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[理学]数学分析试题库--证明题--答案
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··········
··········
数学分析题库（1-22章）
五．证明题
1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：
（1）对任何有；
（2）对任何，存在，使得.
由（1）可得.为了证，用反证法.若，设，使得.
2.设A，B是非空数集，记，证明：
证（1）若A，B中有一集合无上界，不妨设A无上界，则S也是无上界数集，于是，结论成立.若A，B都是有上界数集，且，现设法证明
（ⅰ），无论或，有
（ⅱ）于是
同理可证（2）.
3. 按定义证明
取，当n>N时，
4，扩大之后的分式仍是无穷小数列.
4.如何用ε-N方法给出的正面陈述？并验证||和||是发散数列.
的正面陈述：>0，，≥N，使得
数列{}发散，.
（1），=，，只要取，便可使≥≥≥，于是{}为发散数列.
（2）. 若a=1，=1，取为任何奇数时，有>.若a=-1，=1，取为任何偶数时，有>. 若a≠1，=，对任何n，有||≥. 故||为发散数列.
5.用方法验证：
（1）消去分式分子、分母中当时的零化因子（x-1）：
（2）把化为，其中为x的分式：
（3）确定的邻域0<|x-1|<，并估计在此邻域内的上界：取，当0<|x-1|<时，可得
（4）要使≤，只要取.于是应取
当0<|x-1|<时，.
用方法验证：
注意到当时，上式可以充分小，但是直接解不等式
希望由此得到x<-M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M的过程.因为由
便可求得，考虑到所需要的是.于是，当x0）上一致连续，因此当很小时，必须在中寻找，这是证明中的困难之处.现不妨取，
当n充分大时，能满足，但≥1.
，取，，当时，使，但≥，即在上不一致连续.
设函数在（a,b）内连续，且==0，证明在（a,b）内有最大值或最小值.
因为==0，于是可把延拓成[a,b]上的连续函数，然后可以应用连续函数的最大、最小值定理.
证人 先把函数延拓成[a,b]上的函数F(x)，设
易知为[a,b]上的连续函数，这是因为
在[a,b]上对应用连续函数的最大、最小值定理，即，，在，分别取得最大值和最小值.若，，则在（a,b）内恒为零，显然在（a,b）内同样能取得最大值和最小值；若，中有一个数在（a,b）内，则在（a,b）内取得最大值或最小值.
证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.
因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，可得存在，.证明本题的合理途径是把延拓成闭区间[a,b]上的连续函数在[a,b]上应用一致连续性定理.
因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，与都存在，应用范例1中的方
正在加载中，请稍后...高数中值定理证明题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对任意给定的正数a
问题描述：
高数中值定理证明题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对任意给定的正数a和b,在(0,1)内存在不相等的实数ξ,η,使得a/f'(ξ)+b/f'(η)=a+b
问题解答：
由连续性可取一点c使得f(c)=a/(a+b),然后在[0,c]和[c,1]上用Lagrange中值定理即可. 再问： 还有其他方法么
我来回答：
剩余:2000字
1.直接对F（x)用罗尔定理便可得到(1)F（x)在[1,2]上连续（因为它是两个连续函数的乘积）；(2)F（x)在(1,2)内可导（因为它也是两个可导函数的乘积）(3)F(1)=(1-1)f(1)=0,F(2)=(2-1)f(2)=0即F(1)=F(2)因此至少存在一点A属于(1,2).使得F'(A)=0(注：你的说
构造函数g(x)=e^(-x)*f(x)有g(a)=g(b)=0在(a,b)内至少存在一点c,使得g'(c)=e^(-c)*(f'(c)-f(c))=0即在(a,b)内至少存在一点c,使得f'(c)-f(c)=0
假设f'(x)≤0在(a,b)内恒成立如果f'(x)=0在(a,b)内某区间(m,n)内恒成立,又f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,∴对任意x1,x2∈(m,n)存在x0∈ (m,n)使f(x1)-f(x2)=f'(x0)(x1-x2)=0 则f(x1)=f(x2)=C为常数 即f(x)=C又∵f(x)不
作辅助函数F(x)= f(x) / e^(x/2),在[a,b]上对F用罗尔定理即可证出. 再问： 怎么想到要构造的函数？再问： 怎么想到要构造这种函数 再答： 能不能这么说，构造什么样的辅助函数，就象在几何证明题中，应该添加什么样的辅助线。在当前，导数的公式必须要熟悉，结合本题，那就是，谁求导以后会出现形式2f '
引入辅助函数g(x)=[f(x)-f(b)](x-a),就可以如图证明了.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
好人来了!:-)&看图~
从最后的结果看,对xf(x)用中值定理即可.设F(x)＝xf(x),则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ,使得(F(b)-F(a))/(b-a)＝F'(ξ).因为F'(x)＝f(x)＋xf'(x),所以[bf(b)-af(a)]/(b-a)=f(ξ)+ξf'(ξ)
考虑函数G（x)=e^x*f(x)G(a)=e^a,G(b)=e^bG'(x)=e^x*(f(x)+f'(x）由中值定理得存在一点d属于(a,b)使得（G(b)-G(a))/(b-a)=(e^b-e^a)/(b-a)=G'(x)=e^d*(f(d)+f'(d）)……式1考虑J（x)=e^x由中值定理得存在一点c属于(a
∵f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导∴xf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导再用拉格朗日中值定理∴则(a,b)内至少存在一点c,使f(c)+cf'(c)=[bf(b)-af(a)]/(b-a)
F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2由积分中值定理,存在ξ∈(a,x),使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2=(f(x)
令F(x)=f(x)(b-x)F(a)=0,F(b)=0所以存在n,F'(n)=f'(n)(b-n)-f(n)=0所以f(n)=(b-n)f'(n) 再问： 为什么是令F(x)=f(x)(b-x)呢，为什么可以这样，难道可以随便构造函数？
设g(x)=f(x)e^(dx),由题意得g(x)在(a,b)上可导,[a,b]内连续,又g(a)=f(a)e^(da)=0g(b)=f(b)e^(da)=0即g(a)=g(b)对g(x)在[a,b]区间应用罗尔定理,至少存在一点c,使得g'(c)=0即f'(c)e^(dc)+df(c)e^(dc)=0对上式左右除以e
不是的,主要是看装备
题目要证明什么? 再问： 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(0
再答： 不客气~点采纳吧~
F（1）=F（2）=0由罗尔定理可得,存在一点ξ∈（1,2）,使得F‘（ξ）=0.证毕
设g(x)=f(x)e^x利用中值定理,存在η∈(a,b),使得g'(η) = g(b)-g(a))/(b-a)即：e^η(f(η)+f'(η))=（e^b - e^a)/(b-a)又,对h(x)=e^x 用中值定理,得：存在ε∈(a,b),使得e^ε = h'(ε) = h(b)-h(a))/(b-a)=（e^b -
φ‘(x)=(f’(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2,a
变一下形:[f(a)-f(b)]/[lna-lnb]=f'(n)/(1/n)上式可由柯西中值定理得出 再问： 令F（x）=?-[f(a)-f(b)]/[lna-lnb]x呢？然后使F(a)-F(b)=0根据洛尔定理得F‘（x）=0 再答： 1)根据你F(x)的定义怎么得出F(a)-F(b)=0的?2)即使得出F(a)-
令g(x) = x^2 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导则柯西中值定理：(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(ξ)/g'(ξ)所以2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(ξ)
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问题描述：
证明题：设f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导……设f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,0&
问题解答：
确定没抄错题?cotb(sin￡1)^2 f'(￡2)?看起来不是很协调啊,如果你确定没抄错,我就试试看.不过我希望楼主能提供一份word公式编辑器版本的式子,这个样子的感觉有些不靠谱··· 再问： 已经上传图片了，麻烦帮忙证明一下 再答： 我的神啊，累死我了才做出来，用柯西中值定理，两个辅助函数，f(x)/cotx和f(x)/tanx f'(ξ1)/(-csc&#178;ξ1)=[f(b)-f(a)]/[cotb-cota]还有 f'(ξ2)/(sec&#178;ξ2)=[f(b)-f(a)]/[tanb-tana] 注意第一个式子里有个负号 两个式子做比 [f'(ξ1)sin&#178;ξ1)]/[f'(ξ2)(cos&#178;ξ2)]=[tanb-tana]/[cota-cotb] 右式分子分母都把tan和cot画成sin cos的形式，然后通分，就化为[sinasinb]/[cosacosb]=tanatanb 这样就基本证毕了 这套题还是有点少了一个条件的，就是f'(x)不等于0，否则没法做。 有不懂的就追问，我尽量解答。 加分吧，真心把我累坏了···这道题太难了。
我来回答：
剩余:2000字
f(0)+f(1)+f(3)=3,f(3)=1则f(0)+f(1)=2因此f(0)=f(1)=1,或f(0)1若f(0)1由介值定理可知,在(0,1)上存在一点x1,使f(x1)=1再加上f(0)=f(1)=1的情况,可知,在[ 0,1 ]上存在一点x1,使f(x1)=1f(x1)=1=f(3)因此由中值定理可知,在(
证明：设F(x)=f(x)(b-x).则：F(x)在闭区间[a,b] 上连续,在开区间（a,b)内可导.由于F(a)=f(a)(b-a)=0 F(b)=0,由罗尔中值定理,存在ξ∈(a,b) ,使得 F'(ξ)=0但F‘(x)=f’(x)(b-x)-f(x),代入得：f’(ξ)(b-ξ)-f(ξ)=0即：f’(ξ)=
因为f(x)在闭区间[-1,1]上连续,在开区间(-1,1)内可导所以|f(x)|=|f(x)-f(0)|=|∫f'(x)dx|
设g(x)=f(x)*e^x,g'(x)=f'(x)*e^x+f(x)*e^x=[f'(x)+f(x)]*e^x则g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导且g(a)=f(a)*e^a=0,g(b)=f(b)*e^b=0,由拉格朗日中值定理知,存在ξ,ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0.即[f'(ξ)+
证明：令F(x)=f(x)/e^x,则F(a)=f(a)/e^a=0 F(b)=f(b)/e^b=0所以F(a)=F(b)由罗尔定理,在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得F‘(ξ)=0又F‘(ξ)=[f'(ξ)e^ξ-f(ξ)e^ξ]/e^(2ξ)=[f'(ξ)-f(ξ)]/e^ξ即在开区间(a,b)内至少存在一点
实际上可导就一定连续啦,但在闭区间边缘上的点是不能说可导的,因为它不符合导数定义,所以加一条闭区间连续.不严格的话直接说闭区间可导也是可以的吧···
(1)证明：构造函数g（x）=f（x)-x,由于设(x)在闭区间[0,1]上连续,显然,g(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,g(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2>0g(1)=f(1)-1=-1 (f(ξ)-ξ)'=λ*(f(ξ)-ξ)=>f'(ξ)-1=λ*(f(ξ)-ξ)即f'(ξ)-λ
证明：设g(x)=f(x+a)-f(x),则g(x)是[0,a]上的连续函数,且g(0)=f(a)-f(0),g(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)所以g(0)=-g(a),即g(0)g(a)≤0,由介值定理,知必存在c∈[0,a],使得g(c)=0,即f(a+c)=f(a)
由拉格朗日中值定理：对x属于[-1,1],存在a属于(-1,1),使：f(x)-f(0)=xf'(a)|f(x)|=|xf'(a)|
证明：令F(x)=xf(x),则F(0)=0 F(1)=f(1)=0所以,F(0)=F(1)由罗尔定理,在开区间(0,1)内可导至少存在一点u,使得F'(u)=0而F'(u)=f(u)+uf'(u)即在开区间(0,1)内可导至少存在一点u,使得f'(u)=-[f(u)/u]
设F(x)=f(x-1/3)-f(x)+1/3F(1/3)=f(0)-f(1/3)+1/3=-f(1/3)+1/3F(2/3)=f(1/3)-f(2/3)+1/3F(1)=f(2/3)-f(1)+1/3=f(2/3)-2/3F(1/3)+F(2/3)=-f(2/3)+2/3 ,由介值性定理,至少存在a,(1/3《a《2
证明：令f(0)=f(1)=a,f(3/4)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/4)分情况:1.若a=b则x0=3/4时f(x0)=f(3/4)=f(1)=f(x0+1/4)显然满足2.若ab则与2同样方法F(0)>0,F(3/4)
这是柯西中值定理.在网上搜搜就有了. 高数课本上有很清晰的证明. 作辅助函数 F(x)=f(x)-f(b)-[f(a)-f(b)][g(x)-g(b)]/[g(a)-g(b)]显然,F(a)=F(b)=0由罗尔中值定理知：存在ξ∈（a,b）,使得F'（ξ）=0.故F'（ξ）=f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）
白羊座星光 ,这个题我做了起码有四五遍了,是道比较精典的微分中值证明题了.其关键是将函数在x=0,x=1处用麦克劳林展式展开.算了,我写一遍吧.当X E（0,1）时,f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(a)x^2 a E(0,x)f(x)=f(1)+f'(1)(1-x)+f''(b)x^2 b E(x,1),两式
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易知：f(x)在闭区间[x1,x2]上连续,则它在区间[x1,x2]上必然有最大值m和最小值n,从而有：n=
记m=min{f(x1)...,f(xn)},M=max{f(x1),f(x2),...,f(xn)},则m
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