已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1/f(x)．设F（x）=1-f(x)/1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．-乐乐题库
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& 函数单调性的判断与证明知识点 & “已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数...”习题详情
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已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1f(x)．设F（x）=1-f(x)1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-闸北区二模
分析与解答
习题“已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1/f(x)．设F（x）=1-f(x)/1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调...”的分析与解答如下所示：
（1）确定函数y=F（x）的解析式，利用值域为（0，+∞），即可求函数y=F（x）值域和零点；（2）利用奇偶性和单调性的定义，即可判断函数y=F（x）奇偶性和单调性．
解：（1）∵f（-x）=1f(x)，∴F（x）=1-f(x)1+f(x)=-1+21+f(x)，∵f（x）＞0，∴0＜11+f(x)＜1∴-1＜F（x）＜1，故y=F（x）的值域为（-1，1）；----------------------------------------（4分）∵f（-x）=1f(x)，∴令x=0，f（0）=±1，∵f（x）＞0，∴f（0）=1．故y=F（x）的零点为x=0------------------------------------------------（4分）（2）对任意的x∈R，F（-x）=1-f(-x)1+f(-x)=-1-f(x)1+f(x)=-F（x），--------（3分）∴y=F（x）是奇函数．-------------------------------------------（2分）由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，∴对任意的x1，x2∈R，x1＜x2，都有f（x1）-f（x2）＜0．又F（x1）-F（x2）=21+f(x1)-21+f(x2)=f(x2)-f(x1)[1+f(x1)][1+f(x2)]＞0．------------（3分）∴y=F（x）在定义域R上是减函数．-----------------------------------------------------（2分）
本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1/f(x)．设F（x）=1-f(x)/1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇...
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等考点的理解。
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函数单调性的判断与证明
【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论． 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
与“已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1/f(x)．设F（x）=1-f(x)/1+f(x)．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调...”相似的题目：
下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是&&&&f（x）=-x+3f（x）=（x+1）2f（x）=-|x-1|f（x）=1x
下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的是&&&&（填序号）①f(x)=1x②f（x）=（x-1）2③f（x）=ex④f（x）=ln（x+1）
已知：函数f（x）=x-1x，（1）求：函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．&&&&
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已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m&0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数。给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=sinx+cosx；③；④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|。其中是F函数的序号为
A、②④　　　 B、①③　　　 C、③④ D、①②
题型：单选题难度：中档来源：北京期末题
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m&0，对任意x∈R，有|f（..”主要考查你对&&函数、映射的概念&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数、映射的概念
1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。 （2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。&2、函数： （1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：&定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
&4、函数的表示方法： （1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法； （2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。 映射f：A→B的特征：
（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。（1）函数两种定义的比较：
&&&&& ①相同点：1°实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致
&&&& &②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：&&&&&&&&&映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集. .函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。小结：函数概念8个字：非空数集上的映射。 对于映射这个概念，应明确以下几点：
&①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合 . ⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
&一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射. 一一映射既是一对一又是B无余的映射.
&在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取元任意性，成象唯一性。
对函数概念的理解：
函数三要素&（1）核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）.（2）定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. （3）值域值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 （4）关于函数符号y=f(x) &&&&& 1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.f(x)也不一定是解析式. &&&&& 2°、f(x)与f(a)的区别：f(x)是x的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值. &&&&& 3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数.
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函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；（2）若f（-4）=4，记&an=(-1)nof(2n)&&(n∈N，n≥1)，求数列{an}的前2009项的和S2009；（3）（理）&若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．（4）（文）&若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式&f（x-3）≥0．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）∴函数为偶函数&&&&&&&&&&&&&&…（4分）（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2n）=f（2n-1）+f（2）∴f（2n）=2n…（8分）∴an=2o（-1）nn，∴S2009=-2010…（10分）（3）设&0＜x＜1，则1x＞1，0=f(1)=f(x)+f(1x)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）（理）f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)得f(x2+y2axy)≤0x2+y2|a|xy≥1|a|≤x2+y2xy恒成立，又x2+y2xy≥2，从而0＜|a|≤2…（18分）（4）（文）f（x-3）≥00＜|x-3|≤12≤x＜3或3＜x≤4…（18分）
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据魔方格专家权威分析，试题“函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等），绝对值不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）绝对值不等式
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
&绝对值不等式：
当a&0时，有；或x＜-a 。绝对值不等式的解法：
&&&&&&&&&& (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法去绝对值符号求解，也可以用图象法求解。
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已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x&0时f﹙x﹚＜0恒成立，证明
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x&0时f﹙x﹚＜0恒成立，证明筱枫wxj | 证明∶函数y＝f﹙x﹚是R上的减函数请问要先证明奇函数吗
提问者采纳
不需证奇函数。任取x1，x2∈R，且x1&x2，则f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)，因为x1&x2，所以x1-x2&0，又当x&0时f﹙x﹚＜0恒成立，所以f(x1-x2)&0，从而f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)&f(x2)，故函数y＝f﹙x﹚是R上的减函数。
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f(a+b)=f(a)+f(b)令a=0
b=0得出f（0）=0令a=-b得出f（x）为奇函数令a，b都大于0得出当x&0时f﹙x﹚单调减∴函数y＝f﹙x﹚是R上的减函数
谢谢，大师下次可以详细点。
晕，我以为你是说先证明是奇函数，所以才想出这样的办法，用特殊值带，其实这类求函数单调性的题，其本质就是从定义下手，设x1，x2（x1&x2），带入函数作差根据已知找关系，在得出函数单调性。没看清你所要表达的意思,既然有推荐答案，你看下就行了。
你可以设2个未知数一下大的，一个小的。代入后比较大小，还有有必要证明是奇偶函数的，不然无法判断它增减性啊
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出门在外也不愁已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈【0,正无穷)时 f(x)=x2-2x （1） 写出函数y=f(x)_百度知道
已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈【0,正无穷)时 f(x)=x2-2x （1） 写出函数y=f(x)
（2）若方程f(x)=a恰有3个不同的解 求a的取值范围
提问者采纳
(1)x&=0，则f(x)=x^2-2x x&0，则-x&0，f(x)=-f(-x)=-[(-x)^2-2(-x)]=-(x^2+2x)=-x^2-2x 所以，f(x)={-x^2-2x(x&0)、x^2-2x(x&=0)}(2)-x^2-2x开口向下、对称轴为x=-1 x^2-2x开口向上、对称轴为x=1 所以，f(x)在区间(-无穷，-1)和(1，+无穷)上递增、在区间(-1，1)上递减。 f(-1)=1、f(1)=-1 所以，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则a的取值范围(-1,1)。.
提问者评价
很详细，谢谢。
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