什么叫函数是光程函数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-25 01:10 标签： 什么叫函数
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二、光纤传输基本理论
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&&光​纤​光​学
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你可能喜欢费马原理说光传播光程为极值，那有没有极大值的例子？
费马原理说光传播光程为极值，那有没有极大值的例子？
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这要看你怎么理解。就我而言，我不赞成Beloyd Pink的回答。椭圆这个例子，实在是太经典了。任何一本大学的光学书，只要提到费马原理极小值还是极大值这个事了，总是会提椭圆这个例子。说实话，我觉得这并不是一个一劳永逸的解释。如果你做一个三次函数的镜面(z=x^3)，在一束光在原点处发生反射，那按照一般的理论这束光就既没有走极小路径，也没有走极大路径。难道费马原理就不成立了？肯定有人会说，只有那一条路径的导数是零就可以。那问题又来了？导数是什么？路径的导数？关于谁的导数？如果你说是这条路径的光程关于这个路径的泛函关于位置的变分是零，那，难道光不应该走直线吗？与其反射那一下，干嘛不直接走直线呢？光的基本理论应该是波动理论，麦克斯韦方程组。在取波长足够短时，得到了几何极限，获得了几何光学的方程，程函方程。费马原理是从这个方程中得到的。但是怎么用
图中蓝色的曲线是一个椭圆，A、B两点为椭圆的焦点，黑色的曲线代表实际的镜面。按照椭圆的定义可以知道任何一条类似红色的光路都会短于黑色的光路，但它们却不满足反射定律，因而作为唯一选择的黑色光路的光程是极大值。图中蓝色的曲线是一个椭圆，A、B两点为椭圆的焦点，黑色的曲线代表实际的镜面。按照椭圆的定义可以知道任何一条类似红色的光路都会短于黑色的光路，但它们却不满足反射定律，因而作为唯一选择的黑色光路的光程是极大值。更多内容可以参考这一篇文章：---分割线---关于费马原理对于一个力学系统，其状态可以由广义坐标和广义速度确定。我们想从所有运动状态中找出实际上的运动状态，就自然而然有了这样一种想法：一个运动状态对应这一个量，只要这个量满足条件，那么这个运动状态就是在现实中可以实现的。对的，这个量就是作用量，它是拉格朗日函数的积分，而拉格朗日函数由广义坐标、广义速度和时间决定。而我们认为真实的运动满足的条件就是作用量一阶变分为零，而要满足这个条件意味着欧拉-拉格朗日方程要成立。以上，是经典力学中关于最小作用量原理的部分。而其实只要把广义坐标广义速度换成折射率和空间坐标，那么他们乘积的积分，也就是光程就成了光学中的“作用量”，随后就有了光程一阶变分为零的假设。此时，如果我们假设折射率在整个空间是个常数，那么光程一阶变分为零的条件（对应于欧拉-拉格朗日方程）就成了光程对空间坐标的导数为零（如果折射率不是常数，那么这个方程中还会有关于折射率的项）。关于光的传播假设空间折射率是常数，那么两点之间光程最短的路径是直线（段），而且这条直线同样满足光程一阶变分为零这个条件。但现在我们既然讨论反射问题，那么“光线必须经过镜面”就是必须满足的条件之一。关于反射的问题楼上给了一个镜面z=x^3，这个镜面长这个样子：由于楼上没有给出其他条件，那么我只能补充条件来作这个问题。由于楼上没有给出其他条件，那么我只能补充条件来作这个问题。已知一个镜面的形状为z=x^3，求从（0,1）到（0,2）的传播光路。作为学渣，我先用Excel生成了（-1,5）范围内步长为0.01的镜面坐标，随后计算出每一个点对应的光程。当然，我假设空间折射率为1.红线是镜面的形状，黑线是对应的光程。此时一阶泛函的条件为零的条件是光程对坐标x的导数为零，那么我就对黑线求导。上面这条显得有些奇葩的黑线就是光程对空间坐标求导所得的曲线，而红十字所指的点就是（0,0），也就是楼上所说的上面这条显得有些奇葩的黑线就是光程对空间坐标求导所得的曲线，而红十字所指的点就是（0,0），也就是楼上所说的“在一束光在原点处发生反射”。有趣的是，在1的右侧还有另外一个点，这个点的横坐标大概是1.04，可以验证经过这个点的直线同样满足反射定律，也就是说在这个镜面上，利用光程一阶变分为零足以求出实际的光路。关于“光程最小”和“作用量最小”实际上在上面这一段我所说的是“一阶变分为0”，不过值得区分的是，上面那个导数为零其实是一阶变分为零的条件，而不是变分本身。所谓光程最小，只不过是一种偷懒的说法。对于刚接触光学的人可能大部分课本上的例子都满足光程最小，比如说平面镜反射。但人是很折腾的，总会想要找出各种反例，于是磨出了椭圆面、双曲面、抛物面等等，证明极大值可以，鞍点可以。但我们不止于此，接下来是把这些情况都囊括进一个合理的解释。现在这个解释就是光程一阶变分为零。也许有一天我们会发现其实光程一阶变分不为零也是可以的，那个时候我们会接着寻找下一个理论，它既包括变分为零的情况，也包括变分不为零的情况。找出反例并不是最终目的，而是找到一种更全面的、准确的描绘方法。不过幸运的是，到目前为止，一切现象和我们的理论都是比较吻合的。最后以上全部内容均是建立在非常“经典”的框架下的讨论，也就是既没有考虑光的波动性，也没有考虑光在反射界面上出现的各种隐失波位移等等微观现象。我仅仅是讨论利用“光程一阶变分为零”这个“真`费马原理”来解决几何光学问题而已。
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