知识点梳理
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
【的解】1.一元二次的解(根)的意义：&&能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个解。这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。&&ax1?+bx1+c=0(a≠0)，ax2?+bx2+c=0(a≠0)3.对一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)来说当判别式△=b?-4ac>0时方程有两个解△=b?-4ac=0时方程有一个解△=b?-4ac<0时方程无解
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）题．（1）已知实...”，相似的试题还有：
(A题)已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx-10=0的一个解，则\frac{a^{2}-b^{2}}{2a-2b}的值是_____．
已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且a≠b，求\frac{a^{2}-b^{2}}{2a-2b}的值．
先阅读下列第(1)题的解答过程：(1)已知a，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求a2+3β2+4β的值．解法1：∵a，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，∴a2+2a-7=0，β2+2β-7=0，且a+β=-2．∴a2=7-2a，β2=7-2β．∴a2+3β2+4β=7-2a+3(7-2β)+4β=28-2(a+β)=28-2×(-2)=32．解法2：由求根公式得a=1+2，β=-1-2．∴a2+3β2+4β=(-1+2)2+3(-1-2)2+4(-1-2)=9-4+3(9+4)-4-8=32．当a=-1-2，β=-1+2时，同理可得a2+3β2+4β=32．解法3：由已知得a+β=-2，aβ=-7．∴a2+β2=(a+β)2-2aβ=18．令a2+3β2+4β=A，β2+3a2+4a=B．∴A+B=4(a2+β2)+4(a+β)=4×18+4×(-2)=64．①A-B=2(β2-a2)+4(β-a)=2(β+a)(β-a)+4(β-a)=0．②①+②，得2A=64，∴A=32．请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻注一种方法解答下面的问题：(2)已知x1，x2是方程x2-x-9=0的两个实数根，求代数式x13+7x22+3x2-66的值．计算：（1）（a2+3）（a-2）-a（a2-2a-2）；（2）解方程：（x-1）（x-2）=（x+3）（x-4）+20．_作业帮
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计算：（1）（a2+3）（a-2）-a（a2-2a-2）；（2）解方程：（x-1）（x-2）=（x+3）（x-4）+20．
计算：（1）（a2+3）（a-2）-a（a2-2a-2）；（2）解方程：（x-1）（x-2）=（x+3）（x-4）+20．
（1）原式=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-6；（2）方程去括号得：x2-3x+2=x2-x-12+20，移项合并得：-2x=6，解得：x=-3．
本题考点：
整式的混合运算；解一元一次方程．
问题解析：
（1）原式第一项利用多项式乘多项式法则计算，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果；（2）方程两边去括号后，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．A=[2a,a2+1],x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集为B,且B包含于A,求a取值范围_作业帮
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A=[2a,a2+1],x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集为B,且B包含于A,求a取值范围
A=[2a,a2+1],x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集为B,且B包含于A,求a取值范围
因为 x^2-3(a+1)x+2(3a+1)=(x-2)(x-3a-1)所以 x^2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 的解为3a+1≤x≤2 ,或 2≤x≤3a+1若 B=[3a+1,2],因为B包含于A因此 2a≤3a+1≤2≤a^2+1解得 a=-1,若 B=[2,3a+1],因为B包含于A因此 2a≤2≤3a+1≤a^2+1无解故a=-1-a2+2a+1=0怎么解。。。。。。。。。。。。。。。。。。_百度知道
-a2+2a+1=0怎么解。。。。。。。。。。。。。。。。。。
提问者采纳
解：因为-a^2+2a+1=0所以：a^2-2a-1=0由求根公式得：a1=根号2+1
a2=1-根号2所以原方程的解是1+根号2或1-根号2
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出门在外也不愁x2+ax-a2=0, 其中x和a后面的2均为平方。怎样解出 x约等于0.618a。详细步骤。_百度知道
x2+ax-a2=0, 其中x和a后面的2均为平方。怎样解出 x约等于0.618a。详细步骤。
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2a=0;2)&#178;两边开方
x=根号5/=5/4a&#178;2a-1&#47(x+a&#47
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示根公式.236aa&0 x1=-a +a*√5=1.236a
x2=-a-a*√5=-3：x1=-a+√a^2-4*1*(-a^2)=-a+√5a^2x2=-a-√a^2-4*1*(-a^2)=-a-√5a^2当a&0 x1=-a -a*√5=-3.236a
x2=-a+a*√5=1
...用的最基本的计算公式啊x=（-b+√b&#178;-4ac）/2或者x=（-b-√b&#178;-4ac）/2√5=2.236x=0.618a或x=-1.618a
用求根公式没学的用这个（配方法）→(其中x^2=x2,a^2=a2)，ax=2·(1/2)·a·xx^2+ax-a^2=x^2+2·(1/2)ax+(1/2·a)^2-a^2/4-a^2=(x+a/2)^2-5/4a^2=0(x+a/2)^=(5/4)a^2,两边同时开方，x=((±根号5-1)/2)a根号5≈2.236，故x≈0.618a或-1.618a
5678522qwertdxfghgvhk gfyi5ouibtcyu6458hub
根据求根公式x=(-a ± √(a^2-4*(-a^2)) )/2化简得x=(-a ±2.236a)/2x1=0.618a
x2=-1.618a
左边配方：（x+a/2）2=(5/4a)2
得： x=(√5/2)a-a/2
可以解得x=0.618a
括号外2为平方，a为乘机。
先把a看成常数，然后根据求根公式求解就可以了
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