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如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：永州
（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，∵AB=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形．（2）连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴AE=EC，即E为AC的中点，∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE=12AB=12×2=1．（3）存在点P使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD=ED，∵∠BAC=60°，DE∥AB，∴∠AED=120°，∵∠ABC=60°，∴∠PBD=120°，∴∠PBD=∠AED，要使△PBD≌△AED；只需PB=AE=1．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，..”主要考查你对&&等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，圆心角，圆周角，弧和弦&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等边三角形三角形全等的判定圆心角，圆周角，弧和弦
定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。&&弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆心角特征识别:①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。
计算公式:①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；②S(扇形面积) = n/360Xπr2；③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。⑥在同圆或等圆中，圆周角相等&=&弧相等&=&弦相等。
发现相似题
与“如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，..”考查相似的试题有：
89983835818713942111657598535361181如图,AB是圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45度,（1）求角EBC的度数（2）求证：BD=CD_百度作业帮
如图,AB是圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45度,（1）求角EBC的度数（2）求证：BD=CD
首先,画出这个图形.然后你连接OE（辅助线）.∵AB是直径,O点是圆心,∴OA=OE=OB在△OAE中,OA=OE,∴∠OAE=∠OEA（等腰三角形定理）∵∠BAC=45°,∴∠OAE=∠BAC=∠OEA=45°（∠OAE与∠BAC是同一个角）∴∠AOE=90° ∴∠EOB=90°（邻角互补定理）∵OB=OE 且∠EOB=90°∴△EOB是等腰直角三角形.∴∠EBO=45°.∵AB=AC,且∠BAC=45°∴在△BAC中,有∠ABC=∠ACB=（180°-45°）/2=67.5°∵∠ABC=∠ABE+∠EBC ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE∵∠ABC=67.5° ∠ABE=∠EOB=45°且∠EBC=∠ABC-∠ABE∴∠EBC=22.5°如图,AB是圆O的直径 CF⊥AB交圆O于E、F 连结AC交圆O于D.求证CD*AD=DE*DF=&=_百度作业帮
如图,AB是圆O的直径 CF⊥AB交圆O于E、F 连结AC交圆O于D.求证CD*AD=DE*DF=&=
证明：连接AF,连接BD,交CF于M,设CF交AB于H∵AB为圆O直径∴AD⊥BD∴∠CDB＝90∵CF⊥AB∴∠BHC＝90∵∠CMD＝∠BMH∴∠C＝∠ABD∵∠ABD、∠AFD所对应圆弧都是劣弧AD∴∠ABD＝∠AFD∴∠C＝∠AFD∵∠CED是圆内接四边形ADEF中∠DAF的外角∴∠CED＝∠DAF∴△CED相似于△FAD∴CD/DE＝DF/AD∴CD*AD=DE*DF如图AB是圆O的直径,AB=AC,D,E在圆O上,求证BD=DE
如图AB是圆O的直径,AB=AC,D,E在圆O上,求证BD=DE 5
不区分大小写匿名
证明：
连接AD
∵AB是直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC，即⊿ABC是等腰三角形
根据三线合一，BD=CD
∵ABDE四点共圆
∴∠CED=∠B
∵∠B=∠C【∵AB=AC】
∴∠C=∠CED
∴CD=DE
∴BD=DE
AB=AC为什么△ABC是等腰三角形
前面不是有条件了AB是直径AB=AC
不是等腰难道是等边
你做这类题应该有图吧，自己多画一画，这样有助于你的学习
而且你也应该把一些定义记牢了
这样有助于你的答题效率少画蛇添足，避免出现错误
AB是直径那么∠ADB=90△ABD只是直角三角形不能说明三角形ABC为等腰直角三角形
那是根据等腰三角形三线合一性质做的等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
另做法：证明：AB为直径
所以∠ADB=90度
所以三角形BAC为等腰三角形（等腰三角形三线合一性质）
所以BD平分∠BAC
因为∠BAD=∠CAD
所以弧BD=弧DE
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