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设S={a，b，c，d}，在S上定义一个双射f：f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a．对于任一x∈S，构造复合函数：
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提问人：匿名网友
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设S={a，b，c，d}，在S上定义一个双射f：f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a．对于任一x∈S，构造复合函数：&&&&用f0(x)表示S上的恒等映射，即f0(x)=x，x∈S，记f1(x)=f(x)．令集合F={f0，f1，f2，f3}，证明：是阿贝尔群．
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＞＞＞已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立，(1)求f(0)..
已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立，(1)求f(0)，f(1)的值；(2)求证：f()+f(x)=0(x≠0)； (3)若f(2)=m，f(3)=n（m，n均为常数），求f(36)的值．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：(1)不妨设a=b=0，则有f(0×0)=f(0)+f(0)，从而得f(0)=0；设a=b=1，则应有f(1×1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0． (2)证明：当x≠0时，注意到x·=1，于是f(1)==f(x)+f()，而f(1)=0，所以f()+f(x)=0（x≠0）． (3)题设中有f(2)=m，f(3)=n，因此需将36转化，注意到36=22×32，因此，f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2(m+n)。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立，(1)求f(0)..”主要考查你对&&函数的定义域、值域&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的定义域、值域
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
发现相似题
与“已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立，(1)求f(0)..”考查相似的试题有：
764985862144879009277565568416478430复合函数已知分段函数f(x) g(x)求f(g(x))已知f(x)=1 (当-1
g(x)的定义域x>0 值域Rln x =1时 x=eln x =-1时 x=e^-1f(g(x))= 1 e^-1 e
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问题无解!a&0时g(x)=ax-√x在[0,+∞)上不可能是单调递增或递减函数,求导很容易验证。
方程fx-x+12=0可化为:(1-a)x^2+(12a-b)x+12b=0
所以:x1+x2=(12a-b)/(a-1)=7,x1x2=12b/(1-a)=...
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& 已知函数f x a 2cos 已知函数f(x)=a[2cos^2(x/2)+sinx]+b,当a=1时,求f(x)的单调。
已知函数f x a 2cos 已知函数f(x)=a[2cos^2(x/2)+sinx]+b,当a=1时,求f(x)的单调。
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已知函数f(x)=a[2cos^2(x/2)+sinx]+b,当a=1时,求f(x)的单调。两倍角公式:cos2A=2cos2A-1辅助角公式:asinA+bcosA=√(a2+b2)sin(A+B),其中tanB=b/af(x)=a[2cos2(x/2)+sinx]+b=a(1+cosx+sinx)+b=a(sinx+cosx)+b+a=(√2)asin(x+π/4)+a+b 当a=1时,令-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ,k∈Z即-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ,k∈Z所以f(x)的单调增区间为[-3π/4+2kπ,π/4+2kπ](k∈Z)
a=1那么f(x)=2cos^2(x/2)+sinx+b ……根据倍角公式cosx=2cos^2(x/2)-1 =cosx+1+sinx+b ……根据合一公式 =根号2sin(x+π/4)+1+b2kπ-π/。
f(x)=√2sin(x+∏/4)+1+b-∏/2+2k∏≤x+∏/4≤∏/2+2k∏, k∈z-3∏/4+2k∏≤x≤∏/4+2k∏ , k∈z∴f(x)在[-3∏/4+2k∏,∏/4+2k∏] (k∈z) 单调。已知函数f(x)=A/2-A/2cos(2ω+2φ)(A&0,ω&0,0&φ&π/2),且y=f(x。A/2=2,A=4 或A/2-(-A/2)=2,A=2(因为f(1)=2,且0&φ&π/2故舍去)A&0,ω&0,0&φ&π/2T=2π/(2ω)=2, ω=πf(1)=2-2cos(2π+2φ)=2 cos2φ=0,φ=π/4 (如果A=2,f(1)=1-cos(2π+2φ), 2φ&π,f(1)≠2,故舍去)f(x)=2-2cos(2πx+π/2)f(1)=2,f(2)=2..f()+f(2)+。+f(08)=4016。已知函数f(x)=a(2cos2x/2+sinx)+b 1.当a=1时,求函数f(x)的单。f[f(x)],所以(x^2+C)^2+C=(x^2+1)^2+c,整理计得c=1,所以g(x)=(x^2+1)^2+1=x^4+2x^2+2(2)从命题的角度看,第(1)小问定义的g(x)对第(2)无效,所以此小问的g(x)未定义。 但,对于高一数学关于单调性,就只能用单调性的定义,即设任意两个x1,x2…………追问第二问中的g(x)就是第一问中求出的x^4+2x^2+2回答高一也可以用复合函数做,注意复合函数的单调性是“同增异减”。推荐答案也是用复合函数做的,只是对称轴错了,更正如下:2) 由(1)知c=1,所以 ψ(x)=g(x) - λf(x)=x^4+2x^2+2-λx^2-λ =x^4+(2-λ)x^2+2-λ 令t=x^2 ,(说明:此为内函数)则当x属于(-∞,-1)时,t(x)是减函数且t属于(1,+无穷); 当x属于(。已知函数f(x)=a(2cos 2x/2 + sin x)+b.f(x)=a(sinx+cosx+1)+b=√2asin(x+π/4)+a+ba=-1则sin系数是负数所以就是sin(x+π/4)递增2kπ-π/2&x+π/4&2kπ+π/22kπ-3π/4&x&2kπ+π/4所以是(2kπ-3π/4,2kπ+π/4)f(x)=√2asin(x+π/4)+a+bπ/4&=x+π/4&=3π/4所以√2/2&=sin(x+π/4)&=1a&0所以最大值是a+a+b=8最小是√2a+a+b=5所以a=-3√2-3b=14+6√2
F(X)=(要写为sinx + cosx +1)+ B
=√2asin(x +π/ 4)+ A + B
= -1 罪系数为负。 所以是sin(x +π/ 4)的增量2kπ-π/ 2 &x +π/ 4 &2kπ+π/ 2 2kπ-3π。
F(X)=(要写为sinx + cosx +1)+ B
=√2asin(x +π/ 4)+ A + B
= -1 罪系数为负。 所以是sin(x +π/ 4)的增量2kπ-π/ 2 &x +π/ 4 &2kπ+π/ 2 2kπ-3π。已知函数f(x)=a(2cos^2(x/2)+sinx)+b,当a=1时求f(x)的单调增。倍角公式: cos2A=2cos2A-1 辅助角公式: asinA+bcosA=√(a2+b2)sin(A+B),其中tanB=b/a f(x)=a[2cos2(x/2)+sinx]+b =a(1+cosx+sinx)+b =a(sinx+cosx)+b+a =(√2)asin(x+π/4)+a+b 当a=1时, 令-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ,k∈Z 即-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ,k∈Z 所以f(x)的单调增区间为[-3π/4+2kπ,π/4+2kπ](k∈Z)。已知函数f(x)=A/2-A/2cos(ωx+φ),(A&0,ω&0,0&φ&ω)且y=f(x)的。f(x)=A/2(1-cos( ωx+φ )) -1
已知函数f(x)=A/2-A/2cos(ωx+φ),(A&0,ω&0,0。已知函数f(x)=A/2-A/2cos(2ωx+2φ)(A&0,ω&0,0&φ&π/2),且y=f(。解:1.因为函数相邻两条对称轴间距离为2 所以T/2=2,即(2π)/(2ω)=2*2 解得ω=π/4 因为函数的最大值为2,A&0 又因为cos(2ωx+2φ)∈[-1,1] 所以有A/2+A/2=2 解得A=2 函数可写成f(x)=1-cos(π/2x+2φ) 因为函数过点(1,2) 所以有2=1-cos(π/2+2φ) 解得φ=π/4 函数为f(x)=1-cos(π/2x+π/2)=1+sin(π/2x) 2.因为函数的周期为T=4,f(1)=1+1,f(2)=1+0,f(3)=1-1,f(4)=1+0 f(1)+f(2)+。..+f(*1+(1+0-1+0+。。+1+0-1+0)=2012 (也可以这样做:f(1)+f(2)+。..+f([f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=503*(2+1+0+1)=2012) 注意:做这种类型题要注意利用它的周期性解题。已知函数f(x)=2cos2x+根号3sin2x+a求函数f(x)当x∈【0,π/2】。解f(x)=2cos2x+根号3sin2x+a=2cos2x-1+√3sin2x+a+1=cos2x+√3sin2x+a+1=2(√3/2sin2x+1/2cos2x)+a+1=2sin(2x+π/6)+a+1由x∈【0,π/2】知2x∈【0,π】即2x+π/6∈【π/6,7π/6】即-1/2≤sin(2x+π/6)≤1即-1≤2sin(2x+π/6)≤2即a≤2sin(2x+π/6)+a+1≤a+3即a≤f(x)≤a+3故f(x)的最大值为a+3,最小值为a2 f(x)=sin(2x+π/6)+cos(2x+π/3)=sin(2x+π/6)+sin[π/2-(2x+π/3)]=sin(2x+π/6)+sin(π/6-2x)=sin(2x+π/6)-sin(2x-π/6)=sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6-[sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6]=2cos2xsinπ/6=cos2x1故函数的周期T=2π/2=π2当2x=2kπ+π,k属于Z时,y有最小值-1即x=kπ+π/2,k属于Z时,y有最小值-1故函数y=f(x)的最小值为-1,对应x的集合是{x/x=kπ+π/2,k属于Z}3由y≤0即cos2。已知函数f(x)=A\2-A\2cos(2wx+2φ)(A大于0,w大于0,0《φ《π\2。y=f(x)的最大值为2 故A/2+A/2=2 得A=2 其图像相邻两对称轴间的距离为2 故最小正周期T=4 即2π/(2w)=4得w=π/4 故f(x)=1-cos(π/2x+2ψ) 带入点(1,2)得cos(π/2+2ψ)=-1 又0≤ψ≤π/2 得ψ=π/4
f(1)=2 f(2)=1-cos(π+π/2)=1 f(3)=1-cos(3π/2+π/2)=0 f(4)=1-cos(2π+π/2)=1 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4 故f(1)+f(2)+``````f([f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2008。已知函数f(x)=a(2cos2x/2+sinx)+b f(x)=a[2(cosx/2)^2+sinx]+b (1)当a=1时, f(x)=2(cosx/2)^2+sinx+b =cosx+sinx+b+1 =√2sin(x+π/4)+b+1 单调增区间是[2kπ-3π/4,2kπ +π/4] (2)当 a
单调性直接求导,非常简单,本人觉得好好吃透导数的定义,对以后学微积分非常重要,嘿嘿嘿。
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