设a、已知a b属于rR，且a^2+b^2=1，...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-11 05:18 标签： 已知a b属于r
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请教求最大值
设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。
设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。
本人认为该命题不很严谨,有缺陷.
从题设条件:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c [射影定理]
可解得:
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)&0，
y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)&0，
z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)&0。
即等价于:x^2+y^2+z^2+2xyz=1
b^2+c^2-a^2&0,c^2+a^2-b^2&0,a^2+b^2-c^2&0
那么a,b,c就不是仅仅a,b,c∈R+,而是a,b,c可构成锐角三角形三边长了.
因此f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)
只有严格上界2-√2,没有最大值.
上次小王提出了:
在锐角三角形ABC中,R,r,s分别表示三角形ABC的外接圆半径,内切圆半径和半周长.
求证 [(7-2√2)R-2r]s^2&R(4R+r)^2
就是与该问题有关,参
设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。
本人认为该命题不很严谨,有缺陷.
从题设条件:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c [射影定理]
可解得:
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)&0，
y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)&0，
z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)&0。
即等价于:x^2+y^2+z^2+2xyz=1
b^2+c^2-a^2&0,c^2+a^2-b^2&0,a^2+b^2-c^2&0
那么a,b,c就不是仅仅a,b,c∈R+,而是a,b,c可构成锐角三角形三边长了.
因此f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)
只有严格上界2-√2,没有最大值.
上次小王提出了:
在锐角三角形ABC中,R,r,s分别表示三角形ABC的外接圆半径,内切圆半径和半周长.
求证 [(7-2√2)R-2r]s^2&R(4R+r)^2
就是与该问题有关,参见
上述命题可改为
设a,b,c是非钝角三角形三边长,x,y,z&=0,且满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值.
pantum0500
关于“只有严格上界2-√2,没有最大值”说法，用等腰等价原则即可解决
可见，若将a,b,c设为非钝角三角形三边长，则它将与条件x,y,z&=0,cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c成为重复设置。因此，“a,b,c是非钝角三角形三边长”应当减弱为：a&0,b&0,c&0。
(续)事实上，由条件cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=ca可以解得：x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca),z=(a^2+b^2-c^2)(2ab),再由条件x,y,z&=0可知a,b,c可以构成非钝角三角形的三边长。(待续)
楼主的问题与2005年的竞赛题一样，原本是一个纯代数问题，至于是否将a,b,c看成三角形的三边长，那是解答者的事，这与命题的条件无关。对于楼主的题的修正(x,y,z&=0)理论上也存在一个“将代数方法进行到底”的解法。
回答数：629
其实我对龚老师在长帖中所表述的观点基本上是赞同的。maxlove和我与龚老师的惟一的分歧在于：在x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)，z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)三式中，认为a,b,c是可变的还是确定(给定)的。
态度明确：不同意我的见解。。。只要不是居高临下讲话，大家都是可以平等讨论的。题意上加个“且”字，从表面上看意思确是不太一样，基本上可以自圆其说。
pantum0500
加进一些等号倒是可以了！
是本题的叙述不严格，如果用下面的叙述就可以了。“设x,y,z&=0,且满足:有a,b,c∈R+,使cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。 求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。”
(山路水桥)龚老师:尽管不赞同你的观点,没必要删啊!!!
条件"x^2+y^2+z^2+2xyz=1,x,y,z∈R+"可以保证线性方程组有“a，b，c全是正数”的解。比如看前两个方程就知道了。
pantum0500
从楼主的口气可感受到，圣人的解答可以被采纳了！呵呵
所以这问题可以看成：“x,y,z∈R+,满足:1-2xyz-x^2-y^2-z^2=0，函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。”由于最大值是在边界上，即x=0,y^2+z^2=1,所以本问题应为求上确界=2/[√2+2].
所以这问题可以看成：“x,y,z∈R+,满足:1-2xyz-x^2-y^2-z^2=0，函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。”由于最大值是在边界上，即x=0,y^2+z^2=0,所以本问题应为求上确界=2/[√2+2].
对于3个三个约束条件的条件极值的解法，可以用变量为a,b,c表示x,y,z，也可以将3个三个条件看成以a,b,c为变量的线性方程组，由于a,b,c不全为0，所以其行列式=0=1-2xyz-x^2-y^2-z^2.
非常感谢pantum0500提醒“即使用空间解析几何来看，点(x,y,z)也在平面上，根本没有三个自由度！”但我又仔细看了我的解答，我也提及了：一个约束条件下点(x,y,z)在平面上；两个约束条件下点(x,y,z)在直线上；……
pantum0500
我前面做过这道题，当时说有上确界，而且这个上确界是达不到的，楼主不相信，可能自己有改编的，但不一定正确
pantum0500
a,b,c还是可以变化的
pantum0500
即使用空间解析几何来看，点(x,y,z)也在平面上，根本没有三个自由度！
有了三个等式,x,y,z可用a,b,c表示了,就是三元了.
x,y,z可为不全为零的非负实数.三个已知等式暗藏了a,b,c是非钝角三角形三边长.
如果按maxlove的“原题三元”的说法的。把a,b,c【看作参数的】。那么本题确实是毫无意义了。
很同意zhh2360的“六元函数”的说法。“三个约束条件”下，本质可转化为“6个中间变量，三个自变量的问题。”
你的猜测我也想到过，但被我否定了，既然x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)可以表示为g(a,b,c)，为什么楼主还要来一个毫无意义的拐弯抹角。所以我认定楼主是把a,b,c【看作参数的】，本意确是求f(x,y,z)的最大值。
原题只求最小值.不同意大师说法,应该是三元的.
我猜提问者的问题也许是："设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。 求函数f(x,y,z,a,b,c)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。"当然只是猜测而已。
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设a,b属于R，证明a^2+b^2 &= 2(a-b-1)
提问者采纳
把等式右侧的式子移项至等式左侧，即得a^2+b^2-2a+2b+2&=0,配方得到（a-1）^2+(b-1)^2&=0.证毕。
提问者评价
原来是这样，感谢！
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的感言：谢谢不错 满意答案
做差！
证明：【为了方便我在不等式两边都乘了一个2，免得后面写分数这上面看不清】
∵2(a?+b?+ab+1)-2(a+b)
=2a?+2b?+2ab+2-2a-2b
=(a?+b?+2ab)+(a?-2a+1)+(b?-2b+1)
=(a+b)?+(a-1)?+(b-1)?
∵(a+b)?≥0，(a-1)?≥0，(b-1)?≥0
而这三个式子不能同时等于0
∴(a+b)?+(a-1)?+(b-1)?＞0
即2(a?+b?+ab+1)-2(a+b)＞0
∴a?+b?+ab+1＞a+b
&
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这是一道待解决的难题
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4的最大值为1。当-b&#47,电脑打题不方便, 根据值域可以知道a为正数,2）^2-b^2&#47,4。,得a-b+1=0。2,则 f(X)=x^2+bx+1=（x+b&#47,所以g(b)=1-b^2&#47,f(x)最小,赜趚=-1对称。f(-1)=a（-1）^2+b（-1）x+1=0,2=0时,f(X)最小值为1-b^2&#47,4。且1-b^2&#47,4+1,
若a=1,只说思路。1,
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