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如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点。
（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值。
题型：解答题难度：中档来源：山东省高考真题
解：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形因为E为BC的中点，所以AE⊥BC又BC∥AD，因此AE⊥AD因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD又PD平面PAD，所以AE⊥PD。
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角在Rt△EAH中，AE=，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大此时tan∠EHA=，因此AH=又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=又在Rt△ESO中，cos∠ESO=即所求二面角的余弦值为。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60..”主要考查你对&&直线与平面垂直的判定与性质，二面角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与平面垂直的判定与性质二面角
线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
发现相似题
与“如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60..”考查相似的试题有：
276094270902333279626454249700626988如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．考点：；；．专题：．分析：（Ⅰ）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，即可得到MN∥平面OCD；（Ⅱ）根据CP∥AB，可知∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），从而可求；（Ⅲ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面OCD、OAD的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得二面角A-OD-C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取OB中点E，连接ME，NE∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∵MN?平面MNE∴MN∥平面OCD（Ⅱ）解：∵CP∥AB∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP∵OA⊥平面ABCD，CD⊥MP，∵∠ADP=，∴DP=，MD=，∴AB与MD所成角的大小为（Ⅲ）解：分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），O（0，0，2），D（，，0），P（0，0），∴=（0，-2），=（，，-2），=（0，0，2），设平面OCD的法向量为，则o=0，∴，y-2z=0取z=，解得=（0，4，）设平面OAD的法向量为，则o=0，=0∴2z′=0，y′-2z′=0取y′=1，则x′=1，∴∴二面角A-OD-C的余弦值为==点评：本题考查线面平行，考查线线角，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确利用空间向量求面面角．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：&推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．则棱锥S—ABC的体积为()A．B．C．D．B略河南省南阳一中2014届高三第十五次周考数学（理）试题..域名：学优高考网，每年帮助百万名学子考取名校！问题人评价，难度：0%已知球的直径，，是该球球面上的两点，．则棱锥的体积为? ． ．? ． ．马上分享给朋友：答案B点击查看答案解释本题暂无同学作出解析，期待您来作答点击查看解释相关试题如图，在三棱锥V-ABC中，VA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4．（1）求证：平面VBA⊥平面VBC；（2）求二面角A-VC-B的平面角的余弦值．考点：；．专题：；．分析：（1）先利用线面垂直的判定，证明BC⊥平面VBA，再利用面面垂直的判定，证明平面VBA⊥平面VBC；&（2）过点B作MB⊥VC于M，过点A作AN⊥VC于N，过点M作MD⊥VC交CA于D，则MD∥NA，∠BMD即为所求，利用余弦定理，即可求得结论．解答：（1）证明：∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1分）∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2分）∵VA∩AB=A∴BC⊥平面VBA&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4分）∵BC?平面VBC∴平面VBA⊥平面VBC；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（5分）（2）解：过点B作MB⊥VC于M，过点A作AN⊥VC于N，过点M作MD⊥VC交CA于D，则MD∥NA，∠BMD即为所求（7分）∵∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4∴VA=2，BC=2，AC=4∴AB=2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（8分）∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥AC，VA⊥AB∴VC=2，VB=4&&&&&&&&&&&&&（9分）∵BM=8，=8，∴BM=AN=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（10分）∴CM=VN=2=∴CN==&&&&&&&（11分）∵=∴MD=，CD=1&&&&&&&&&&&&（12分）在△ABC中，∵AC=2BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°∴BD==&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（13分）在△BMD中，cos∠BMD==所以所求二面角的平面角的余弦值是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（14分）点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差高一数学：三棱锥P-ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,PA=4,PA⊥底面ABC,则此三棱锥外接球的直径为? 请写出过程_百度知道
高一数学：三棱锥P-ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,PA=4,PA⊥底面ABC,则此三棱锥外接球的直径为? 请写出过程
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点E为△ABC的外心过E作EF⊥平面，则△ABE和△CBE都是等边三角形在平面ABC内，使得AE=2DE=2，过A作∠BAC的平分线、B，则AD=1在射线AD上取点E，即D为AE的中点连接BE，CE，易证EF上任意一点到A、C点的距离相等最后确定F，交BC于D
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