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下列各函数是由哪些基本初等函数复合而成的 (1)y=sin√x; (2)y=e^arctanx^2; (3)y=(ln√x)^2; (4)y=1/2^x^
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(1)y=sin√x; y=sinu u=√x(2)y=e^arctanx^2; y=e^u u=arctanv v=x^2 (3)y=(ln√x)^2; y=u^2 u=lnv v=√x(4)y=1/2^x^ y=(1/2)^u u=x^
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扫描下载二维码1.2.3复合函数求导我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) ? g ( x) ? ? f ?( x) ? g ?( x)??法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: ? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?练习1、求下列函数的导数。(1) y= 5y? ? 04-2(2) y= x(3) y= x?2 y? ? ?2 x ? 3 x?3y? ? 4 x3x (4) y= 2y? ? 2 ln 2x(5) y=log3x y? ?1 x ln 3练习2、求下列函数的导数。1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx思考？如何求函数y ? ln ?x ? 2?的导函数：复合函数的概念一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).如下函数由多少个函数复合而成：1. y ? sin 2 x 2 2. y ? ? 2 x ?1 2 3. y ? (sin 2 x ? 1) 4. y ? ln ? x ? 2?复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间的关系为 yx ' ? yu '?u x '例4 求下列函数的导数(1) y ? (2 x ? 3)2解： (1)函数y ? (2 x ? 3)2 可以看作函数y ? u 2和 u ? 2 x ? 3的复合函数。根据复合函数求导法则有y x ' ? yu '?u x ' ? (u )'?(2 x ? 3)'2? 4u ? 8 x ? 12(2) y ? e解： (1)函数y ? e?0.05 x?1?0.05 x ?1可以看作函数y ? e 和uu ? ?0.05 x ? 1的复合函数。根据复合函数求导法则有yx ' ? yu '?u x ' ? (e )'?(?0.05 x ? 1)'u? ?0.05e ? ?0.05eu ?0.05 x ?1(3) y ? sin( ?x ? ? )(其中?，?均为常数)解： (1)函数y ? sin( ?x ? ? )可以看作函数y ? sin u和 u ? ?x ? ?的复合函数。根据复合函数求导法则有y x ' ? yu '?u x ' ? (sin u )'?(?x ? ? )' ? ? cos u ? ? cos(?x ? ? )小结： 复合函数y=f(x)要先分解成基本 初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等， 再求导：y’x=y’uu’vv’ x 根据函数式结构或变形灵活选择 基本初等函数求导公式或复合函数求 导方法作业本：“基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则”例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.1 4 t 41 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于 10 ,求直线m的方程.1 1 ?3 ?4 ? ? ? 解：y ? 3 , y ? ( 3 ) ? ( x ) ? ?3 x x ?曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k ? y? | x ?1 ? ?3,从而切线方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1),即3 x ? y ? 4 ? 0.设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:| b ? (?4) | 32 ? 1 ? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.设y=ln(x+1)由函数什么复合而得到_百度知道
设y=ln(x+1)由函数什么复合而得到
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对数函数u=x+1， 幂函数与常数的四则运算
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学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算（二）学案（含解析）新人教A版选修2-2.doc
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文档介绍：
学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算（二）学案（含解析）新人教A版选修2-2.doc第二课时复合函数求导及应用
已知y=(3x+2)2,y=sin.
问题1:这两个函数是复合函数吗?
提示:是复合函数.
问题2:试说明y=(3x+2)2是如何复合的.
提示:令u=g(x)=3x+2,y=f(u)=u2,
则y=f(u)=f(g(x))=(3x+2)2.
问题3:试求y=(3x+2)2,f(u)=u2,g(x)=3x+2的导数.
提示:y′=(9x2+12x+4)′=18x+12,f′(u)=2u,g′(x)=3.
问题4:观察问题3中的导数有何关系.
提示:y′=′=f′(u)·g′(x).
1.复合函数的概念
对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成 x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
对复合函数概念的理解
(1)在复合函数中,内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集.
(2)对于复合函数,中间变量应该选择基本初等函数.判断一个函数是基本初等函数的标准是:运用求导公式可直接求导.
简单的复合函数求导问题
求下列函数的导数:
(1)y=;(2)y=
(3)y=(4)y=5log2(2x+1).
(1)设y=u,u=1-2x2,
则y′=(u)′(1-2x2)′=·(-4x)
=(1-2x2) (-4x)= .
(2)设y=eu,u=sin x,
则yx′=yu′·ux′=eu·cos x=esin xcos x.
(3)设y=sin u,u=2x+,
则yx′=yu′·ux′=cos u·2=2cos.
(4)设y=5log2u,u=2x+1,
则y′=5(log2u)u′(2x+1)x′==.
复合函数的求导步骤
求下列函数的导数:
(1)y=(2x-1)4;
(2)y=102x+3;
(3)y=sin4x+cos4x.
解:(1)令u=2x-1,则y=u4,
∴y′x=y′u·u′x=4u3·(2x-1)′=4u3·2
=8(2x-1)3.
(2)令u=2x+3,则y=10u,
∴y′x=y′u·u′x=10u·ln 10·(2x+3)′
=2ln 10·102x+3.
(3)y=sin4x+cos4x
=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x
=1-(1-cos 4x)
所以y′=′=-sin 4x.
复合函数与导数的运算法则的综合应用
求下列函数的导数:
(2)y=xcossin.
(1)y′=(x)′
=x′+x()′
(2)∵y=xcossin
=x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x,
=-sin 4x-cos 4x·4
=-sin 4x-2xcos 4x.
复合函数求导应注意的问题
(1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导.
求下列函数的导数:
(1)y=sin2;
(2)y=sin3x+sin x3;
(3)y=xln(1+2x).
解:(1)y′=′=2sin ·′
=2sin ·cos ·′=sin .
(2)y′=(sin3x+sin x3)′=(sin3x)′+(sin x3)′
=3sin2xcos x+cos x3·3x2
=3sin2xcos x+3x2cos x3.
(3)y′=x′ln(1+2x)+x′
=ln(1+2x)+ .
复合函数导数的综合问题
设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切,求a,b的值.
由曲线y=f(x)过(0,0)点,
可得ln 1+1+b=0,故b=-1.
由f(x)=ln(x+1)++ax+b,
得f′(x)=++a,
则f′(0)=1++a=+a,
此即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.
由题意,得+a=,故a=0.
解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法
正确求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为y=s(t)=5-.求函数在t=时的导数,并解释它的实际意义.
解:函数y=5-可以看作函数f(x)=5-和x=φ(t)=25-9t2的复合函数,其中x是中间变量.
由导数公式表可得f′(x)=-x-,φ′(t)=-18t.
再由复合函数求导法则得y′t=s′(t)=f′(x)·φ′(t)=·(-18t)=,
将t=代入s′(t),得s′=0.875(m/s).
它表示当t=时,梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.
函数y=x·e1-2x的导数为________.
y′=e1-2x+x(e1-2x)′
=e1-2x+xe1-2x·(1-2x)′
=e1-2x+xe1-2x×(-2)
=(1-2x)e1-2x.
y′=(1-2x)e1-2x
1.本题易发生对e1-2x的求导不按照复合函数的求导法则进行,导致求导不完全,得出y′=e1-2x+x(e1-2x)′=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x的错误结论.
2.复合函数的求导法则通常称为链条法则,因为它像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的任何一环.
函数y=ln在x=0处的导数为________.
解析:y=ln=ln ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),
当x=0时,y′=1-=.
1.函数y=(2 017-8x)3的导数y′等于( )
A.3(2 017-8x)2 B.-24x
C.-24(2 017-8x)2 D.24(2 017-8x)2
解析:选C y′=3(2 017-8x)2×(2 017-8x)′=3(2 017-8x)2×(-8)=-24(2 017-8x)2.
2.函数y=x2cos 2x的导数为( )
A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x
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习题详解-第1章 函数
解：f?g?x???2g(x)?2xlnx，g?f?x???f?x?lnf?x??2xln2x?x2xln2，
，g?g?x???g?x?lng?x??xlnxln(xlnx).
9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1） y??1?x（2）y?
11?arccos3x
解：（1） y??1?x（2）y?
由y?u3,u?1?x复合而成的。 由y?
,u?1?v,v?arccosw,w?3x复合而成的。
1?arccos3x
10.设f?x?定义在???,???上，证明： （1）f?x??f??x?为偶函数； （2）f?x??f??x?为奇函数.
解：（1）设F(x)?f?x??f??x?，则F(?x)?f??x??f?x??F(x)， 所以f?x??f??x?为偶函数。 （2）设G(x)?f?x??f??x?，
则G(?x)?f??x??f?x???(f(x)?f(?x))??G(x)，所以f?x??f??x?为奇函数。
11.邮局规定国内的平信，每20g付邮资0.80元，不足20g按20g计算，信件重量不得超过2kg，试确定邮资y与重量x的关系.
?0.8, 0?x?20?
1.6, 20?x?40??
解：由题意可知y??2.4, 40?x?60.
??????80, 1980?x?2000
1. 求函数f(x)?
lg(3?x)sinx
3?x?0,??x?3
解：要使式子有意义，x必须满足?sinx?0,
即?x?k? ，因此函数的定义域
?5?4x?x2?0,??1?x?5??
是[?1,0)?(0,3).
2．设f(x)??
,求函数f(x?3)的定义域.
解：由f(x)的定义域是[0,2]，故0?x?3?2，解得?3?x??1，所以函数f(x?3)的定义域为[?3,?1].
3．下列函数是奇函数的是 (
)，是偶函数的是 (
(?1?x?1)；
B. y?ln(x??x2)； C. y?
y??sinx. ln1?x1?xln
的定义域是(?1?x?1)，是对称区间，
因为f(?x)?
(?1?x?1)是偶函数。
?x)的定义域是(??,??)，是对称区间，
???lg??lgx?
所以，y?ln(x??x2)是???,???上的奇函数.
C. y?+cosx的定义域是(??,??)，是对称区间，
因为f(?x)?奇非偶函数。
?cosx，所以y?
?sinx的定义域是(??,0)?(0,??)，是对称区间，
因为f(?x)?
?sinx，所以y?
?sinx是非奇非偶函数。
4. 设 f?x?
??x?2, 求f(x). x?x
?(x?)?2?x?，所以f(x)?x?2. ?2
5. 设函数f(x)为定义域(??,+?)上的奇函数，f(1)?k，且对任意x满足
解：因为f?x?
f(x?2)?f(2)?f(x).
(1) 求f(2)与f(5)；
(2) 问k为何值时，f(x)是以2为周期的函数.
1)?f(2)解：(1) 因为f(?1?2)?f(2)?f(?1)，即f(
，又因为函数f(x)为
奇函数，故f(1)??f(?1)，所以f(2)?2f(1)?2k，
f(5)?f(2)?f(3)?f(2)?f(2)?f(1)?5k.
(2) 若想要f(x)是以2为周期的函数，只要有f(x?2)?f(x)，则只要f(2)?2k?0 故当k?0时，f(x)是以2为周期的函数.
6. 设函数f(x)的定义域为(?a,a)，证明必存在(?a,a)上的偶函数g(x)及奇函数
h(x), 使得 f(x)?g(x)?h(x).
证明：令g(x)?因为g(?x)?
[f(x)?f(?x)]，h(x)?
[f(x)?f(?x)]，
[f(?x)?f(x)]??h(x)，所以
g(x)是偶函数，h(x)是奇函数
[f(?x)?f(x)]?g(x，)h(?x)?
又f(x)?g(x)?h(x)，命题得证。
7．若f(x)对其定义域上的一切x, 恒有f(x)?f(2a?x),则称f(x)对称于x?a.
证明: 若f(x)对称于x?a及x?b(a?b), 则f(x)是以T?2(b?a)为周期的周期函数.
证明：因为f(x)对称于x?a，则有f(x)?f(2a?x),又因为f(x)对称于x?b，则有f(2b?(2a?x))?f(2a?x),
所以f(x)?f(2a?x)?f(2b?(2a?x))?f(2(b?a)?x)， 即f(x)是以T?2(b?a)为周期的周期函数.
8. 已知f(sinx)?3?cos2x, 求f(cosx).
解：因为f(sinx)?3?(1?2sinx)?2?2sinx， 所以f(cosx)?2?2cosx?3?cos2x 9. 已知f(x)?ln(x?1), f[g(x)]?x, 求g(x).
解：由 f[g(x)]?ln(g(x)?1)?x，解得g(x)?e?1.
解：令u?，解得x?，则有
x?1u?1x?1x?1
)?2即f(x)?3f(，又因为fx?1x?1
)?3f(x)?2x，求f(x).
f(u)?3f((x?1x?1
)?3f(x)?2x，
可解得f(x)?
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