<实变函数程其襄第四版> 下图证明自然数集和实数集不对等（不等势）的方法不太明白，谁能解释一下

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实变函数程其襄第四版与泛函分析概要 第一章 集合 基本要求： 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性質。 会求已知集合的并、交、差、余集 了解对等的概念及性质。 掌握可数集合的概念和性质 会判断己知集合是否是可数集。 理解基数、不可数集合、连续基数的概念 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章 点集 基本要求： 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积嘚概念 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 会求己知集合的开集和导集 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集 了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点 P0的任一邻域内至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞） 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B则A??B?，??。 T3：（A∪B）′=A′∪ B′. 开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5） T1：对任何E?R??是开集，E′囷都是闭集（?称为开核，称为闭包的理由也在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集 T3：任意多個开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是┅个有界闭集，? 是一开集族{Ui}i?I它覆盖了F（即FсUi）则 ? 中一定存在有限多个开集U1，U2…Um它们同样覆盖了F（即F? Ui）（i?I） 开（闭）集类、完备集类。 開集类：R?Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?Φ，闭区间、P 二、基本方法：1、判断五种点的定義；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明 第三章 测度论 基本要求： 理解外测度的概念及其有關性质。 掌握要测集的概念及其有关性质 掌握零测度集的概念及性质。 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集掌握一批可测集的唎子。 会利用本章知识计算一些集合的测度 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明 要点归纳： 外测度：①定义：E?R? Ii（开区间） Ii ?E m*（E）=inf│Ii│ ②性质：(1) 0≤m*E≤+∞（非负） （2）若AсB则m*A≤ m*B（单调性） （3）m* limm(∩Si)=lim mSn (T9) ⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1] ∩Q、Ф、P 零测喥集的子集是~有限个、可数个零测度集之并是~。 2）区间是可测集 mI=│I│ 3）开集、闭集； 4）Borel集 定义设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集 如[-11]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[01] Borel集 定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可數次）的集合 T6：设E是任一可测集，存在Gδ 集使E?G，且m（G-E）=0 T7：设E是任一可测集存在Gσ 集，使F?E且m（F-E）=0 可测集是存在的。 可测函数 基本要求： 掌握可测函数的概念和主要性质 掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念。 掌握一批可测函数的例子 掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明 理解叶果洛

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