高等数学求极值例题极值

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-14 13:48 标签： 高等数学求极值例题

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* * 习题课三 本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点 极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线, 水平渐近线,铅直渐近线． 2. 基本方法 ⑴ 用洛必达法则求未定型的极限； ⑵ 函數单调性的判定； ⑶ 单调区间的求法； ⑷ 可能极值点的求法与极大值（或极小值） 的求法； ⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹ 求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺ 曲线的凹向及拐点的求法； ⑻ 曲线的渐近线的求法； ⑼ 一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理, 极值的必要条件,极值的第一充分条件, 极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则 问题1 在函数单调性判别定理中, 定理的假设条件除了要求 在开区间 内有确定符号（大于零或小于零）外,还特别要求 在闭區间 上连续,它与定理结论中的函数 在闭区间 上单调（单增或单减）有何联系 在利用该定理考虑有关问题时,将闭区间 一律写成开区间 行吗？ 解析 对于该定理, 在开区间 内存在并有确定的符号是不容易被忽视 的．容易忽视的是 的单调区间究竟是 , , 或 中哪一种形式这从 该定理的证奣过程中可知, 在上述四个区间中,哪一个区间上连续,则 就是在相应 区间上单调（单增或单减）． 在利用该定理求解问题时, 应特别注意定理的條件 与结论的对应, 不能忽视 在区间 的端点处的性态． 例1 证明当 时， ． 证 令 则 在 上连续,且在 内， 由单调性判断定理知, 在 上单调增加, 所以,當 时,有 ，即 所以 时,有 ． 三.例题精解 例2　求出函数 的单调区间． 解 因为 在其定义域 内连续 ,又因为当 时,有 令 =0,得 的单调区间的可能分界点: , 用它們将 的定义域分为几个小区间： , , , ．列表讨论 在各个小区间内的符 号,并判定函数 在每个小区间内的增减性如下： ↗ ↘ ↗ ↘ + － + － 注：表中用“↘”表示单减,　用“↗”表示单增. 例3　已知 在x＝１处有极值－12,试确定常系数a与b． 解 : 因为 ,所以 因为 为极值点,所以 ,即 ① ,得 ， ② 解由①与②组成嘚方程组得

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