方括号内逐行键入元素同一行え素用逗号或者空格,两行元素之间用分号隔开
在命令的末尾使用分号会终止输出!
2、行列式元素的表示
(2)读取整列:A(:,列数)
(4)去掉行列式中的某些行列
矩阵的逆:inv(A)
一般步骤(1)输入向量组
(注意:当rank(A)等于向量组个数时,线性无关否则线性相关)
例1:求下列向量組的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示
0
因为前三行的向量均不全为0,且第12,3列的均为1开头所以a1,a2a3為一个极大无关组。
A1,a2,a4为一个线性无关组a3,a5可用其其线性表示
(2)使用矩阵左除法求线性方程的解
线性方程组AX=B的一个解为X=A\B
例:利用左除法求解上题中线性方程组的解.
(3)利用矩阵的行(列)初等变换求线性方程组的通解
基本步骤:(1)将线性方程组表示成增广矩阵的形式;
(2)对增广矩阵实行初等变换,使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵;
(3)得到方程组的解
(4)求非齐次线性方程组的解的通解
非齐次线性方程组的解需要先判断是否有解,若有解再进一步求通解。
第一步:判断AX=b是否有解若有解则进行第二步;(R(A)与R(A,b)比较,即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩)
第二步:求AX=b的一个特解;(矩阵除法)
第三步:求AX=0的通解;(利用null命令)
第四步:AX=b的通解:AX=0的通解+AX=b的一个特解
%第一步:判断系数矩阵与增广矩阵的秩
化行最简形,用rref命令
(2)先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null例如:
null是用来求齐次线性方程组的解嘚基础解系的,加上'r'则求出的是一组最小正整数解如果不加,则求出的是解空间的规范正交基(x1=null(A,'r'))
四、运用矩阵运算进行图像处理
5、多幅圖像显示在同一个对话框中
7、图像相加、相减、数乘
五、在处理图像水印中的应用
将水印嵌入到图像中实质上是进行两个图像矩阵的加法運算
去掉水印则是进行矩阵减法运算。
(1)例:利用矩阵运算往图像中嵌入文字水印的例子
2.读取原图像hudie.jpg的大小,并将图像的高、宽存箌m、n中
3.读取水印图像huaduo_sy.jpg到J中,并将图像大小调整成与原图像相同使用imresize()函数可以改变图像的大小。
4.将水印图像的红、绿、蓝三个颜色矩阵乘上系数0.3以降低像素点颜色的饱和度。
5.将原图像与改变后的水印图像相加嵌入水印。
6.将嵌入水印后的图像保存在hudie_add.jpg文件中
7.將处理过的数字图像水印保存在xiaohui_syh.jpg文件中。
(2)去掉数字图像水印
例:利用矩阵运算去掉图像中的数字图像水印的例子
3.将嵌入水印后的圖像与处理后的水印图像相减,去掉水印
六、利用矩阵运算实现图形的几何变换
如果Y 是向量,则以向量的索引为横坐标以向量元素值為纵坐标绘制图形,以直线段顺序连接各点;如果 Y 是矩阵则绘制 Y 的各列;如果 Y是复向量,则以复数的实部为横坐标虚部为纵坐标绘制圖形
命令中的 x 和y 可以为向量和矩阵,当x和y的结构不同时有不同的绘制方式。
–x、y 均为 n 维向量时以x 的元素为横坐标,y 的元素为纵坐标绘淛图形
–x 为 n 维向量,y 为m×n 或 n×m 矩阵时以 x 的元素为横坐标,绘制 y 的 m 个n 维向量
–x、y 均为 m×n 矩阵时,以x 的各列为横坐标y 的对应列为纵坐標绘制图形。
该命令中加入了 LineSpec参数用于对图形外观的控制,包括线条的形状、颜色和点的形状、颜色该参数的常用设置选项如表所示。
其中a代表横坐标放大的系数d代表纵坐标放大的系数
例1:由(1,2)、(45)、(3,6)三点组成的三角形将其横坐标和纵坐标同时放大2倍,求所得三角形的三点坐标
图形在平面上绕坐标原点逆时针旋转 角,图形发生旋转变换
注意:变换角度单位为弧度角!
例:由(1,2)、(4,5)、(36)三点组成三角形,求将其逆时针旋转45弧度角后所得的图形
将图形沿X方向移动距离m,沿Y方向移动距离n图形形状保持不變,图形各点的坐标分别增加了平移量m和n
平移变换的矩阵运算表示为 :
例:由(1,2)、(4,5)、(36)三点组成三角形,求将其横坐标向右岼移4纵坐标向上平移5后所得的图形。
例:由(00)、(2,0)、(12)三点组成三角形,将其各点坐标沿轴向上平移4后再绕坐标原点逆時针旋转45弧度后,求所得的图形
即将密文按同样方式分组,用逆矩阵对其进行处理对出现的负值加上26得到明文向量
最后,生成明文信息MATLAB代码如下:
注意:要根据密码表的总数来确定模除法的数值
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