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极坐标法巧解圆锥曲线
其实这几个题目，都是在图书馆看书时，见书本上解法比较繁琐，一时忍不住，就用了一些其他的办法。没办法，人太懒了。实在是不能忍受太过复杂的计算。比如第一题吧，本来书上的做法是设出直线方程，联立，然后再化简的。但我总感觉不对劲。非要联立不可吗？有没有更快的方法呢？还好，高中数学的东西，对我而言，有种得心应手的感觉，一看不对劲，马上就换了另一个方法，就是我们选修中的极坐标。其实极坐标的格式，我想很多同学都学过，只是因为考的不多，没有怎么注意，对不对？题是死的，人是活的。我们在解题的时候，完全不用死套在一个框子里面，非要在一棵树下面吊死不可。只要能够做出来，怎么做都行，不是吗？还管他选修必修呢？
第一题还好，不学极坐标，虽然说烦一点，但只要计算能力够好，照样能够解出来。至于第二题嘛，我第一个想的就是极坐标。除了这个方法，其他的格式，我还真的不知道怎么办。反正，当时那个书上的解法我是没有看懂的，过程写了快2页，我看了一半不到就晕了。唉，这人老了，就是不行啊。都不知道以前是怎么过来的，怎么现在我一看到别人的做法，感觉过程一烦的话，就想睡觉呢？&
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十年高考分类解析与应试策略数学
圆锥曲线方程
圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：
（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用。
（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体
现了对各种能力的综合要求．
（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力．
一、选择题
5）在同一坐标系中，方程
a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0（a＞b＞
0）的曲线大致是（
?x ? 4 ? 5cos?
京春理，7）椭圆
为参数）的焦点坐标为（
?y ? 3sin?
A。（0，0），（0，－8）
B。（0，0），（－8，0）
C。（0，0），（0，8）
D。（0，0），（8，0）
京皖春，3）已知椭圆的焦点是
是椭圆上的一个动点．如果延长
F1P 到 Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点
Q 的轨迹是（
C。双曲线的一支
全国文，7）椭圆
5x2＋ky2＝5
的一个焦点是（0，2），那么
全国文，11）设
），则二次曲线
x2cotθ－y2tanθ＝1
率的取值范围为（
2 ，＋∞）
北京文，10）已知椭圆
＝1 有公共的焦
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点，那么双曲线的渐近线方程是（
天津理，1）曲线
为参数）上的点到两坐标轴的距离之和
的最大值是（
全国理，6）点
P（1，0）到曲线
（其中参数
t∈R）上的点的最短
全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为
F1（1，0），F2（３，0），则其离
10。（2001
广东、河南，10）对于抛物线
y2=4x 上任意一点
P（a，0）都满足
|PQ|≥|a|，则
a 的取值范围是（
A。（－∞，0）
B。（－∞，2
C。［0，2］
D。（0，2）
11。（2000
京皖春，9）椭圆短轴长是
2，长轴是短轴的
2 倍，则椭圆中心到其准线距
12。（2000
全国，11）过抛物线
y=ax2（a＞0）的焦点
F 用一直线交抛物线于
Q 两点，若线段
FQ 的长分别是
13。（2000
京皖春，3）双曲线
的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线
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的离心率是（
14。（2000
上海春，13）抛物线
y=－x2 的焦点坐标为（
B。（0，－
15。（2000
上海春，14）x=
1? 3y 2 表示的曲线是（
C。双曲线的一部分
D。椭圆的一部分
16。（1999
上海理，14）下列以
t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与
xy=1 所表示
的曲线完全一致的是（
?x ? tan t
?y ? cot t
17。（1998
全国理，2）椭圆
=1 的焦点为
F1 和 F2，点
P 在椭圆上。如果线
PF1 的中点在
y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的（
18。（1998
全国文，12）椭圆
=1 的一个焦点为
P 在椭圆上。如果线
PF1 的中点
y 轴上，那么点
M 的纵坐标是（
(x ? 3) 2 (y ? 2) 2
19。（1997
全国，11）椭圆
，关于直线
x+y=0 对称，
C 的方程是（
(x ? 2) 2 (y ? 3) 2
(x ? 2) 2 (y ? 3) 2
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(x ? 2) 2 (y ? 3) 2
(x ? 2) 2 (y ? 3) 2
20。（1997
全国理，9）曲线的参数方程是
t （t 是参数，t≠0），它的普通
A。（x－1）2（y－1）＝1
21。（1997
π，π），则关于
x、y 的方程
x2cscθ－y2secθ=1 所
表示的曲线是（
y 轴上的双曲线
x 轴上的双曲线
y 轴上的椭圆
x 轴上的椭圆
22。（1997
k＞1，则关于
x、y 的方程（1－k）x2+y2=k2－1
所表示的曲线是
y 轴上的椭圆
x 轴上的椭圆
y 轴上的双曲线
x 轴上的双曲线
23。（1996
全国文，9）中心在原点，准线方程为
x=±4，离心率为
的椭圆方程是
24。（1996
上海，5）将椭圆
绕其左焦点按逆时针方向旋转
90°，所得
椭圆方程是（
(x ? 4) 2 (y ? 4) 2
(x ? 4) 2 (y ? 4) 2
(x ? 4) 2 (y ? 4) 2
(x ? 4) 2 (y ? 4) 2
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25。（1996
上海理，6）若函数
f（x）、g（x）的定义域和值域都为
g（x）（x∈R）成立的充要条件是（
f（x）>g（x）
B。有无穷多个
x∈R，使得
f（x）>g（x）
R 中任意的
f（x）>g（x）+1
f（x）≤g（x）
?x ? 3 ? 3cos?
26。（1996
全国理，7）椭圆
的两个焦点坐标是（
A。（－3，5），（－3，－3）
B。（3，3），（3，－5）
C。（1，1），（－7，1）
D。（7，－1），（－1，－1）
27。（1996
全国文，11）椭圆
25x2－150x+9y2+18y+9=0 的两个焦点坐标是（
A。（－3，5），（－3，3）
B。（3，3），（3，－5）
C。（1，1），（－7，1）
D。（7，－1），（－1，－1）
28。（1996
全国）设双曲线
=1（0＜a＜b）的半焦距为
0），（0，b）两点。已知原点到直线
l 的距离为
c，则双曲线的离心率为（
29。（1996
上海理，7）若
］，则椭圆
2 xcosθ+4ysinθ=0 的中心的轨迹是（
30。（1995
3x2－y2＝3
的渐近线方程是（
31。（1994
全国，2）如果方程
x2＋ky2＝2
表示焦点在
y 轴上的椭圆，那么实数
取值范围是（
A。（0，＋∞）
B。（0，2）
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C。（1，＋∞）
D。（0，1）
32。（1994
全国，8）设
F1 和 F2 为双曲线
? y ＝1 的两个焦点，点
P 在双曲线上，
且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2
的面积是（
33。（1994
上海，17）设
外任意两条线段，则“a、b
的长相等”是
内的射影长相等的（
A。非充分也非必要条件
B。充要条件
C。必要非充分条件
D。充分非必要条件
34。（1994
上海，19）在直角坐标系
xOy 中，曲线
C 的方程是
y=cosx，现在平移坐
标系，把原点移到
），则在坐标系
x′O′y′中，曲线
C 的方程是（
A。y′=sinx′+
B。y′=－sinx′+
C。y′=sinx′－
D。y′=－sinx′－
二、填空题
35。（2003
京春，16）如图
8—1，F1、F2
分别为椭圆
=1 的左、右焦点，点
P 在椭圆上，△POF2
正三角形，则
b2 的值是_____。
36。（2003
上海春，4）直线
y2=4x 截得线段的
中点坐标是_____。
37。（2002
上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为
F1（－1，0），F2（5，0），长轴
10，则椭圆的方程为
38。（2002
京皖春，13）若双曲线
的渐近线方程为
线的焦点坐标是
39。（2002
全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
③抛物线上横坐标为
1 的点到焦点的距离等于
④抛物线的通径的长为
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
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能使这抛物线方程为
y2＝10x 的条件是
．（要求填写合适条件的序号）
40。（2002
上海文，8）抛物线（y－1）2＝4（x－1）的焦点坐标是
41。（2002
天津理，14）椭圆
5x2－ky2＝5
的一个焦点是（0，2），那么
?x ? t 2 ?1
42。（2002
上海理，8）曲线
（t 为参数）的焦点坐标是_____。
?y ? 2t ?1
43。（2001
京皖春，14）椭圆
x2＋4y2＝4
长轴上一个顶点为
A 为直角顶点作一
个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是
44。（2001
上海，3）设
P 为双曲线
? y2＝1 上一动点，O
为坐标原点，M
OP 的中点，则点
的轨迹方程是
45。（2001
上海，5）抛物线
x2－4y－3＝0
的焦点坐标为
46。（2001
全国，14）双曲线
的两个焦点为
F1、F2，点
P 在双曲线上，
PF1⊥PF2，则点
P 到 x 轴的距离为
47。（2001
上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为
10，则它的标
准方程为_____。
48。（2001
上海理，10）直线
为参数）的交点坐
标是_____。
49。（2000
全国，14）椭圆
F1、F2，点
P 为其上的动点，当
∠F1PF2 为钝角时，点
P 横坐标的取值范围是_____。
50。（2000
上海文，3）圆锥曲线
＝1 的焦点坐标是_____。
?x ? 4sec? ?1
51。（2000
上海理，3）圆锥曲线
的焦点坐标是_____。
?y ? 3tan?
52。（1999
全国，15）设椭圆
=1（a＞b＞0）的右焦点为
F1，右准线为
F1 且垂直于
x 轴的弦的长等于点
F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是
53。（1999
5）若平移坐标系，将曲线方程
y2+4x－4y－4=0
化为标准方程，则坐
标原点应移到点
54。（1998
全国，16）设圆过双曲线
=1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此
双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是
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55。（1997
全国文，17）已知直线
x－y=2 与抛物线
y2=4x 交于 A、B
两点，那么线段
AB 的中点坐标是_____。
?x ? 5cos?
56。（1997
上海）二次曲线
为参数）的左焦点坐标是_____。
?y ? 3sin?
57。（1996
上海，16）平移坐标轴将抛物线
4x2－8x＋y＋5＝0
化为标准方程
ay′（a≠0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是
58。（1996
全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线
y2=2px（p＞0）的焦点的距离是
59。（1996
全国理，16）已知圆
x2+y2－6x－7=0
y2=2px（p＞0）的准线相切，
60。（1995
全国理，19）直线
L 过抛物线
y2＝a（x+1）（a>0）的焦点，并且与
L 被抛物线截得的线段长为
61。（1995
全国文，19）若直线
L 过抛物线
y2＝4（x+1）的焦点，并且与
x 轴垂直，
L 被抛物线截得的线段长为
62。（1995
上海，15）把参数方程
是参数）化为普通方程，结果
?y ? cos? ?1
63。（1995
上海，10）双曲线
=8 的渐近线方程是
64。（1995
上海，14）到点
A（－1，0）和直线
x=3 距离相等的点的轨迹方程是
65。（1994
全国，17）抛物线
的准线方程是
，圆心在该抛物线的顶
点且与其准线相切的圆的方程是
66。（1994
上海，7）双曲线
－x2=1 的两个焦点的坐标是
三、解答题
67。（2003
上海春，21）设
F1、F2 分别为椭圆
=1（a＞b＞0）的左、
右两个焦点。
（1）若椭圆
F1、F2 两点的距离之和等于
4，写出椭圆
程和焦点坐标；
K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段
F1K 的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若
C 上关于原点对称的两个点，点
上任意一点，当直线
的斜率都存在，并记为
kPM、kPN 时，那么
kPM 与 kPN 之积是
P 位置无关的定值。试对双曲线
?1写出具有类似特性
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的性质，并加以证明。
68。（2002
上海春，18）如图
8—2，已知
F1、F2 为双曲线
?1（a＞0，b＞
0）的焦点，过
F2 作垂直于
x 轴的直线交双曲线于点
P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐
近线方程．
69。（2002
京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是
F1（－4，0）、F2（4，0），过点
F2 并垂直于
x 轴的直线与椭圆的一个交点为
B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点
A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦
AC 中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦
AC 的垂直平分线的方程为
y＝kx＋m，求
m 的取值范围．
70。（2002
全国理，19）设点
M（－1，0）、N（1，0）距离之差为
轴距离之比为
m 的取值范围．
71。（2002
北京，21）已知
O（0，0），B（1，0），C（b，
c）是△OBC
的三个顶点．如图
（Ⅰ）写出△OBC
H 的坐标，并证明
三点共线；
（Ⅱ）当直线
OB 平行时，求顶点
C 的轨迹．
上的两点，
N（1，2）是线段
AB 的中点．
（Ⅰ）求直线
AB 的方程；
（Ⅱ）如果线段
AB 的垂直平分线与双曲线相交于
两点，那么
A、B、C、D
点是否共圆，为什么?
73。（2002
上海，18）已知点
3 ，0），动点
的距离之差的绝对值为
C 的轨迹与直线
两点，求线段
74。（2001
京皖春，22）已知抛物线
y2＝2px（p＞0）。过动点
M（a，0）且斜率为
l 与该抛物线交于不同的两点
A、B，|AB|≤2p。
a 的取值范围；
（Ⅱ）若线段
AB 的垂直平分线交
N，求△NAB
面积的最大值。
75。（2001
上海文，理，18）设
F1、F2 为椭圆
＝1 的两个焦点，P
的一点．已知
是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求
76。（2001
19）设抛物线
y2＝2px（p＞0）的焦点为
线交抛物线于
C 在抛物线的准线上，且
轴。证明直线
AC 经过原点
77。（2001
上海春，21）已知椭圆
C 的方程为
P（a，b）的坐标满足
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l 与椭圆交于
A、B 两点，点
AB 的中点，求：
Q 的轨迹方程；
Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数。
78。（2001
21）已知椭圆
+y2=1 的右准线
l 与 x 轴相交于点
E，过椭圆右
F 的直线与椭圆相交于
C 在右准线
BC∥x 轴。
求证：直线
AC 经过线段
EF 的中点。
79。（2000
上海春，22）如图
所示，A、F
分别是椭圆
(y ?1) 2 (x ?1) 2
＝1 的一个顶点与一个焦点，位于
x 轴的正半轴
T（t，0）与
F 的连线交射影
的坐标及直线
TQ 的方程；
（2）△OTQ
S 与 t 的函数关系式
S=f（t）及其函数的最小
S=f（t）的单调递增区间，并证明之．
80。（2000
京皖春，23）如图
8—5，设点
A 和 B 为抛物线
y2＝4px（p＞0）上原点以
外的两个动点，已知
OA⊥OB，OM⊥AB，求点
M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
81。（2000
全国理，22）如图
8—6，已知梯形
中，|AB|＝2|CＤ|，点
AC 所成的比为
λ，双曲线过
三点，且以
为焦点．当
求双曲线离心率
e 的取值范围．
82。（2000
全国文，22）如图
8—7，已知梯形
中|AB|＝2|CD|，点
E 分有向线
AC 所成的比为
，双曲线过
三点，且以
A、B 为焦点．求双曲线离心率．
83。（2000
上海，17）已知椭圆
C 的焦点分别为
0），长轴长为
y=x+2 交椭圆
两点，求线段
AB 的中点坐标．
84。（1999
全国，24）如图
8—8，给出定点
A（a，0）（a＞0）
l：x=－1。B
l 上的动点，∠BOA
的角平分线交
C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与
a 值的关系。
注：文科题设还有条件
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85。（1999
上海，22）设椭圆
C1 的方程为
=1（a＞b＞0），曲线
C1 与 C2 在第一象限内只有一个公共点
（Ⅰ）试用
P 的坐标。
C1 的两个焦点，当
a 变化时，求△ABP
的面积函数
S（a）的值
min｛y1，y2，…，yn｝为
y1，y2，…，yn
中最小的一个。设
g（a）是以椭圆
C1 的半焦距为边长的正方形的面积，求函数
f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表达式。
86。（1998
全国理，24）设曲线
C 的方程是
y=x3－x，将
C 沿 x 轴、y
轴正向分别平
t、s 单位长度后得曲线
（Ⅰ）写出曲线
C1 的方程；
（Ⅱ）证明曲线
C 与 C1 关于点
（Ⅲ）如果曲线
C 与 C1 有且仅有一个公共点，证明
－t 且 t≠0。
87。（1998
8—9，直线
l1 和 l2 相交于
M，l1⊥l2，点
A、B 为端点的曲线段
C 上的任一点到
l2 的距离与到点
N 的距离相等。若△AMN
为锐角三角形，|AM|=
17 ，|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线段
C 的方程。
88。（1998
上海理，20）（1）动直线
y=a 与抛物线
（x－2）相交于
A 点，动点
B 的坐标是（0，3a），求线段
D（2，0）的直线
l 交上述轨迹
点坐标是（1，0），若
l 的倾斜角
89。（1997
上海）抛物线方程为
y2=p（x+1）（p＞0），直线
x+y=m 与 x 轴的交点在
抛物线的准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为
Q、R，OQ⊥OR，求
f（m）的表达式；
（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点
x+y=m 的距离为
线的方程；
（理）在（2）的条件下，若
m 变化，使得原点
QR 的距离不大于
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p 的值的范围。
90。（1996
全国理，24）已知
l1、l2 是过点
2 ，0）的两条互相垂直的直线，
l1、l2 与双曲线
y －x ＝1 各有两个交点，分别为
A1、B1 和 A2、B2。
k1 的取值范围；
（Ⅱ）（理）若|A1B1|＝
5 |A2B2|，求 l1、l2 的方程。
A1 恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。
91。（1996
上海，23）已知双曲线
S 的两条渐近线过坐标原点，
2 ，0）为圆心，1
为半径的圆相切，双曲线
A 关于直线
y=x 对称。设直线
（1）求双曲线
S 的方程；
k=1 时，在双曲线
S 的上支上求点
B，使其与直线
时，若双曲线
S 的上支上有且只有一个点
l 的距离为
k 的值及相应的点
B 的坐标，如图
92。（1995
全国理，26）已知椭圆如图
L 上一点，射线
OP 交椭圆于点
Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2。当点
P 在 L 上移动时，
Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
93。（1995
上海，24）设椭圆的方程为
＝1（m，n>0），过原点且倾角为
和 π－θ（0＜θ＜
＝的两条直线分别交椭圆于
表示四边形
为定值，当
］上变化时，求
S 的最小值
（Ⅲ）如果
的取值范围。
94。（1995
全国文，26）已知椭圆
l：x=12。P
l 上一点，
OP 交椭圆于点
OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2。当点
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Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
95。（1994
全国理，24）已知直线
L 过坐标原点，抛物线
C 的顶点在原点，焦点在
x 轴正半轴上，若点
A（－1，0）和点
B（0，8）关于
L 的对称点都在
C 上，求直线
C 的方程。
96。（1994
上海，24）设椭圆的中心为原点
O，一个焦点为
F（0，1），长轴和短轴
的长度之比为
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为
t 的直线与椭圆在
y 轴右边部分的交点为
P 在该直线
? t t 2 ?1 ，当 t 变化时，求点
P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
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1。答案：D
解析一：将方程
a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0 转化为标准方程：
?1, y 2 ? ? x 。
a＞b＞0，因此，
＞0，所以有：椭圆的焦点在
y 轴，抛物线的开口向左，得
解析二：将方程
ax+by2=0 中的 y 换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0
x 轴对称，排除
B、C，又椭圆的焦点在
y 轴。故选
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系。同时，考
查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力。
2。答案：D
解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得
=1，∴c2=16，x－
4=±4，而焦点在
x 轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选
D。如果画出
(x ? 4) 2 y 2
=1 的图形，则可以直接“找”出正确选项。
评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行
逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法。
3。答案：A
解析：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值
∵|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值。
4。答案：B
解析：椭圆方程可化为：x2+
∵焦点（0，2）在
y 轴上，∴a2=
又∵c2=a2－b2=4，∴k=1
5。答案：D
解析：∵θ∈（0，
），∴sinθ∈（0，
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∴a2=tanθ，b2=cotθ
∴c2=a2+b2=tanθ+cotθ，
tan? ? cot?
6。答案：D
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在
∴椭圆焦点（
3m 2 ? 5n 2 ，0），双曲线焦点（
2 ? 3n 2 ，0）
∴3m2－5n2=2m2+3n2
又∵双曲线渐近线为
m2=8n2，|m|=2
2 |n|，得 y=±
7。答案：D
解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为
∴d=|x|+|y|=|cosθ|+|sinθ|
设 θ∈［0，
∴d=sinθ+cosθ=
2 sin（θ+
8。答案：B
解法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x
P（1，0）为该抛物线的焦点
由定义，得：曲线上到
P 点，距离最小的点为抛物线的顶点。
解法二：设点
P 到曲线上的点的距离为
∴由两点间距离公式，得
d2=（x－1）2+y2=（t2－1）2+4t2=（t2+1）2
9。答案：C
F1、F2 的坐标得
2c＝3－1，c＝1，
又∵椭圆过原点
a－c＝1，a＝1＋c＝2，
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10。答案：B
解析：设点
Q 的坐标为（
|PQ|≥|a|，得 y0 +（
整理，得：y0
（y0 +16－8a）≥0，
∵y0 ≥0，∴y0
+16－8a≥0。
恒成立。而
0 的最小值为
∴a≤2。选
11。答案：D
解析：由题意知
a=2，b=1，c=
3 ，准线方程为
∴椭圆中心到准线距离为
12。答案：C
解析：抛物线
y=ax2 的标准式为
取特殊情况，即直线
8—13，∵PF＝PM，∴p＝
13。答案：C
解析：渐近线方程为
）＝－1，得
14。答案：B
解析：y=－x2
的标准式为
x2＝－y，∴p＝
，焦点坐标
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15。答案：D
1? 3y 2 化为 x2＋3y2＝1（x＞0）．
16。答案：D
解析：由已知
x、y 同号且不为零，而
选项中尽管都满足
x、y 的取值范围与已知不同。
17。答案：A
解析：不妨设
F1（－3，0），F2（3，0）由条件得
），即|PF2|=
，因此|PF1|=7|PF2|，故选
评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的
18。答案：A
解析：由条件可得
F1（－3，0），PF1
y 轴上，∴P
坐标（3，y0），又
=1 的椭圆上得
的坐标（0，±
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力。
19。答案：A
解析：将已知椭圆中的
x 换成－y，y
C 的方程为
＝1，所以选
评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题。
20。答案：B
解法一：由已知得
y＝1－t2 中消去
解法二：令
t＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有
B 适合，故选
评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力．
21。答案：C
解析：由已知得方程为
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，π），因此
sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|
∴原方程表示长轴在
y 轴上的椭圆。
22。答案：C
解析：原方程化为
k＞1，因此它表示实轴在
y 轴上的双曲线。
23。答案：A
解析：由已知有
a＝2，c＝1，b2＝3,于是椭圆方程为
评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力。
24。答案：C
解析：如图
8—14，原点
O 逆时针方向旋转
O′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为
(x ? 4) 2 (y ? 4) 2
＝1．所以选
25。答案：D
f（x）≤g（x），即是
R 中的任意
x 都有 f（x）>g（x），
26。答案：B
解析：可得
a＝3，b＝5，c＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐
标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选
评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的
27。答案：B
(x ? 3) 2 (y ?1) 2
解析：把已知方程化为
=1，∴a=5，b=3，c=4
∵椭圆的中心是（3，－1），
∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）。
28。答案：A
解析：由已知，直线
l 的方程为
ay+bx－ab=0，原点到直线
l 的距离为
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又 c2=a2+b2，∴4ab=
3 c2，两边平方，得
16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以
3e4－16e2+16=0
∴e2=4 或 e2=
而 0＜a＜b，得
＞2，∴e2=4。故
评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力。难度较大，特
e 后还须根据
b＞a 进行检验。
29。答案：D
2 cos? ) 2
解析：把已知方程化为标准方程，得
+（y+sinθ）2=1。
∴椭圆中心的坐标是（
2 cosθ，－sinθ）。
其轨迹方程是
?y ? ?sin?
+y2=1（0≤x≤
2 ，－1≤y≤0）。
30。答案：C
解法一：将双曲线方程化为标准形式为
＝1，其焦点在
x 轴上，且
3 ，故其渐近线方程为
3 x，所以应选
解法二：由
3x2－y2＝0
分解因式得
3 x，此方程即为
3x2－y2＝3 的渐近线方程，
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质。
31。答案：D
解析：原方程可变为
＝1，因为是焦点在
y 轴的椭圆，所以
评述：本题考查了抛物线方程及几何性质，由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待
定系数法、代入法等基本方法。
61。答案：4
解析：如图
8—17，抛物线
y2＝4（x＋1）中，p=2，
求抛物线的焦点坐标为（0，0），于是直线
L 与 y 轴重合，将
y2＝4（x＋1）中得
y=±2，故直线
L 被抛物线截得的弦长为
62。答案：x2+（y－1）2=1
63。答案：y=±
解析：把原方程化为标准方程，得
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a=4，b=3，焦点在
所以渐近线方程为
64。答案：y2=－8x+8
解析：由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线，焦点为
A（－1，0），准线为
以顶点在（1，0），焦点到准线的距离
p=4，开口向左。
∴y2=－8（x－1），即
y2=－8x+8。
65。答案：x=3
（x－2）2+y2=1
解析：原方程可化为
y2=－4（x－2），p=2，顶点（2，0），准线
顶点到准线的距离为
1，即为半径，则所求圆的方程是（x－2）2+y2=1。
66。答案：（0，－
3 ），（0，
67。解：（1）椭圆
C 的焦点在
由椭圆上的点
A 到 F1、F2 两点的距离之和是
）在椭圆上，因此
=1 得 b2=3，于是
C 的方程为
F1（－1，0），F2（1，0）。
（2）设椭圆
C 上的动点为
K（x1，y1），线段
F1K 的中点
Q（x，y）满足：
即 x1=2x+1，y1=2y。
?1为所求的轨迹方程。
（3）类似的性质为：若
是双曲线：
=1 上关于原点对称的两个点，点
P 是双曲线上任意一点，当直线
的斜率都存在，并记为
kPM、kPN 时，那么
kPN 之积是与点
P 位置无关的定值。
的坐标为（m，n），则点
N 的坐标为（－m，－n），其中
P 的坐标为（x，y），由
y ? n y ? n
得 kPM·kPN=
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评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法。第（3）问对考生的逻辑思
维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通
过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意。
68。解：（1）设
F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则
在直角三角形
PF2F1 中，∠PF1F2=30°
解法一：|F1F2|=
3 |PF2|，即 2c=
将 c2=a2+b2 代入，解得
解法二：|PF1|=2|PF2|
由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a。
b =2a ，∴
故所求双曲线的渐近线方程为
69。（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知
2a=|F1B|+|F2B|=10，得 a=5，又
a 2 ? c 2 =3。
故椭圆方程为
（Ⅱ）由点
B（4，yB）在椭圆上，得
|F2B|=|yB|= 。（如图
因为椭圆右准线方程为
，离心率为
根据椭圆定义，有|F2A|=
－x1），|F2C|=
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由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，得
－x2）=2×
AC 的中点为
P（x0，y0）
A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得
??9x1 ? 25y1
??9x2 ? 25y2
由④－⑤得
9（x1 －x2 ）+25（y1
－y2 ）=0。
) =0（x1≠x2）
（k≠0）代入上式，得
9×4+25y0（－
）=0（k≠0）。
y0（当 k=0 时也成立）。
P（4，y0）在弦
AC 的垂直平分线上，得
m=y0－4k=y0－
由 P（4，y0）在线段
BB′（B′与
x 轴对称，如图
8—18）的内部，得－
注：在推导过程中，未写明“x1≠x2”“k≠0”“k=0
时也成立”及把结论写为“－
”的均不扣分。
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70。解：设点
P 的坐标为（x，y），依题设得
y=±2x，x≠0
P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得
||PM|－|PN||＜|MN|=2
∵||PM|－|PN||=2|m|＞0
∴0＜|m|＜1
为焦点，实轴长为
2|m|的双曲线上，故
将①式代入②，并解得
m 2 (1? m 2 )
∵1－m2＞0
∴1－5m2＞0
即 m 的取值范围为（－
，0）∪（0，
71。（Ⅰ）解：由△OBC
三顶点坐标
O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），
b 2 ? c 2 ? b
可求得重心
时，G、F、H
三点的横坐标均为
，故三点共线；
所在直线的斜率为
所在直线的斜率为
b 2 ? c 2 ? b
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所以，kGH=kFG，G、F、H
三点共线。
综上可得，G、F、H
三点共线。
c 2 ? 3b2 ? 3b
（Ⅱ）解：若
FH∥OB，由
3（b2－b）+c2=0（c≠0，b≠
，y≠0）。
因此，顶点
C 的轨迹是中心在（
，0），长半轴长为
，短半轴长为
x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（
评述：第（Ⅰ）问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题：三角形的重心、
外心、垂心三心共线（欧拉线）且背景深刻，是有研究意义的题目。
72。解：（Ⅰ）依题意，可设直线
AB 的方程为
y=k（x－1）+2，
=1，整理得（2－k2）x2－2k（2－k）x－（2－k）2－2=0
记 A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1、x2 是方程①的两个不同的根，所以
2－k ≠0，
由 N（1，2）是
AB 的中点得
（x1+x2）=1
∴k（2－k）=2－k2
k=1，所以直线
AB 的方程为
k=1 代入方程①得
x2－2x－3=0
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x1=－1，x2=3
由 y=x+1 得 y1=0，y2=4
的坐标分别为（－1，0）和（3，4）
AB，得直线
CD 的方程为
y=－（x－1）+2
代入双曲线方程，整理得
x2+16x－11=0
记 C（x3，y3），D（x4，y4），CD
M（x0，y0），则
x3、x4 是方程②的两个
x3+x4=－6，x3x4=－11。
（x3+x4）=－3，y0=3－x0=6。
(x3 ? x4 ) ? (y3 ? y4 ) ? 2(x3 ? x4 )
2[(x3 ? x4 ) ? 4x3 x4 ] ? 4 10 。
∴|MC|=|MD|=
| CD |? 2 10 。
又|MA|=|MB|=
(x2 ? x1 ) ? (y0 ? y1 ) ? 4 ? 36 ? 2 10 。
即 A、B、C、D
M 的距离相等，所以
A、B、C、D
四点共圆。
73。解：设点
C（x，y），则|CA|－|CB|=±2，
根据双曲线的定义，可知点
C 的轨迹是双曲线
由 2a=2，2c=|AB|=2
a2=1，b2=2
C 的轨迹方程是
x2+4x－6=0。
?y ? x ? 2
∵Δ＞0，∴直线与双曲线有两个交点。
设 D（x1，y1）、E（x2，y2），则
x1+x2=－4，x1x2=－6
(x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 ) ? 2 (x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? 4 5 。
74。解：（Ⅰ）设
y＝x－a，∴（x－a）2＝2px
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x2－2ax＋a2－2px＝0
x2－（2a＋2p）x＋a2＝0
4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p
∴4ap＋2p2≤p2，4ap≤－p2
又∵p＞0，∴a≤－
（Ⅱ）∵AB
y1＋y2＝x1＋x2－2a
y1＋y2＝2p
l：y－p＝－（x－a－p）＋p＝x－a－px＝a＋2p
| a ? 2 p ? a | 2 p
N 到 AB 的距离为：
2ap ? p 2 ?
当 a 有最大值时，S
75。解法一：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2
根据直角的不同位置，分两种情况：
为直角，则|PF1|
＝|PF2| ＋|F1F2|
即|PF1| ＝（6－|PF1|）
为直角，则|F1F2|
＝|PF1| ＋|PF2| ，
即 20＝|PF1| ＋（6－|PF1|）
得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故
解法二：由椭圆的对称性不妨设
P（x，y）（x＞0，y＞0），则由已知可得
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5 ，0），F2（
根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1
为直角，则
于是|PF1|＝
为直角，则
于是|PF1|＝4，|PF2|＝2，故
76。解法一：设直线方程为
A（x1，y1），B（x2，y2），C（
?y ? k(x ?
y y ? ? p 2 ,k ?
即 k 也是直线
OA 的斜率，所以
AC 经过原点
当 k 不存在时，AB⊥x
轴，同理可得
解法二：如图
则：AD∥EF∥BC
EF 相交于点
| BF | | NF | | AF |
| AB | | BC | | AB |
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由抛物线的定义可知：|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|
| AD | ?| BF | | AF | ?| BC |
评述：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的
几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快
捷便当。从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻。
77。解：（1）设点
的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），点
Q 的坐标为
Q（x，y）。
当 x1≠x2 时，设直线斜率为
l 的方程为
y=k（x－a）+b。
y1=k（x1－a）+b
③，y2=k（x2－a）+b
①－②得（x1+x2）（x1－x2）+
（y1+y2）（y1－y2）=0。
y1+y2=k（x1+x2）－2ka+2b
由⑤、⑥及
Q 的坐标满足方程
2x2+y2－2ax－by=0
当 x1=x2 时，k 不存在，此时
y 轴，因此
Q 一定落在
坐标为（a，0），显然点
Q 的坐标满足方程⑦
综上所述，点
Q 的坐标满足方程
2x2+y2－2ax－by=0。
设方程⑦所表示的曲线为
?2x 2 ? y 2 ? 2ax ? by ? 0
得（2a2+b2）x2－4ax+2－b2=0。
Δ=8b2（a2+
－1），由已知
=1 时，Δ=0，曲线
C 有且只有一个交点
P（a，b）；
＜1 时，Δ＜0，曲线
C 没有交点。
因为（0，0）在椭圆
C 内，又在曲线
l 上，所以曲线
Q 的轨迹方程为
2x2+y2－2ax－by=0；
l 与 y 轴交于点（0，0）、（0，b）；
? 2ax ? by ? 0
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l 与 x 轴交于点（0，0）、（a，0）；
? y ? 2ax ? by ? 0
当 a=0，b=0，即点
P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重合，曲线
l 与 x 轴只有一个交点（0，0）；
当 a=0 且 0＜|b|≤
2 时，即点
P（a，b）不在椭圆
C 外且在除去原点的
y 轴上时，
点（a，0）与（0，0）重合，曲线
l 与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）；
b=0 且 0＜|a|≤1 时，即点
P（a，b）不在椭圆
C 外且在除去原点的
x 轴上时，
l 与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）；
当 0＜|a|＜1
且 0＜|b|＜
2(1? a 2 ) 时，即点
P（a，b）在椭圆
C 内且不在坐标轴上
l 与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。
评述：本题考查求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识，考
查分类讨论的思想方法，以及综合运用知识解题的能力，此题运算量大，涉及知识点较多，
需要较高的运算能力和逻辑推理能力。
78。证法一：依题设得椭圆的半焦距
c=1，右焦点为
F（1，0），右准线方程为
E 的坐标为（2，0），EF
若 AB 垂直于
A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1），
AC 过 EF 中点
若 AB 不垂直于
x 轴，由直线
x 轴上，故直线
AB 的方程为
y=k（x－1），k≠0。
记 A（x1，y1）和
B（x2，y2），则（2，y2）且
x1，x2 满足二次方程
+k （x－1）
即（1+2k2）x2－4k2x+2（k2－1）=0
又 x1 =2－2y1 ＜2，得
≠0，故直线
的斜率分别为
(x1 ?1) ? (x2 ?1)(2x1 ? 3)
∴k1－k2=2k·
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∵（x1－1）－（x2－1）（2x1－3）=3（x1+x2）－2x1x2－4
［12k2－4（k2－1）－4（1+2k2）］=0，
∴k1－k2=0，即
故 A、C、N
三点共线。
所以，直线
AC 经过线段
证法二：如图
8—22，记直线
x 轴的交点为点
D 是垂足，因为点
F 是椭圆的右焦点，直线
l 是右准线，
BC⊥l，根据椭圆几何性质，得
=e（e 是椭圆的离心率）。
∵AD∥FE∥BC，
| BF | | FN | | AF |
| AB | | BC | | AB |
| AD | ?| BF |
| AD | ?| BC | | AF | ?| BC |
为 EF 的中点，即直线
AC 经过线段
评述：本题主要考查椭圆和直线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。两种
证法均为通法，但证法二充分挖掘椭圆几何性质，数形结合，更为直观简捷，所以两法相
比较，证法二较好。
79。解：（1）A
点的坐标为（1，3），F
点的坐标为（1，1）
当 t＞0 且
t≠1 时，TQ
当 t=1 时，TQ
（2）联立直线
TQ 的方程；
x ? t 或 ?
得 Q 点的纵坐标为
∵t＞0，且
yQ＞1，∴t＞
∴f（t）＝
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(3t ? 2 ? 2) 2 1
2(3t ? 2) 6(3t ? 2)
，∴3t－2＞0，∴f（t）≥
时等号成立，即
时，S=f（t）的最小值为
（3）f（t）=
，＋∞）上为增函数．
证明：任取
t1、t2∈（
，＋∞），不妨设
f（t1）－f（t2）＝
（3t2－2＋
（t1－t2）［1－
(3t1 ? 2)(3t2 ? 2)
(3t1 ? 2)(3t2 ? 2) ? 4
（t1－t2）
(3t1 ? 2)(3t2 ? 2)
∵t2＞t1＞
，∴t1－t2＜0，（3t1－2）（3t2－2）＞4，∴f（t1）＜f（t2）．
∴S＝f（t）在（
，＋∞）上为增函数．
80。解：点
y2＝4px 上，
，yA），B（
，yB），OA、OB
的斜率分别为
kOA、kOB．
由 OA⊥OB，得
kOA·kOB＝
AB 上，得直线
（yA＋yB）（y－yA）＝4p（x－
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由 OM⊥AB，得直线
M（x，y），则
x，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－
，并利用③式
yA +yyA－（x ＋y ）＝0
由③、④两式得－
+yByA－（x
由①式知，yAyB＝－16p
∴x2＋y2－4px＝0．
是原点以外的两点，所以
M 的轨迹是以（2p，0）为圆心，以
2p 为半径的圆，去掉坐标原点．
评述：本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法
以及方程化简的基本技能．
81。解：以
AB 的垂直平分线为
y 轴，直线
AB 为 x 轴，建立直角坐标系
轴,因为双曲线经过点
C、D，且以
A、B 为焦点，由双曲线的对称性知
y 轴对称．
依题意，记
A（－c，0），C（
，h），E（x0，y0），其中
|AB|为双曲线的半焦
是梯形的高．
由定比分点坐标公式得
设双曲线的方程为
，则离心率
在双曲线上，将点
代入双曲线方程得
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将③式代入②式，整理得
（4－4λ）＝1＋2λ，
故 λ＝1－
所以双曲线的离心率的取值范围为［
评述：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运
算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．
82。解：以
AB 的垂直平分线为
y 轴，直线
AB 为 x 轴，建立直角坐标系
轴，因为双曲线经过点
C、D，且以
为焦点，由双曲线的对称性知
y 轴对称．
依题意，记
A（－c，0），C（
，h），B（c，0），其中
c 为双曲线的半焦距，c=
|AB|，h 是梯形的高，
由定比分点坐标公式，得点
E 的坐标为
设双曲线的方程为
?1，则离心率
在双曲线上，得
?1，代入②得
所以，离心率
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评述：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运
算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．
83。解：设椭圆
C 的方程为
C 的方程为
?y ? x ? 2
10x2＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式
Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1＋x2＝
AB 的中点坐标为（
评述：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公
84。解法一：依题意，记
B（－1，b）（b∈R），则直线
OB 的方程分别为
y=0 和 y=－bx。设点
C（x，y），则有
0≤x＜a，由
平分∠AOB，知点
OB 距离相等。根据点到直线的距离公式得
| y ? bx |
依题设，点
AB 上，故有：y=－
由 x－a≠0，得
(1? a) 2 y 2
将②式代入①式得：y2［1+
整理得：y2［（1－a）x2－2ax+（1+a）y2］=0
若 y≠0，则（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）；
若 y=0，则
b=0，∠AOB=π，点
C 的坐标为（0，0）。满足上式。
C 的轨迹方程为：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）。
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由此知，当
时，方程③表示椭圆弧段；
时，方程③表示双曲线一支的弧段。
解法二：如图
l 与 x 轴的交点，过点
（Ⅰ）当|BD|≠0
C（x，y），
则 0＜x＜a，y≠0。
由 CE∥BD，得
| CE | ?| DA| | y |
∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD
∴2∠COA=π－∠BOD
∵tan（2∠COA）=
tan（π－∠BOD）=－tanBOD，
整理得：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）
（Ⅱ）当|BD|=0
时，∠BOA=π，则点
C 的坐标为（0，0），满足上式
综合（Ⅰ）（Ⅱ），得点
C 的轨迹方程为
（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）。
以下同解法一。
评述：本题主要考查了曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基
本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。解法一利用设点法引入参数
b，消参数得方
程。解法二则利用角之间关系，使用二倍角公式得出等式，化简较简捷，但分析时不容易
85。（Ⅰ）解：将
代入椭圆方程，得
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b2x4－a2b2x2+a2=0，
由条件，有
Δ=a4b4－4a2b2=0
故 P 的坐标为（
（Ⅱ）解：∵在△ABP
中，|AB|=2
a 2 ? b 2 ，高为
? 2 a 2 ? b 2 ? ?
∵a＞b＞0，b=
0＜S（a）＜
的面积函数
S（a）的值域为（0，
（Ⅲ）解：g（a）=c2=a2－b2=a2－
解不等式：g（a）≥S（a），
整理得：a8－10a4+24≥0，
即（a4－4）（a4－6）≥0，
即（a4－4）（a4－6）≥0
2 （舍去）或
a≥ 4 6 ，
, 2 ? a ? 4 6
故 f（a）=min｛g（a），S（a）｝=
86。（Ⅰ）解：曲线
C1 的方程为
y＝（x－t）
－（x－t）＋s．
（Ⅱ）证明：在曲线
C 上任取一点
B1（x1，y1），设
B2（x2，y2）
是 B1 关于点
A 的对称点，则有
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x1＝t－x2，y1＝s－y2．
C 的方程，得
x2 和 y2 满足方程：s－y2＝（t－x2）
－（t－x2），
即 y2＝（x2－t）
－（x2－t）＋s
B2（x2，y2）在曲线
反过来，同样可以证明，在曲线
C1 上的点关于点
A 的对称点在曲线
C 上，因此，曲
C 与 C1 关于点
（Ⅲ）证明：因为曲线
C 与 C1 有且仅有一个公共点
?y ? x3 ? x
所以方程组
有且仅有一组解
?y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s
3tx2－3t2x＋（t3－t－s）＝0
x 的一元二次方程有且仅有一个根。
t≠0 并且其根的判别式
Δ＝9t4－12t（t3－t－s）＝0
－t 且 t≠0。
?t(t ? 4t ? 4s) ? 0
评述：本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，
考查运动、变换等数学思想方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力。
87。解法一：如图
8—24 建立坐标系，以
l1 为 x 轴，MN 的垂直
O 为坐标原点。
依题意知：曲线段
N 为焦点，以
l2 为准线的抛物线的一
C 的端点。
C 的方程为
y2=2px（p＞0），（x
xA、xB 分别为
的横坐标，p＝|MN|．
，0），N（
17 ，|AN|＝3
＋2pxA＝17
由①②两式联立解得
，再将其代入①式并由
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是锐角三角形，所以
p＝4，xA＝1．
B 在曲线段
xB＝|BN| ?
综上得曲线段
C 的方程为
y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
解法二：如图建立坐标系，分别以
l1、l2 为 x、y 轴，M
为坐标原点。作
AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为
设 A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）
xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，
yA＝|DM|＝
| ? | DA | ? 2 2
为锐角三角形，故有
xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋
| AN | ? | AE | ＝4
xB＝|BF|＝|BN|＝6．
P（x，y）是曲线段
C 上任一点，则由题意知
P 属于集合
｛（x，y）|（x－xN）
+y =x ，xA≤x≤xB，y＞0｝
C 的方程为
y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．
评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，
考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力。
88。（1）解：设
M 点的坐标为（x，y），由点
A 的坐标为（2a2+2，a），B
?x ? a 2 ?1
标为（0，3a），得
C 的方程为
即 y2=4（x－1）；
（2）解法一：设直线
l 的方程为
y=k（x－2），因
l 与抛物线有两个交点，故
y2=4（x－1），得
+16＞0 恒成立。
记这个方程的两实根为
y1、y2，则
|y1－y2|= 1?
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| k ?1? 0 ? 2k |
k2= ，∴k=±
解法二：设直线
l 的方程为
y=k（x－2），代入
y2=4（x－1），得
k2x2－（4k2+4）x+4k2+4=0。
l 与抛物线有两个交点，故
而 Δ=16（k2+1）＞0
记这个方程的两个实根为
x1、x2，因抛物线
y =4（x－1）的焦点是
D（2，0），准线
所以|PQ|=x1+x2=
其余同解法一。
解法三：设直线
l 的方程为
y=k（x－2），因为直线与抛物线交于两点，所以
y2=4（x－1）得
S△EPQ=S△EPD+S△EQD=
|ED|·（|y1|+|y2|）= |ED|·|y1－y2|
? y ) 2 ? 4y y
∵S△EPQ=4，
评述：本题考查直线与抛物线的位置关系，点的轨迹方程，直线的基础知识等。
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89。解：（1）抛物线
y2=p（x+1）的准线方程是
点为（m，0），由题设交点在准线右边，得
4m+p+4＞0。
?y 2 ? p(x ?1)
?x ? y ? m
得 x2－（2m+p）x+（m2－p）=0。
Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）。
及 4m+p+4＞0，可知
因此，直线与抛物线总有两个交点；
两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2
x2－（2m+p）x+m2－p=0
∴x1+x2=2m+p，x1·x2=m
由 OQ⊥OR，得
kOQ·kOR=－1，
x1x2+y1y2=0。
x+y=m 上的点，
y1=－x1+m，y2=－x2+m。
x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m =2（m
－p）－m（2m+p）+m
∴p=f（m）=
得 m＞－2，m≠0；
? 4 ? p ? 0
（3）（文）由于抛物线
y2=p（x+1）的焦点
F 坐标为（－1+
，0），于是有
，即|p－4m－4|=4。
3m 2 ?12m ? 8
m1=0，m2=－
，m3=－4，m4=－
m＞－2，因而舍去
m1、m2、m3，故所求直线方程为
3x+3y+4=0。
（理）解法一：由于原点
x+y=m 的距离不大于
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| 0 ? 0 ? m |
，∴|m|≤1。
由（2），知
故 m∈［－1，0）∪（0，1］。
由（2），知
当 m∈［－1，0）时，任取
m1、m2，0＞m1＞m2≥－1，则
f（m1）－f（m2）=（m1－m2）+（
=（m1－m2）［1－
(m1 ? 2)(m2 ? 2)
由 0＞m1＞m2≥－1，知
0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1－
(m1 ? 2)(m2 ? 2)
知 f（m1）＜f（m2）因而
f（m）为减函数。
m∈［－1，0）时，p∈（0，1］。
同样可证，当
m∈（0，1］时，f（m）为增函数，从而
解法二：由解法一知，m∈［－1，0）∪（0，1］。由（2）知
，g（t）=t+2t2，则
t∈（－∞，－1］∪［1，+∞），又
g（t）=2t2+t=2（t+
t∈（－∞，－1］时，g（t）为减函数，g（t）∈［1，+∞）。
当 t∈［1，+∞）时，g（t）为增函数，g（t）∈［3，+∞）。
m∈［－1，0］时，t∈（－∞，－1］，p=
∈（0，1］；
当 m∈（0，1］时，t∈［1，+∞），p∈（0，
评述：本题考查抛物线的性质与方程，抛物线与直线的位置关系，点到直线的距离，
函数与不等式的知识，以及解决综合问题的能力。
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90。（Ⅰ）依题设
l1、l2 的斜率都存在，因为
l1 过点 P（－
2 ，0）且与双曲线有两
个交点，故方程
??y ? k1 (x ? 2)
①k1≠0 有两个不同的解
整理得（k1
2 k1 x＋2k1 －1＝0
若 k1 －1＝0，则方程组①只有一个解，即
l1 与双曲线只有一个交点与题设
所以方程②的判别式
2 k1 ） －4（k1 －1）（2k1
－1）＝4（3k1
l2 的斜率为
k2，l2 过点
2 ，0）且与双曲线有
两个交点，故方程组
??y ? k (x ? 2)(k
③有两个不同的解
整理得（k2
2 k2 x＋2k2 －1＝0
k2 －1≠0，Δ＝4（3k2
l1⊥l2，所以
k1·k2＝－1
l1、l2 与双曲线各有两个交点等价于
k ? k ? ?1
?| k1 |? 1
∴k1∈（－
3 ，－1）∪（－1，
，1）∪（1，
（Ⅱ）（理）设
A1（x1，y1）、B1（x2，y2）由方程②知
, x1 x2 ? 2
所以|A1B1| ＝（x1－x2）
＋（y1－y2）
）（x1－x2）
4(1? k 2 )(3k 2 ?1)
同理，由方程④可得
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4(1? k 2 )(3 ? k 2 )
由|A1B1|＝
5 |A2B2|得|A1B1| ＝ 5 |A2B2| ，
将⑤、⑥代入上式得
4(1? k 2 )(3k 2 ?1)
4(1? k 2 )(3 ? k 2 )
2 ），l2：y＝－
2 ），l2：y＝
（Ⅱ）（文）双曲线
y2－x2=1 的顶点为（0，1）、（0，－1）。
取 A1（0，1）时，有：k1（0+
2 ）=1，∴k1=
2 代入④，得
x +4 2 x+3=0
l2 与双曲线的两交点为
A2（x1，y1）、B2（x2，y2）
则|A2B2| =（x1－x2）
+（y1－y2）
=3（x1－x2）
=3［（x1+x2）
2 ，x1·x2=3，∴|A2B2|
即|A2B2|=2 15 。
A1（0，－1）时，由双曲线
y －x =1 关于
x 轴的对称性，知|A2B2|=2
l1 过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2
评述：本题主要考查直线与双曲线的性质、解析几何的基本思想以及综合运用知识的
能力。（Ⅰ）由直线与双曲线的位置关系利用判别式得出不等式组，而（Ⅱ）则使用设而
不求方法求斜率，则简化运算。
91。解：（1）由已知可得双曲线的两条渐近线方程为
y＝±x，A′（0，
S 的方程为
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x 2 ? 2 ）是双曲线
2 的距离为
2 的点，由点
| x ? x 2 ? 2 ? 2 |
到直线距离公式有
2 ，y＝2，即
时，双曲线
S 的上支在直线
l 的上方，所以
l 的上方，设直
l：y＝k（x－
2 ）平行，两线间的距离为
2 ，且直线
l 的上方，
S 的上支上有且仅有一个点
l 的距离为
2 ，等价于直线
l′与双曲线
上支有且只有一个公共点。
设 l′的方程为
由 l 上的点
A 到 l′的距离为
k 2 ?1 ? k）．
l 的上方，所以
k 2 ?1 ? k）．
?y 2 ? x 2 ? 2,
?y ? kx ? m,
y，得（k2－1）x2＋2mkx＋m2－2＝0，
k2≠1，所以
Δ＝4m2k2－4（k2－1）（m2－2）＝4（
－2＋2k2）＝8k（3k－2
k 2 ?1 ）．
令 Δ＝0，由
0≤k＜1，解得
当 k=0 时，m=
B 的坐标为（0，
10 ．此时点
B 的坐标为（2
92。解：由题设知点
Q 不在原点，设
的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），
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（x，y），其中
x、y 不同时为零。
与 x 轴正方向的夹角为
xP＝|OP|cosα，yP＝|OP|sinα
xR＝|OR|cosα，yR＝|OR|sinα
x＝|OQ|cosα，y＝|OQ|sinα
由上式及题设|OQ|·|OP|＝|OR|2，得
R 在椭圆上，得方程组
(x ?1) 2 (y ?1) 2
将①②③④代入⑤⑥，整理得点
Q 的轨迹方程为
y 不同时为零）
Q 的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为
，且长轴与
x 轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求
法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力。
93。（Ⅰ）设经过原点且倾角为
θ 的直线方程为
y=xtanθ，可得方程组
?y ? x tan?
又由对称性，得四边形
为矩形，同时
，所以四边形
4m 2 n 2 tan?
S＝4|xy|＝
n 2 ? m 2 tan 2 ?
? m 2 tan?
＋m2tanθ≥2nm，当且仅当
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号成立，所以
? m 2 tan?
，0＜tanθ≤1，
故 tanθ＝
得 u＝2mn．
m1 时，对于任意
0＜θ1＜θ2≤
) ? (m tan?1 ?
tan?1 tan? 2 ? n
? (tan? 2 ? tan?1 )
tan?1 tan? 2
0＜tanθ1＜tanθ2≤1，m
tanθ1tanθ2－n
－n ＜0，所以（m
）＜0，于是在（0，
? m 2 tan?
的增函数，故取
tanθ＝1 得
(0 ? n ? m)
? 4m 2 n 2
(0 ? m ? n)
（Ⅲ）（1）当
>1 时，u=2mn>mn
的取值范围为（2－
3 ，1）∪（1，＋∞）．
评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能
力和应用能力，同时体现分类讨论思想。
8—25，设点
的坐标分别为（12，yP），
（x，y），（xR，yR），由题设知
xR＞0，x＞0。
R 在椭圆上及点
共线，得方程组
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
将①、②、③代入上式，整理得点
Q 的轨迹方程
（x－1）2+
=1（x＞0）。
Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为
的椭圆，去掉坐标原点。
评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求
法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力。
95。解：如图
所示，由题意设抛物线
C 的方程为
2px（p>0），且
y 轴不是所求直线，又
L 过原点，因而可设
L 的方程为
y=kx（k≠0），设
A′B′分别是
L 的对称点．
A′（x′，y′）关于
y=kx 对称于
A（－1，0）
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又 A′、B′在抛物线
C 上，所以（
2(k 2 ?1) 2
2(k 2 ?1)2
k2－k－1＝0
抛物线方程为
评述：本题考查直线与抛物线的基本概念和性质、解析几何的基本思想方法以及综合
运用知识解决问题的能力。
96。解：（1）设所求方程为
＝1（a>b>0）
a 2 ? b 2 ?1
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所以椭圆的方程为
（2）设经过原点且斜率为
t 的直线与椭圆在
y 轴右边部分的交点为
Q（x1，y1），
有 ?(t 2 ?1)y 2
而 t＞1，于是点
P 的轨迹方程为：
点 P 的轨迹为抛物线
右侧的部分和抛物线
左侧的部分。
1。本章内容是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，在每年的高考
试卷中一般有
道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内
容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等，从近十年高考试题看大致有以下
（1）考查圆锥曲线的概念与性质；
（2）求曲线方程和求轨迹；
（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题。
2。选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考
查直线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图形，
以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，圆一般
不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标
轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现．解析几何的解答题一
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般为难题，近两年都考查了解析几何的基本方法——坐标法以及二次曲线性质的运用的命
题趋向要引起我们的重视．
3。注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的
一些性质。
4。从近两年的试题看，解析几何题有前移的趋势，这就要求考生在基本概念、基本方
法、基本技能上多下功夫。
5。参数方程是研究曲线的辅助工具。高考试题中，涉及较多的是参数方程与普通方程
互化及等价变换的数学思想方法。
在复习过程中抓住以下几点：
（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》
。并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题
大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键。
（2）复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容。
曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质。这两方面的
问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题。因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，
即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点
P（x，y）的纵坐
y 和横坐标
x 之间的关系式，即
f（x，y）=0
为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有
条件，确定
的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用
坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，
这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可
用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代
数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化
为等式解决，要加强等价转化思想的训练。
（3）加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习。
由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性
质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思
想来设。而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考
（4）重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程。
①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线
与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量。
②用好函数思想方法
对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而
使一些线的长度及
a，b，c，e
之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。
③掌握坐标法
坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。
④对称思想
由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知
量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。
⑤参数思想
参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，
利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相
对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效
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⑥转化思想
解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，
极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目
除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的
思想方法，复习也应给予足够的重视。
（5）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛
物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、
离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算。涉及到原点和焦点
距离问题用极坐标的极径表示。关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求
法。利用引入一个参数表示动点的坐标
x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采
用参数法。有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁
为简，收到意想不到的解题效果。