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已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2，(Ⅰ)求a3，a5；(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn。
题型：解答题难度：中档来源：四川省高考真题
解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1可得a3=2a2-a1+2=6，再令m=3，n=1可得a5=2a3-a1+8=20.(Ⅱ)当n∈N*时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8，于是，即=8，所以，数列{bn}是公差为8的等差数列．(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6，公差为8的等差数列，则bn=8n-2，即a2n+1-a2n-1=8n-2，另由已知(令m=1)可得，，那么，，于是，cn=2nqn-1，当q=1时，Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1)；当q≠1时，Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1，两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn，上述两式相减即得，所以，综上所述，。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2..”主要考查你对&&一般数列的项，等差数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一般数列的项等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
一般数列的项的定义：
数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列项的性质：
①数列的项具有有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，注意与集合中元素的无序性区分开来，；②数列的项具有可重复性，数列中的数可重复出现，这也要与集合中元素的互异性区分开来：③注意an与{an}的区别：an表示数列{an}的第n 项，而{an}表示数列a1，a2，…，an，…，方法提炼：
1.数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用（1）作差法；（2）作差法；（3）结合函数图像等方法；2.若求最大项an,则an满足an≥an+1且an≥an-1；若求最小项an,则an满足an≤an+1且an≤an-1。等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+po3n+1（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．（Ⅰ）求p的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=n2an-n，证明：bn≤49．
题型：解答题难度：中档来源：临沂二模
（Ⅰ）因为a1=4，an+1=an+po3n+1，所以a2=a1+po31+1=3p+5；a3=a2+po32+1=12p+6．因为a1，a2+6，a3成等差数列，所以2（a2+6）=a1+a3，即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．依题意，an+1=an+2o3n+1，所以当n≥2时，a2-a1=2o31+1，a3-a2=2o32+1，…an-1-an-2=2o3n-2+1，an-an-1=2o3n-1+1．相加得an-a1=2(3n-1+3n-2+…+32+3)+n-1，所以an-a1=23(1-3n-1)1-3+(n-1)，所以an=3n+n．当n=1时，a1=31+1=4成立，所以an=3n+n．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（Ⅱ）证明：因为an=3n+n，所以bn=n2(3n+n)-n=n23&n．因为bn+1-bn=(n+1)23n+1-n23n=-2n2+2n+13n+1，（n∈N*）．若-2n2+2n+1＜0，则n＞1+32，即n≥2时，bn+1＜bn．又因为b1=13，b2=49，所以bn≤49．
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等差数列的通项公式
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
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已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）证明{an+3}是等比数列&（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）由an+1=2an+3得，a2=2a1+3=7，a3=2a2+3=17，a4=2a3+3=37；（Ⅱ）由an+1=2an+3，得an+1+3=2（an+3），又a1+3=5，知an+1+3an+3=2，所以数列{an+3}是以5为首项，2为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an+3=5o2n-1，所以an=5o2n-1-3；
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等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
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与“已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）证明{an..”考查相似的试题有：
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已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1﹣2an+an﹣1﹣1=0（n≥2，n∈N*）．（1）求证：数列{an﹣an﹣1}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：四川省月考题
（1）证明∵an+1﹣2an+an﹣1﹣1=0∴an+1﹣an﹣（an﹣an﹣1）=1又∵a2﹣a1=1∴数列{an﹣an﹣1}是以1为首项，以1为公差的等差数列（II）解：由（I）可得，an﹣an﹣1=1+（n﹣1）=n∴a2﹣a1=2a3﹣a2=3…an﹣an﹣1=n以上n﹣1个式子相加可得，an﹣a1=2+3+…+n∴an=1+2+3+…+n=
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等差数列的定义及性质等差数列的通项公式
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
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与“已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1﹣2an+an﹣1﹣1=0（n≥2，n∈N*）．（..”考查相似的试题有：
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已知数列{an}满足：a1=2，且an+1=2-1an，n∈N*．（1）设bn=1an-1，求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设cn=an+1an，求证：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵a1=2，且an+1=2-1an，n∈N*．∴a2=2-12=32，a3=2-23=43，a4=1-34=54，…猜想an=n+1n．用数学归纳法进行证明：①a1=21=2，成立．②假设n=k时，成立，即ak=k+1k，则当n=k+1时，ak+1=2-1ak=2-kk+1=k+2k+1，成立．由①②知，an=n+1n．∵bn=1an-1，∴bn+1-bn=1an+1-1-1an-1=11-1an-11-1an-1=11-nn+1-11-n-1n=（n+1）-n=1，∴数列{bn}是等差数列．（2））∵a1=2，且an+1=2-1an，n∈N*．∴a2=2-12=32，a3=2-23=43，a4=1-34=54，…猜想an=n+1n．用数学归纳法进行证明：①a1=21=2，成立．②假设n=k时，成立，即ak=k+1k，则当n=k+1时，ak+1=2-1ak=2-kk+1=k+2k+1，成立．由①②知，an=n+1n．（3）∵cn=an+1an，an=n+1n，∴cn=n+1n+nn+1=&2+1n&-1n+1，∴c1+c2+…+cn=2n+（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=2n+1-1n+1＜2n+1．∵c1+c2+…+cn=2n+（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=2n+1-1n+1=2n+nn+1＞2n．∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．
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等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知数列{an}满足：a1=2，且an+1=2-1an，n∈N*．（1）设bn=1an-1，求证..”考查相似的试题有：
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