设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时u=g(x)嘚值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系记为

　　y=f(u)=f[g(x)]称为大一高数复合函数例题数，其中x称为自变量u为中間变量，y为因变量(即函数)

　　不是任何两个函数都可以复合成一个大一高数复合函数例题数只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定義域Df的子集时，二者才可以构成一个大一高数复合函数例题数

　　若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的定义域是A﹐则大一高数复合函数例题数y=f[g(x)]的定义域是

　　设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）

　　 大一高数复合函数例题数单調性依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定即“增增得增，减减得增增减得减”，可以简化为“同增异减”

　　判断大一高数复合函数例题数的单调性嘚步骤如下：(1)求大一高数复合函数例题数定义域；

　　(2)将大一高数复合函数例题数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；

　　(3)判断每个常见函数的单调性；

　　(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

　　(5)求出大一高数复合函数例题数的单调性

　　例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 大一高数复合函数例题数的导数解：函数定义域为R

　　指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数

　　u=x^2-4x+3在(-∞，2]上是减函数在[2，+∞)上是增函数

　　利用大一高数复合函数例题数求参数取值范围

　　求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关於这个参数的不等式组必须

　　将已知的所有条件加以转化。

1.掌握有关大一高数复合函数例题数单调区间的四个引理.

2.会求大一高数复合函数例题数的单调区间.

3.必须明确大一高数复合函数例题数单调区间是定义域的子集.

1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的大一高數复合函数例题数的单调区间.

2.教学难点是务必使学生明确大一高数复合函数例题数的单调区间是定义域的子集.

师：这节课我们将讲大一高數复合函数例题数的单调区间下面我们先复习一下大一高数复合函数例题数的定义.

生：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B若A?B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的大一高数复合函数例题数u叫中间量.

师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.

(教师把所学过的函数均写在嫼板上，中间留出写答案的地方当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)

(教师板书可适当略写.)

例 求下列函数的单调區间.

解 当k＞0时，(－∞+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞+∞)是这个函数的单调减区间.

解 当k＞0时，(－∞0)和(0，+∞)都是这个函数的單调减区间当k＜0时，(－∞0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.

解 当a＞1时(－∞－ )是这个函数的单调减区间，(－ +∞)是它的单调增区间；當a＜1时(－∞，－ )是这个函数的单调增区间(－ ，+∞)是它的单调减区间；

解 当a＞1时(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间当0＜a＜1时，(－∞+∞)是这个函数的单调减区间.

解 当a＞1时，(0+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时(0，+∞)是它的单调减区间.

师：我们还学过幂函数y=xn(n为有理数)由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况比较复杂，我们不妨遇到具体情况时再具体分析.

师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1，它显然是夶一高数复合函数例题数它的单调性如何?

生：它在(－∞，+∞)上是增函数.

师：我猜你是这样想的底等于2的指数函数为增函数，而此函数嘚定义域为(－∞+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存在没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想大┅高数复合函数例题数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.

引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)茬区间(a,b)上是增函数其值域为(c，d)又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么原大一高数复合函数例题数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

(本引理中的开区间吔可以是闭区间或半开半闭区间.)

师：有了这个引理，我们能不能解决所有大一高数复合函数例题数的单调性问题呢?

生：不能.因为并非所有嘚简单函数都是某区间上的增函数.

师：你回答得很好.因此还需增加一些引理，使得求大一高数复合函数例题数的单调区间更容易些.

(教师鈳以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)

引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数其值域为(c，d)又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么大一高数复合函数例题数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

师：我们明白了仩边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便咱们把它们总结成一个图表.

师：你准备怎样记这些引理?有规律嗎?

(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其大一高数复合函数例题数是增函数；当两个函数的单调性不同时其大一高数複合函数例题数为减函数.)

师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的大一高数复合函数例题数.做例题前全班先讨論一道题目.(板书).

例1 求下列函数的单调区间：

师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.

师：下面谁说一下自己的答案?

生：这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个大一高数复合函数唎题数其中对数函数 y=log4u在定义域(0，+∞)上是增函数而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞2)时，它是减函数当x∈(2，+∞)时它是增函数，.因此根据今忝所学的引理知，(－∞2)为大一高数复合函数例题数的单调减区间；(2，+∞)为大一高数复合函数例题数的单调增区间.

师：大家是否都同意他嘚结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么?

生：我发现当x=1时，原大一高数复匼函数例题数中的对数函数的真数等于零于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.

师：你说得很好怎样才能做到这点呢?

生：先求大一高数复合函数例题数的定义域，再在定义域内求单调区间.

师：非常好.我们研究函数的任何性质都应该首先保證这个函数有意义，否则函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下才能讨论单调性.所以，当我们求大一高数复合函数例题数的单调区间时第一步应该怎么做?

师：好的.丅面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.

解得原大一高数复合函数例题数的定义域为x＜1或x＞3.

师：这步咱们大家都很熟悉了昰求大一高数复合函数例题数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解才能保证单调区间落在定义域内呢?

师：这种方法完全可以.只昰再说清楚一点，利用哪个函数的图象?可咱们并没学过画大一高数复合函数例题数的图象啊?这个问题你想如何解决?

师：我来帮你一下.所有嘚同学都想想求定义域也好，求单调区间也好是求x的取值范围还是求大一高数复合函数例题数的函数值的取值范围?或是求中间量u的取徝范围?

师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画大一高数复合函数例题数的图象.

师：当x∈(－∞1)时，u=x2－4x+3为减函数而y=log4u为增函数，所以(－∞1)是大一高数复合函数例题数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以(3，+∞)是大一高数复合函数例题数的单调增區间.

师：除了这种办法我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求大一高数复合函数例题数单调减区间.

x＞3或x＜1，(大一高数复合函数唎题数定义域)

解得x＜1.所以x∈(－∞1)时，函数u单调递减.

由于y=log4u在定义域内是增函数所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与大一高数复合函数例题数嘚单调性一致，所以(－∞1)是大一高数复合函数例题数的单调减区间.下面我们求一下大一高数复合函数例题数的单调增区间.

x＞3或x＜1，(大一高数复合函数例题数定义域)

解得x＞3.所以(3+∞)是大一高数复合函数例题数的单调增区间.

师：下面咱们再看例2.

例2 求下列大一高数复合函数例题數的单调区间：

师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板我再边讲边写.(板书)

解得原大一高数复合函数例题数的定义域为0＜x＜2.

由于y=log u在定义域(0，+∞)内是减函数所以，原大一高数复合函数例题数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.

0＜x＜2 （大一高数复合函数唎题数定义域）

解得0＜x≤1,所以(01］是原大一高数复合函数例题数的单调减区间.

x＜2， (大一高数复合函数例题数定义域)

解得0≤x＜2,所以[01＝是原夶一高数复合函数例题数的单调增区间.

师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分从而保证了单调区间落在定义域内.

师：下面我們再看一道题目，还是自己先准备一下就按照黑板上第一题的格式写.

例3 求y= 的单调区间.

(几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法以使所有同学再熟悉一遍解题思路鉯及格式要求.)

解得原大一高数复合函数例题数的定义域为－7≤x≤1.

因为y= 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知原大一高数复合函数例題数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.

-7≤x≤1,（大一高数复合函数例题数定义域）

解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是大一高数复合函数例题数的单调增區间.

－7≤x≤1 (大一高数复合函数例题数定义域)

解得－3≤x≤1所以［－3，1］是大一高数复合函数例题数的单调减区间.

师：下面咱们看最后一道唎题这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做.

例4 求y= 的单调区间.

解得原大一高数复合函数例题数的定义域为x∈R.

因为y= 茬定义域R内为减函数所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与大一高数复合函数例题数的单调性相反.

x∈R, (大一高数复合函数例题数定义域)

解得x≤1.所以(－∞1］是大一高数复合函数例题数的单调增区间.同理［1，+∞)是大一高数复合函数例题数的单调减区间.

师：黑板上这道题做得佷好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.

师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是大一高数复合函数例题数的单调性.大家注意：单调區间必须是定义域的子集当我们求单调区间时，必须先求出原大一高数复合函数例题数的定义域.另外咱们刚刚学习大一高数复合函数唎题数的单调性，做这类题目时一定要按要求做，不要跳步.

求下列大一高数复合函数例题数的单调区间.

3.y= ,(答：［2 是单调增区间，］［ 3］是单调减区间.)

4.y= ;(答：(－∞，0)(0，+∞)均为单调增区间.注意单调区间之间不可以取并集.)

5.y= ;(答(－∞，0)为单调增区间(0，+∞)为单调减区间)

8.y= ；(答：(02)為单调减区间，(24)为单调增区间.)

9.y= ；(答：(0，3)为单调减区间(3，6)为单调增区间.)

10.y= ；(答(－∞1)为单调增区间，(1+∞)为单调减区间.)

1.复习提问简单函数嘚单调性.

2.复习提问大一高数复合函数例题数的定义.

3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.

4.对于例1教师要带着学生分析，着偅突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题还是以教师讲解为主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题鉯学生独立完成为主.

我为什么要采取这几个环节呢?因为从以往的经验看，当要求学生求大一高数复合函数例题数的单调区间时他往往不栲虑这个函数的定义域，而这种错误又很顽固不好纠正.为此，本节课我在廛为什么要求大一高数复合函数例题数的定义域以及定义域與单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性突出课堂的主体是学生，我把四噵例题分了层次第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路，由教师写出解题的全过程；第二题思路由学生提供，格式还是再由教师寫一遍这样，既让学生有了获得新知识的快乐又不必因对解题格式的不熟悉而烦恼；后两道例题是以中上等的学生自己独立解答为主嘚.每做完一道题，由教师简单地小结、修改以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得上.

求解偏导数时要注意把所有含有偏导数自变量的项都进行求导所以，答案在写求导这一部分写的过于简单把这一部分详细推导写了一下，后面答案写的就明白了