1c2?2. xx【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令x?et，则欧拉方程d2ydyax?bx?cy?f(x)， 2dxdx2d2ydydy可化为
a[2?]?b?cy?f(et). dtdtdt完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数学大串讲》P75例12.
?210???（5）设矩阵A?120，矩阵B满足ABA*?2BA*?E，其中A*为A的伴????001??1随矩阵，E是单位矩阵，则B?
. 9【分析】 可先用公式A*A?AE进行化简【详解】
已知等式两边同时右乘A，得ABA*A?2BA*A?A，
而A?3，于是有3AB?6B?A，
(3A?6E)B?A，再两边取行列式，有
3A?6EB?A?3，而 3A?6E?27，故所求行列式为B?1. 9【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A*，一般**均应先利用公式AA?AA?AE进行化简。完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9（6）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?1=
. e【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解】
由题设，知DX?1?2，于是P{X?DX}=P{X?}?1?e??xdx 1????=?e??x??1?1?. e【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把x?0时的无穷小量????x0costdt,???tandt,???sint3dt，002x2x使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) ?,?,?.
(C) ?,?,?.
]【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.??lim【详解】
limx?0?x?0????0x2xtantdtcost2dt?lim?x?0tanx?2x?0，可排除(C),(D)选项， 2cosx320?又
lim?limx?0?x?0????0x2sintdt3sinx??lim?x?010tandt2x 2xtanx=1xlim?2??，可见?是比?低阶的无穷小量，故应选(B). 4x?0x【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将?,?,?分别与xn进行比较，再确定相互的高低次序.完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.
（8）设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得(A)
f(x)在（0，?)内单调增加.
（B）f(x)在(??,0)内单调减少.(C)
对任意的x?(0,?)有f(x)&f(0) .
(D) 对任意的x?(??,0)有f(x)&f(0) .[
函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解】
由导数的定义，知f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0， x根据保号性，知存在??0，当x?(??,0)?(0,?)时，有f(x)?f(0)?0 x即当x?(??,0)时，f(x)&f(0); 而当x?(0,?)时，有f(x)&f(0). 故应选(C).【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题.
（9）设?an?1?n为正项级数，下列结论中正确的是? (A)
若limnan=0，则级数n???an?1n收敛.?（B） 若存在非零常数?，使得limnan??，则级数n???an?1n发散.(C)
若级数?an?1?n?1?n2收敛，则limnan?0.
n??(D) 若级数?an发散, 则存在非零常数?，使得limnan??.
] n??【分析】
对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.??11【详解】
取an?，则limnan=0，但?an??发散，排除(A)，n??nlnnnlnnn?1n?1(D)；又取an?1nn，则级数?an?1?n收敛，但limn2an??，排除(C), 故应选(B). n??【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，??an1limnan?lim???0，而级数?发散，因此级数?an也发散，故应选(B). n??n??1n?1nn?1n完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.
（10）设f(x)为连续函数，F(t)??dy?1ttyf(x)dx，则F?(2)等于(A)
]【分析】 先求导，再代入t=2求F?(2)即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得F(t)??dy?f(x)dx=?[?f(x)dy]dx??f(x)(x?1)dx 1ytttxt111于是，F?(t)?f(t)(t?1)，从而有 F?(2)?f(2)，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:[?b(x)a(x)f(t)dt]??f[b(x)]b?(x)?f[a(x)]a?(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12，先交换积分次序再求导.
（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为?010??010??010??011?????????(A)
(B) ?101?.
?100?.?????101???001???011???001??[
]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有?010??100???B， B?011??C， A?100???????001???001???010??100?????于是，
A100011???????001????001??可见，应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2
（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D)
A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.
]【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A为m?n矩阵，B 为n?s矩阵，则由AB=O知， ?011???C. A?100????001??r(A)?r(B)?n.又A,B为非零矩阵，必有r(A)&0,r(B)&0. 可见r(A)&n, r(B)&n, 即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。同理，由AB=O知，BTAT?O，于是有BT的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】 AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1） AB=O?r(A)?r(B)?n;2） AB=O?B的每列均为Ax=0的解。完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11，《数学一临考演习》P79第4题,〈考研数学大串讲〉P173例8, P184例27。
（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于 (A)
(B) u21??2.
(C) u1?? .
] 2【分析】 此类问题的求解，可通过u?的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X??u?}??，于是 1???1?P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?P{X??x}?2P{X?x} 即有
P{X?x}?1??，可见根据定义有x?u1??，故应选(C). 22【评注】 本题u?相当于分位数，直观地有
?1??2此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过.
（14）设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为?2?0. 令1nY??Xi，则 ni?1(A)
Cov(X1,Y)?(C)
D(X1?Y)??2n.
Cov(X1,Y)??2.
n?22n?12?.
D(X1?Y)??.
] nn【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：Cov(X1,Xi)?0,i?2,3,?n.1n11n【详解】 Cov(X1,Y)?Cov(X1,?Xi)?Cov(X1,X1)??Cov(X1,Xi) ni?1nni?2=11DX1??2. nn【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如1?n11(1?n)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?3n2n?32???，
=2nnn?111(n?1)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?2n2n?22???.
=nn2完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题（本题是第23题的特殊情况）.
（15）（本题满分12分）设e?a?b?e2, 证明ln2b?ln2a?4(b?a). 2e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】
对函数ln2x在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得ln2b?ln2a?2ln??(b?a),a???b.设?(t)?lnt1?lnt，则??(t)?，
tt2当t&e时， ??(t)?0, 所以?(t)单调减少，从而?(?)??(e2)，即ln?lne22?2?2， ?ee故 ln2b?ln2a?4(b?a). e24x，则 2e【证法2】
设?(x)?ln2x???(x)?2???(x)?2lnx4?2， xe1?lnx, x2所以当x&e时，???(x)?0, 故??(x)单调减少，从而当e?x?e2时，??(x)???(e2)?44??0， 22ee即当e?x?e2时，?(x)单调增加.因此当e?x?e2时，?(b)??(a)，即
ln2b?442b?lna?a， 22ee4(b?a). 2e故
ln2b?ln2a?【评注】 本题也可设辅助函数为?(x)?ln2x?ln2a?4(x?a),e?a?x?e2或 2e?(x)?ln2b?ln2x?42，再用单调性进行证明即可。 (b?x),e?x?b?e2e完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13.
（16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【详解1】
由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0?700km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得mdv??kv. dtdvdvdxdv???v， dtdxdtdx又由以上两式得dx??mdv， k积分得 x(t)??mmv?C.
由于v(0)?v0,x(0)?0，故得C?v0，从而 kkx(t)?m(v0?v(t)). kmv??1.05(km). 6k6.0?10当v(t)?0时， x(t)?所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】
根据牛顿第二定律，得 m所以
dv??kv, dtdvk??dt. vmk?tm两端积分得通解v?Ce，代入初始条件vt?0?v0解得C?v0，故
v(t)?v0ek?tm.飞机滑行的最长距离为x????0mv0?mtv(t)dt??ekkk??0?mv0?1.05(km). kkk?t?ttkv?tdx或由?v0em，知x(t)??v0emdt??0(em?1)，故最长距离为当0dtmkvt??时，x(t)?0?1.05(km). md2xdx【详解3】
根据牛顿第二定律，得 m2??k, dtdtd2xkdx??0， dt2mdt其特征方程为 ?2?kk??0，解之得?1?0,?2??， mm故
x?C1?C2ek?tm.kC?t??2emt?0mkdx
由 x?0,v?t?0t?0dtt?0k?v0， ?tmv0mv0(1?em). 得
C1??C2?, 于是 x(t)?kk当t???时，x(t)?mv0?1.05(km). k所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t???或v(t)?0的极限值，这种条件应引起注意.完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11.（17）（本题满分12分）计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,?其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取?1为xoy平面上被圆x2?y2?1所围部分的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域，