用尺规作图不可能三等分任意角--《数学通讯》2001年19期
用尺规作图不可能三等分任意角
【摘要】：
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【关键词】：
【分类号】：O123.1【正文快照】：
三等分任意角问题 ,连同立方倍积问题和变圆为方问题 ,是古希腊巧辩学派的学者们于公元前 5世纪提出并研究了的几何学三大问题 .2 0 0 0多年来 ,历代数学家为了解决这三个问题 ,耗费了许多心血 ,但都遭到失败 .其实这三个问题 ,于 19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规 ,
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怎样将一个任意角三等分?只用尺规作图法的
怎样将一个任意角三等分?只用尺规作图法的
已知：线段AB.求作：线段AB的三等分点P、Q.作法：作射线AC（点A、点B、点C不共线）,以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交射线AC于点D,以点D为圆心,半径不变,画弧,交射线DC于点E,以点E为圆心,半径不变,画弧,交射线EC于点F,连结BF,过点E作BF的平行线,交线段AB于点Q,过点D作BF的平行线,交线段AB于点P,∴点P和点Q即为线段AB的三等分点.原理：平行线等分线段定理（用相似三角形即可证明）下面是证明已知：线段AB和射线AC,且A、B、C不共线,F为AC上一点,EQ∥FB,分别交AC于点E,交AB于点Q,DP∥FB,分别交AC于点D,交AB于点P,且AD=DE=EF.求证：AP=PQ=QB.证明：∵PD∥QE（已知）∴△ADP∽△AEQ（ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似）∴AD/AE=AP/AQ（相似三角形三边对应成比例）∴AD/AP=AE/AQ（更比性质）∵AE=AD+DE（已知）又∵AD=DE（已知）∴AE=2AD（等量代换）∴AD/AP=2AD/AQ（等量代换）即AQ=2AP∵AQ=AP+PQ（已知）∴AP=PQ（等量减等量,差相等）同理,PQ=QB即AP=PQ=QB证毕.
）)这题历史上称几何三大不能问题，以被证明是不可能的
我能解决三等分任意角问题
这个问题是不可能的，除非直角，可以用等边三角形解 。上面的推荐答案根本没理解问题。是三等分角度而不是线段。要证明为什么不能。。。太难了。三大几何问题只有一个比较好证明 。顺便注意下尺规作图条件：圆规和没有刻度的直尺，没有刻度！...
可以详尽证明之？？推翻角三等分是一个“作图不能问题”的结论_百度文库
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推翻角三等分是一个“作图不能问题”的结论
一​百​多​年​来​,​国​内​外​数​学​界​一​致​认​为​用​尺​规​作​图​将​一​任​意​角​三​等​分​已​被​证​明​了​这​是​一​个​“​作​图​不​能​问​题​”​的​结​论​是​完​全​正​确​的​。​其​实​这​个​结​论​肯​定​是​错​误​的​,​我​就​能​,​肯​定​能​推​翻​这​个​错​误​的​结​论​,​我​用​角​三​等​分​和​剖​析​角​三​等​分​及​解​两​种​不​同​的​解​题​方​法​都​能​证​明​用​尺​规​作​图​可​将​一​任​意​角​三​等​分​,​并​对​大​小​各​不​相​等​的​角​进​行​角​三​等​分​和​剖​析​角​三​等​分​及​解​尺​规​作​图​达10​多​次​,​装​订​成​册0​本​,​验​证​这​个​理​论​是​完​全​正​确​的​。​让​角​三​等​分​无​解​的​结​论​彻​底​破​灭​吧​。
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你可能喜欢尺规作图三等分任意角的一种方法
此稿已投《新科技》（季刊）（香港）
曲溪& 曲元春
根据从报刊及“网上”所了解到的一些情况，已有多人提出了其各自的方法。但由于主客观条件的限制，除了几例（如老干部李德功、高工王瑞新）外，都未见到其方法的具体内容，不过我们相信这些方法不会是错误的，至少大多不会是错误的。所以我们称我们这种方法为“一种方法”。至于这些方法是否合乎“要求”，那要看由何方人士以及如何订“标准”了；当然不会象“二等分”那么简单直接。
为了使本文简明易懂，对作图更易看得清楚明白，不是很必要的“步骤”、“证明”、“点”、“线”、“字母标记”等都尽量省略。冲破“常规思维”和“常规程序”（例如“院校思维”和“教科书程序”等），也应算是一种“创新”吧。
图一为一任意角。先在其上作一中线（对称轴线）和两个跨角基本辅助弧，两弧距离应尽量靠近些（但为了易看清楚，这里将两弧之间的距离适当拉大些）。在每个基本辅助弧上分别截取三个等长的短弧，对称于中线。三个短弧的总长，在上面一条辅助弧靠近角的边线的两个端点落在角的边线之外，在下面一条辅助弧的两个端点落在角的边线之内，弧的两侧端点应靠边线适当近些（但为了易看清楚，这里也将距离适当拉大些）。将上下两条辅助弧上的短弧截点以线段上下对应连接，两侧的连接线段与角的边线相交得两个交点，以角的顶点为圆心，以角的顶点到交点的距离为半径，作一跨角主分弧，主分弧与中间两连接线段相交得两交点，以角的顶点为起点，过这两个交点作两条射线，两条射线将此任意角分成三个分角。
在作图操作上，当两个辅助弧的间距相当小时（截点连接线段相当短时），两弧近乎靠在一起，由此做出的主分弧，从而得出的三个分角，可视为相当精确的作图角。至于每次是否需要增作辅助弧，可根据作图和分角精度要求及作图中的两基本辅助弧的间距情况，灵活掌握操作。但增作的辅助弧，要以连接线段截取的中间小弧为基准弧，重新截取增弧两侧端点，并重新作两侧端点的对应连接线段。而在“理论”上，当两个辅助弧近乎甚至相重合为一条弧时，截点连接线段随之近乎甚至缩至为一个点，从而两个端点与角的边线上的交点近乎甚至重合为一个点时，过这点作的主分弧，并且过由此主分弧与连接线段的交点作的射线等分的角，即为“理论”上准确、确定等分角。
此法（动态法）作为基本方法，还可具体灵活运用其“原则”，推广为“任意等分任意角”的一种通用方法。这也是此方法的一个“长处”。例如，对称轴线可省略，而以两辅助弧与角的边线的交点为起点，在两弧上以任意等分截取短弧（见图二）。也可从左从右双向截取，以求得出理论准确值。
此文初稿完成于1997年元旦，并投给了郑州市《中学生数理化（高中版）》杂志，但如石沉大海。这次重写作了修改（主要是如第二段所述）和补充（主要是如第四段所述）。
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参考文献：
1．李德功《“步行登月”》，中国国际教育出版社（香港），2003年9月出版。
2．王瑞新《尺规作图三等分任意角》（《科学中国人》杂志，2000年第6期）。
作者简况：
曲溪，男，44岁，高级电气工程师。电子信箱：.
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任意角的问题．如图所示就是一个用来三等分任意角的工具及其使用示意图．（1）制作该工具时BE所在的直线、点C应分别满足什么条件？使用时应注意些什么？（2）你能说出该工具三等分任意角的道理吗？-乐乐题库
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132位同学学习过此题，做题成功率59.8%
三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任意角的问题．如图所示就是一个用来三等分任意角的工具及其使用示意图．（1）制作该工具时BE所在的直线、点C应分别满足什么条件？使用时应注意些什么？（2）你能说出该工具三等分任意角的道理吗？
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任意角的问题...”的分析与解答如下所示：
（1）由线段垂直平分线的性质，角平分线的性质可知，BE垂直平分AC，点C为半圆的圆心；（2）根据垂直平分线的点到线段两端点距离相等，构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知EB为角平分线，由圆的性质可知CB=CF，可知C在角平分线上．
解：（1）BE垂直平分AC，C是BD的中点；角的顶点落在BE上，使角的一边经过点A，另一边与半圆相切．（3′）（2）如图，设被平分的角顶点为O点，∵BE垂直平分AC，∴OA=OC，∴∠AOB=∠BOC，∵C是BD的中点，∴CB=CF，且BC⊥OB，CF⊥OF，∴∠BOC=∠FOC，∴该工具能三等分任意角．
本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线性质的运用．关键是运用两个性质得到相等角．
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三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任...
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经过分析，习题“三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任意角的问题...”主要考察你对“作图—复杂作图”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
与“三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任意角的问题...”相似的题目：
作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）&&&&
画图题．如图：求作一点P，使PC=PD，并且P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．）&&&&
尺规作图：已知∠α，线段a，b求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=a，AC=b．（不写作法，保留痕迹&）
“三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提...”的最新评论
该知识点好题
1（2011o西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
2如图，已知点A和点B，求作一个圆⊙O，和一个三角形BCD，使⊙O经过点A，且使所作的图形是对称轴与直线AB相交的轴对称图形．（要求写出作法，不要求证明）
3如图，有一块直角三角形纸片，将三角形ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，点C与点E重合，再将三角形ABC沿直线MN折叠，使点B与点E重合，用直尺圆规作出折痕AD，MN．（不写作法，保留作图痕迹）
该知识点易错题
1如果把如图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼在一起，可以拼出几个不同的平面图形？
2（2012o拱墅区二模）如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（不必写画法）：（1）选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A&的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为另一锐角顶点；（2）以AC为一边作等边△ACD；（3）若设∠A=30°、BC边长为a，则BD的长为&&&&．
3如图，已知用尺规将三等分一个任意角是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角CDE和∠AOB=45°这两个角三等分（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）．
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