线性代数行列式 利用三角化里计算行列式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-10 05:33 标签： 线性代数行列式

1,2...,n 组成的一个无重复的有序数组 级排列共有 n! 个，因为这是个全排列的问题。

逆序数 指的是在一个 n 级排列中，较大数排在较小数之前这种组合（称为逆序）的总个数，用

一般来说，我们定义逆序数的概念，只想知道其奇偶性，对于数值具体多少并不关心。如果交换任意的两数的位置，则称为一次 对换 操作，且排列的奇偶性被改变。

由 n2 个元素组成的 n 行 n 列组成的式子称为 n 阶行列式，展开以后一共有 n! 项，如下：

相当于说每行选一个矩阵项出来，但是列数不能重复，莫非简化版是 n 皇后问题？对于选出来的项 aij 的符号问题，如 τ(25134)=1+3=4，因此是偶排列，符号取正号。

有几种特殊的行列式，也非常常用。如 上三角行列式 和 下三角行列式，其对角线以下或者以上均为全零元素。行列式的值为对角线元素的乘积。

当然如果是副对角线的话，符号就不一定是正的了。

还有特殊的范德蒙行列式，

互不相等的时候，行列式才不等于零。

1.2 行列式的性质和定理

  • 性质1 转置改变行列式的值，即 |A|=|AT|
  • 性质2 交换两行（列），行列式正负号改变。
    • 推论：若行列式的两行（列）相同，则行列式为零。
  • 性质3 某行（列）的公因子可以提取到行列式外。
    • 推论1：若行列式中有某行（列）元素为零，则行列式为零
    • 推论2：若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零。
  • 性质4 行列式可以按照某行拆分成两个行列式。
  • 性质5 将行列式某行（列）的 k（常数）倍加到另一行（列）上去，不改变值。

行列式按行（列）展开定理

行列式可以通过余子式降阶，按照行或者列展开。去掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列，剩下的元素形成的子矩阵就是余子式 Mij，代数余子式则要加上一个符号，有代数余子式

注意余子式和代数余子式都是行列式，是一个值，和矩阵的符号也是不一样的。

先来看线性方程组的概念。方程组

上面的非齐次线性方程组也可以写成矩阵的形式，Ax=b， 其中系数矩阵 A，变量 x 和常数项 b 表示如下：

克莱姆法则 表述如下，对于线性方程组 An×nx=b，若行列式 |A|≠0，则方程组有唯一解，

  • 克莱姆法则只针对于方阵和 |A|≠0 的情况，才可以套用上面的公式求解；
  • 对于齐次线性方程组 An×nx=0 且满足 |A|≠0，那么套用克莱姆法则，发现方程只有零解；若 |A|=0，那么方程有非零解。反之亦然。
  • |A|=0 时，方程可能有解，也可能没有解。

性质4 §1.3 行列式的性质 如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。 行列式的分解 ( 行) ( 行) 性质4 行列式的分解 其余行的元素全部不改变 §1.3 行列式的性质 性质4 §1.3 行列式的性质 如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。 行列式的分解 例如 推论 §1.3 行列式的性质 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。 将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变。 性质5 ( 行) ( 行) 行列式的性质（小结） §1.3 行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等,即 D = DT. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此 行列式等于零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘 以同一个数 k ,等于用数 k 乘以此行列式. 行列式的性质（小结） §1.3 行列式的性质 (5) 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面. (6) 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (7) 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 则该行列式可拆成两个行列式之和. (8) 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个数, 然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 将行列式化为上三角形行列式的步骤：设第一行第一列的元素不为0（否则先将第一行与其它行交换，使第一行第一列元素不为0——最好是1)； 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至它成为上三角形行列式，这时主对角线上的元素的乘积就是行列式的值。(§P16中间的一段文字 ) 初学行列式计算时注意：要将变换过程记录下来，便于检查。将过程记在行列式符号的右边，用“箭头”表示。 计算行列式常用方法： §1.3 行列式的性质 例2 P15 其特点是元素aij=-aji (i?j时) aii=0 (i=j时) 证明奇数阶反对称行列式的值为零。反对称行列式为下列形式的行列式 例 是 不是 §1.3 行列式的性质 例2 P15 证明奇数阶反对称行列式的值为零。 §1.3 行列式的性质 即 例2 P15 证明奇数阶反对称行列式的值为零。 §1.3 行列式的性质 例3 P16 方法：使用性质3 第1、3列提公因子 第一行提 公因子 §1.3 行列式的性质 计算行列式 例4 P16 方法：化为上三角形行列式 注意：“交换行列式的两行，符号要改变. ” §1.3 行列式的性质 a11为零，需要先交换行 (列) 作为a11 不变化 不变化 不变化 解: 例4 P16 交换1、2行 变为零 变为零 变为零 §1.3 行列式的性质 例5 P17 变为零 变为零 方法：化为上三角形行列式 §1.3 行列式的性质 解: 例5 P17 变为零 §1.3 行列式的性质 变为零 解: 例6 P18 特点：各行（列）的总和相等 §1.3 行列式的性质 方法(利用行列式的性质)： 把各列 (行)都加到第一列(行) ，然后(或者在提出第一列的公因子[x+(n-1)a]之后)将第一行(列)乘以－1，分别加到其余各行(列), 最后化为上三角行列式。 例6 P18 解: 变为零 §1.3 行列式的性质 再将第三行加到第四行… … 直到第n行加到第n+1行 例7 P19 §1.3 行列式的性质 方法：化为上三角形行列式 变为零 变为零 变为零 例8 P20 方法：将行列式化为上三角形行列式， 得出行列式的值后解方程。 §1.3 行列式的性质 其中a1, a2,…, an-1为互不相同的常数。 经济应用数学基础（二） 线性代数 中国人民大学出版社　 赵树嫄　主编 《线性代数》 《高等数学B》 第二部分内容 ——《线性代数》 《线性代数》课程简介 课程的性质与作用： 《线性代数》 线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性和逻辑性。线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。 　 线性代数不仅为

       ②行列式的性质（将某一行或列加在另一行列上，行列式的值不变）

       ④求行列式（最基本的思想一定是根据行列式的性质和展开定理尽可能多的得到0，然后将行列式降阶进行处理）

      ⑤我会求什么行列式，应该怎么求行列式（最起码对一类行列式，也就是上一课所讲的行列式的求法有了一个认识。

    如果这五点你看起来晕晕的，我相信你的表情一定是这样的：
当然，如果这5点如果看上去没什么问题，今天我们就要学习第二种类型的行列式的计算了，那就是爪型行列式的计算。爪型，名字就是这么酷炫，你知道一个爪型行列式长什么样吗？他既可以是这样滴：

还可以是接下来这样滴：
是不是看起来有点晕，不用怀疑自己，渣画质见谅，爪型行列式就是长这样的，像不像我们玩娃娃机时候的爪子，我们怎么求呢？如果你没被这个渣画质晃晕的话，希望你能想起来刚说的第四点：④求行列式（最基本的思想一定是根据行列式的性质和展开定理尽可能多的得到0，然后将行列式降阶进行处理），我们的爪型行列式就是这样求滴，将爪型行列式的其中一个爪子全变为0，怎么消呢有个口诀（斜爪消平爪），接下来具体举个栗子。其中ai不等于0
这是最简单的一个爪型行列式，怎么求呢？（斜爪消平爪），什么意思呢 ，用斜着的爪子a1，a2.。。an去消除平着的（横着的竖着的都可以，消一个爪子就可以了，这里消的意思是将它变成0.）过程如下


是不是将竖着的平爪消除啦，答案就是主对角线元素的乘积啦，这就是最简单的爪型行列式的计算，有时候题目并不直接给出一个爪型，我们可以经过简单的初等行（列）变换得到。

    好了，第二种典型行列式的计算就是这样啦，明天更新第三种。最后还是希望大家有意见或者建议多跟我交流，加油么么哒。

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