一个支点撬起地球,一个超越不等式在解导数压轴题中的应用
近年高考或模拟考试的导数大题中,出现了一个身影,即超越不等式:exx+1(x≠0).(1)用导数工具易证此不等式如下:证明令h(x)=ex-x-1(x≠0),求导得h'(x)=ex-1,令h'(x)=0,得x=0.易知当x0时,h'(x)0,∴在区间(0,+∞)上,h(x)是单调增函数,∴h(x)h(0)=0,也就是ex-x-10,即exx+1.同理可证:当xx+1.综上所述,对x≠0,exx+1成立.总结这类超越不等式证明的程序是:构造函数———求导———定号定区间———判定单调性———下结论(①③?②).说明其中“下结论”要依据函数单调性的定义,我们知道增减函数的定义是:①设任意x1,x2∈D?I且x1f(x2)).③则f(x)在区间D上为增函数(减函数).据此可以得出三个命题是:命题一:①②?③.命题二:①③?②.命题三:②③?①.还可得到如下变式:e-x1-x(x≠0).(2)对(1)式两边取自然对数,得xln(x+1)...&
(本文共1页)
权威出处：
a2+b2≥2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2,a2+b2+c2≥ab+bc+ca等是我们经常使用的几个基本不等式.仔细观察,我们会发现,这几个不等式两边各项的次数都相等,像这样的不等式叫做齐次不等式.齐次,反映了不等式的本质.因为两个式子若能比较大小,它们所代表的量必须具有可比性,否则就无意义可言.如10m2与1m2是可以比较大小的,而10m2与1m比较大小则毫无意义可言.在齐次不等式中我们若增加一些条件,就会在代数意义上使各项的次数发生变化.如在a2+b2≥2ab中令b=1便有a2+1≥2a,此时不等式两边共三项的次数各不相同.既然齐次反映了不等式的本质,那么在解题中,我们就可以根据题设条件合理地将待证不等式齐次化,进而寻求出解决问题的思路.例1已知a,b,c为实数,且a+2b+3c=6.证明:a2+2b2+3c2≥6.分析已知等式的左右两边分别为1次和0次,待证不等式的左右两边分别为2次和0次.注意到这样一个次数的差异...&
(本文共2页)
权威出处：
一星题:立足概念,夯实基础二星题:立足重点,查漏补缺三星题:立足难点,提升能力一星题1.若1③a2.(A)①②(B)②③(C)①④(D)③④2.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则(A)ab≤12(B)ab≥21(C)a2+b2≥2(D)a2+b2≤33.下列各函数中,最小值为2的是(A)y=x+1x(B)y=sinx+si1nx,x∈0,π2∈∈(C)y=x2+3姨x2+2(D)y=x+2姨x-14.已知关于x的不等式ax-1x+1bc0,则2a2+1ab+a(a1-b)-10ac+25c2的最小值是(A)2(B)4(C)2姨5(D)512.若关于x的不等式(2x-1)2-1,与题意不符,∴a≠0.∵不等式等价于a(x+1)x-1a∈∈0且a≠1.又...&
(本文共4页)
权威出处：
文【l]对人教版教材高中熬学第二册(上)第30页的一道习题:已知a、b、c0，求证: 1 a一b 11十二---+—O一CC一口0，指导学生进行了探究，将这个不等式加强为六十六+念)。，进一步“·“·“时，则有六十六+六十六)0.文[z]又将上述不等式推广为:已知a1a2 N·，，res一一二一—一了/、刁f。__。_\2七一1、切1切Zj…a。一1a。，k任1 +不刃二二二蔽不万.+…+气aZ一a3)‘“一‘(n一1)Zk a。一al)2卜1 )0..······························一(l)作者应用“一个猜想的结论，(详见文[s])证明了(l)式.笔者觉得这样的证法似欠一般化(注:文【31用凸函数(eonvex funetion)理论，即应用Jensen不等式证明了“猜想”.本文应用AM- GM不等式作出证明.证:不等式(l)等价于不等式: n一1 If。_1\Zk .，..占_龟，‘—占，、’—急...&
(本文共1页)
权威出处：
’.’abOa一b0/只、a一bl干~】)1\匕/a,bba b ba1…a a bbabba二、综合法 本文仅就“不等式的证明”一节涉及的三种基本证明方法,谈一点教学意见。一、比较法 比较法是一种最基本、最重要的证明不等式的方法。通过教学,应使学生掌握: 定义:要证明不等式AB只要证明A一B。,这种方法称为比较法。 依据:不等式的意义和实数运算的符号法则。 证明的一般步骤:作差一变形一判断(大于或小于O) 变形的常用方法:因式分解、配方、通分等。 比较法除求差外,还可以求商。 依据:若bo,则 综合法是利用一些重要的不等式来证明不等式的方法。它是证明不等式的常用方法。在教学中应抓住以下几点。 1.使学生牢固掌握定理1和定理2以及它们的两个推论,这是熟练地运用综合法的基础。定理1和定理2及其推论是综合法证题中的常用的基本不等式,在教学中,要求学生能熟练地推演和应用,要强调它们各自成立的条件和何时取得等一号。 应用算术平均数不小于...&
(本文共3页)
权威出处：
一章是高中第三册的重 二干〔a’+。’+b’+y‘-2(。x+by门点教学内容,也是学生较难掌握的一部分内=令Ha-J’+仆-y尸勺0.容、不等式证明的习题涉及的知识广而杂,·”·。o+by2(ax+by)·’. ax+by2alx。,学生储存、迁移、记忆解题方法,提高他们Y。。‘+。。‘Za。。。的解题能力。
a。“+xn“72anxu
例 4.设a、b、c、d都是正数,求证;
将上面几个不等式相加,。_。。__.r___。
、。。。’ul”l”,。”l。。”’/a“+b“+/c“+d“/(a+c)“+(b+d),得2P2hlx。+a术。个··+aJ*
并指出趴 b、厂 d满足怎样的关系时,不等_a;x;+a。x。+…+anxn0,两边再平方得(a‘+b‘)(c‘+d‘)题规律有着十分重要的意义。通过例题分b(+bd尸。化简得*d-bC尸0,显然析,我向学生指出:研究一般性问题时,如 此式成立,...&
(本文共2页)
权威出处：
扩展阅读：
CNKI手机学问
有学问，才够权威！
出版：《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
互联网出版许可证 新出网证(京)字008号
京ICP证040431号
服务咨询：400-810--9993
订购咨询：400-819-9993
传真：010-
京公网安备75号看似无法实有法构造函数解汝忧--浅析用导数证明不等式_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
4页¥3.006页免费2页免费1页¥1.001页¥1.001页¥0.503页¥2.001页¥0.503页免费6页5下载券
看似无法实有法构造函数解汝忧--浅析用导数证明不等式|
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
你可能喜欢利用导数解决不等式问题--《山西师范大学学报(自然科学版)》2009年S2期
利用导数解决不等式问题
【摘要】：导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用.导数普遍应用于判断曲线的单调性、凹凸性,求函数的极值、拐点、最值,还可以用来求函数解析式、比较大小、求数列和、求参数取值范围、解决根的分布、处理优化问题、处理函数图像的切线问题等.在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质,因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172.1【正文快照】：
1利用导数证明不等式1.1利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【参考文献】
中国期刊全文数据库
钱耀周;;[J];高中数学教与学;2006年07期
【共引文献】
中国期刊全文数据库
吴贵亮;;[J];中学教学参考;2011年11期
【相似文献】
中国期刊全文数据库
石文;;[J];高等函授学报(自然科学版);2009年05期
李华;;[J];科教新报(教育科研);2011年17期
胡林;;[J];科技资讯;2006年36期
彭永成;;[J];中国高校科技与产业化;2006年S3期
胡林;;[J];科技咨询导报;2007年05期
陈祖荣;罗东升;;[J];新课程(教育学术版);2009年08期
廖金萍;;[J];数学学习与研究;2010年01期
李旭金;;[J];新作文(教育教学研究);2011年11期
蒋艳群;;[J];高等数学研究;2007年01期
管雪冲;王颖;;[J];高等数学研究;2009年01期
中国重要会议论文全文数据库
刘明波;;[A];科技创新与节能减排——吉林省第五届科学技术学术年会论文集（上册）[C];2008年
李天;;[A];第六届中国科学家论坛论文汇编[C];2007年
马生全;曹纯;;[A];模糊集理论与应用——98年中国模糊数学与模糊系统委员会第九届年会论文选集[C];1998年
陈政清;;[A];第十一届全国结构风工程学术会议论文集[C];2004年
曹丰产;朱乐东;;[A];第十一届全国结构风工程学术会议论文集[C];2004年
吴介之;陆夕云;庄礼贤;;[A];近代空气动力学研讨会论文集[C];2005年
贺秋丽;;[A];广西电机工程学会第七届青年学术交流会论文集[C];2002年
李长白;;[A];数学·力学·物理学·高新技术研究进展——2004（10）卷——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第10届学术研讨会论文集[C];2004年
吴世龙;罗景青;刘有军;;[A];第十二届全国信号处理学术年会（CCSP-2005）论文集[C];2005年
杨杰;沙晓东;;[A];中国土木工程学会港口工程分会技术交流文集[C];2009年
中国重要报纸全文数据库
薛艳文;[N];学知报;2010年
;[N];人民邮电;2004年
石家庄市第二中学高级教师
杨帆　何智宇;[N];石家庄日报;2010年
徐德前;[N];中国电脑教育报;2003年
吴限;[N];计算机世界;2000年
河南南阳市八中
赵丽;[N];学知报;2011年
东吴证券 郑民中;[N];上海证券报;2006年
市一中 蔡玉书;[N];苏州日报;2005年
;[N];中国教育报;2004年
余英娟（南京化学工业公司教育学院）;[N];江苏经济报;2001年
中国博士学位论文全文数据库
方守文;[D];浙江大学;2009年
张通;[D];华东师范大学;2012年
于向东;[D];中南大学;2002年
徐东坡;[D];大连理工大学;2009年
盛宝怀;[D];西安电子科技大学;2000年
朱华成;[D];复旦大学;2003年
康维钧;[D];河北大学;2003年
沈亚军;[D];上海大学;2008年
哈婧;[D];河北大学;2003年
颜文勇;[D];四川大学;2007年
中国硕士学位论文全文数据库
吕希元;[D];重庆师范大学;2011年
沈易;[D];华东师范大学;2010年
刘晓丽;[D];河北师范大学;2012年
穆传东;[D];华东师范大学;2010年
赵亮;[D];西南大学;2011年
李辉;[D];华东理工大学;2011年
王长春;[D];东北师范大学;2010年
孙雪钰;[D];山东师范大学;2011年
宫跃欣;[D];吉林大学;2010年
刘伟;[D];重庆师范大学;2012年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
同方知网数字出版技术股份有限公司
订购热线：400-819-82499
在线咨询：
传真：010-
京公网安备74号2014高三数学二轮复习 一题多解专题三 利用导数证明不等式问题_中华文本库
第1页/共3页
文本预览：
一题多解专题三：利用导数证明不等式问题
1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数 f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如 f(x)>g(x),构造函数 F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为) f ( x1 , x2 ) ? A 的不等式,可选 x1 (或 x2 )为主元,构造函数 f ( x, x2 ) (或
f ( x1 , x) ).
2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (3)对 h(x)求导. (2)构造新的函数 h(x). (4)利用 h?( x) 判断 h(x)的单调性或最值. (5)结论.
例 ： 设 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? 1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b 为 常 数 ） ， 曲 线 y ? f ( x) 与 直 线
3 x 在(0，0)点相切. 2
(2)证明：当 0 ? x ? 2 时， f ( x ) ?
(1)求 a , b 的值.
【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立 另一个方程，求出 a,b; (2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式 【解析】方法一： （1）由 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? 1 ? ax ? b 的图象过点（0，0）得 b=-1； 由 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? 1 ? ax ? b 在点（0，0）的切线斜率为 则 y?
1 1 ? ? a) x ?1 2 x ?1
3 ? a ? 0. 2
（2）当 x ? 0 时， 2 ( x ? 1) ?1 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? 令 h( x ) ? f ( x ) ?
9x 54 1 1 54 ， 则 h?( x) ? f ?( x) ? ? ? ? 2 x?6 ( x ? 6) x ? 1 2 x ? 1 ( x ? 6) 2
x 2 ? ?1 2 ? x ?1 54 54 ( x ? 6) 3 ? 216 ( x ? 1) 2 . ? ? ? ? ? 2( x ? 1) ( x ? 6) 2 2( x ? 1) ( x ? 6) 2 4( x ? 1)( x ? 6) 2
令 g ( x) ? ( x ? 6)3 ? 216( x ? 1) ，则当 0 ? x ? 2 时， g ?( x) ? 3( x ? 6)2 ? 216 ? 0
因此 g ( x) 在（0,2）内是递减函数，又 g (0) ? 0 ， 则 0 ? x ? 2 时， g ( x) ? g (0) ? 0 所以 0 ? x ? 2 时，h?( x) ? 0 ，即 h( x) ? f ( x ) ? 由 h(0) ? 0 ，则 0 ? x ? 2 时， h( x) ? h(0) ? 0 ， 故 0 ? x ? 2 时， h( x) ? f ( x ) ?
9x 在（0,2）内是递减函数， x?6
9x 9x ? 0 ，即 f ( x ) ? . x?6 x?6
方法二：由（1）知， f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? 1 ?1 由基本不等式， 当 x ? 0 时，2 ( x ? 1) ?1 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? 令 k ( x) ? ln(x ? 1) ? x ，则 k (0) ? 0 ， k ?( x) ? 故 k ( x) ? 0 ，即 ln(x ? 1) ? x （ii）
1 ?x ?1 ? ?0 x ?1 x ?1
x ? 1 （i) 2
由（i)、 （ii）得，当 x ? 0 时， f ( x ) ?
记 h( x) ? ( x ? 6) f ( x) ? 9 x ，则当 0 ? x ? 2 时，
h?( x) ? f ( x) ? ( x ? 6) f ?( x) ? 9 ?
3 1 1 x ? ( x ? 6)( ? )?9 2 x ?1 2 x ?1
1 [3x( x ? 1) ? ( x ? 6)(2 ? x ? 1) ? 18( x ? 1)] ? 2( x ? 1)
1 x x [3x( x ? 1) ? ( x
第1页/共3页
寻找更多 ""您还未登陆，请登录后操作！
高中导数问题
共有 1 位网友向您献上回答啦， 对答案满意？赶快给出你的好评，感谢他们吧！
（1）由已知--->1、m是二次方程x²-3x+t=0的两个根
--->1+m=3,1*m=t--->m=t=2
（2）由已知--->f(x)的对称轴x=a/2≥1--->a≥2
loga_(-mx²+3x+2-t)＜0
--->-2x²+3x=-2x(x-3/2)＜0--->x＞3/2或x＜0
大家还关注