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已知a²+b²+c²=1
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0
因为a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3
=(b/a+c/a+1)+(a/b+c/b+1)+(a/c+b/c+1)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
所以a+b+c=0,或1/a+1/b+1/c=0.
所以1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/(abc)=0,得ab+bc+ca=0,
所以(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1+2ab+2bc+2ac=1
所以a+b+c=1或-1
所以a+b+c=1或-1或0.
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+3=(b+c)/a+1+(a+c)/b+1...
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北师大九年级上全部学案
直角三角形的边角关系
从梯子的倾斜程度谈起
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.
2.理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义,并能够举例说明.
3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.
4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单计算.
一.关于正切
1.在直角三角形中,一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.这里的对边、邻边都是指直角边,通常与一个锐角相邻的边有两条,一条是斜边,一条是直角边.这里的邻边是直角边,记作tanA,用式子可表示成:tanA=.
2.一个锐角正切值的大小与这个锐角的大小有关,在0~90°间角度越大,正切值越大.如果这个角是梯子与地面所成的角,则梯子越陡;如果这个角是梯子与墙所成的角,则梯子越平缓.
3.当不知道一个锐角的大小,而又要求这个角的正切值时,通常用这个锐角的对边与邻边的比来刻画,即用正切的定义去求.一个锐角的正切值,与这个锐角的对边与邻边大小无关,只与对边与邻边的比值有关.即当角度一定时,这个角的对边变大,正切值还是不变,因为这个角的邻边也相应变大了;这个角的对边变小,正切值还是不变,因为这个角的邻边相应会变小.反过来,如果一个锐角的对边与邻边的比确定,也就是这个锐角的正切值也就确定了,这个锐角也就是一定的,不变了.
二.关于正弦、余弦
1.一个锐角A的正弦用sinA表示,即sinA=
一个锐角A的余弦用cosA表示,即cosA=
2.正弦、余弦的学习可以用学习正弦的方法类比来学习.如果∠A是表示梯子与地面所成的锐角,则锐角A越大,sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小, 梯子越陡.反过来也是对的,梯子越陡,sinA的值越大,cosA的值越小,锐角A越大.当锐角A确定,∠A的对边与斜边的比随之确定,邻边与斜边的比随之确定;反过来也成立.
3.正弦与余弦有关系:①sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).特别在Rt△ABC中, ∠C=90°,sinA=cosB,cosA=sinB.②sin2A+cos2A=1.这两个关系都可通过正弦、余弦的定义较易地得到证明.
三.关于三角函数
1.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.因为我们可以把∠A看作自变量,三个比值看作因变量,当∠A确定时,三个比值分别唯一确定;当∠A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.
2.sinA、cosA、tanA之间有关系:tanA=,因为=:==tanA.四.典型例题:
例1:如图,△ABC中,高BD、CE交于点H,在不增加其它的字母和线段的情况下,写出所有等于∠A的正切和正弦的线段比.
解: ∠A位于Rt△ABD、Rt△ACE中,
∠EHB=∠DHC=∠A
例2:已知为锐角,sin=,求cos、tan.
解:如图,把放在Rt△ABC中,
设的对边BC=4,斜边AB=5(&0),
则的邻边AC==3
自我测评:§1.1(一)一.填空题
1.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=2,则tanA=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,tanB=3,则AC=_________
3.等腰三角形的周长为36,一边长为10,则底角的正切值为_________
4.直角三角形中,一锐角的正切值为,周长为24,则斜边长=_________
1.在Rt△ABC中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A的正切值(
A.扩大两倍
B.缩小到一半
D.不能确定
2.如图,在直角△ABC中,CD是AB边上的高,在不增加其它的点和线段的情况下,表示∠A的正切的线段比有(
3.若、表示甲、乙两把梯子与地面所成的锐角,且&,则下列说法正确的是(
A.乙梯子更陡
D.不能比较甲、乙谁更陡
1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CB,DE⊥AB于E,AB=8,CD=4,DE=6,求tanA的值.
2.如图,山坡AB的坡度为5:12,一辆汽车从山脚下A处出发,把货物送到距山脚800m高的B处,求汽车从A处到B处行驶的路程.
如图,AD是△ABC斜边BC上的高,若BD=2,DC=8,求tanB的值.AB
CD§1.1(二)
1.Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,AC=2,AB=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,则sinA=_________,cosA=_________
3.已知∠A+∠B=90°,sinA=,则cosB=_________,cosA=_________
4.Rt△ABC中,sinA=cos60°,则∠A=_________
1.△ABC中,∠C=90°,则是∠A的(
D.正切的倒数
2.已知、都是锐角,且tan&tan,则下列各式中错误的是(
3.已知∠A为锐角,cosA=,那么tanA的值等于(
三. 解答题
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=3,AD=DB=5,求sin∠ABC和sinA的值.
2.直角三角形的斜边和一直角边的比为5:3,设较大锐角为,求sin、cos、tan.
3.如图,△ABC中,AB=AC=3,BC=2,求sinB、sinA的值. AB
C拓展探究:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA+cosA=m, sinAA=n,则m、n有怎样的关系?
2.如图,ABC中,AB=AC,延长BA到点D,作DF⊥BC,交AC于点E,已知sinD=.求sin∠DEA和cosB的值.
30°、45°、60°角的三角函数值
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角大小.
一.30°、45°、60°角的三角函数值的求法
30°角的三角函数值的求法利用&在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半&这一性质.可设30°角的对边为1,则斜边为2,邻边为,再根据正弦、余弦、正切的定义,可得sin30°=,cos30°=,tan30°==
求45°角的三角函数值,要利用&含45°角的直角三角形为等腰直角三角形&,设其中一条直角边为1,则另一条直角边也为1,斜边为.然后分别根据正弦、余弦、正切的定义去求.
求60°角的三角函数值,可利用30°角三角函数的三角形即边长为1、、2的直角三角形,此时30°角的对边1和邻边分别是60°角的邻边1和对边.
这样,就可得30°、45°、60°等特殊角的三角函数值如下:
三角函数角sincostan30°45°160°二.例题例1:计算
解:原式==2-tan60°-
=2-=2--（+1）=1-2
例2:已知为锐角,当无意义时,求sin(+15°)+cos(-15°)的值.
解:当无意义时,1-tan=0,tan=1,锐角=45°.于是
sin(+15°)+cos(-15°)=sin(45°+15°)+cos(45°-15°)=sin60°+cos30°=+=
自我测评:§1.2一.填空题
1.cos230°+cos260°=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,tan(C-A)=,则∠A=_________度
3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB=_________
4.已知、、都是锐角,且sin=,tan=,cos=,则++=_________度
1.若0°&&90°,且=0,则tan的值等于(
2. 在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC三个角的大小关系是(
A.∠C&∠A&∠B
B.∠B&∠C&∠A
C.∠A&∠B&∠C
D.∠C&∠B&∠A
3.已知为锐角,下列结论正确的个数有(
(1)sin+cos&1
(2)如果&45°,那么sin&cos
(3)若cos&,则&60° (4)-1
三.解答题1.计算(1)sin30°45°+cos30°45°(2)(3)3tan30°+2sin60°-2tan45°
(4)tan230°+2sin60°45°+tan45°-cos230°-
2.如图,甲、乙两建筑物的水平距离为30m,从乙的顶点A测得甲的顶部C的仰角为60°,测得甲的底部D的俯角为30°.求两建筑物的高AB和CD(取1.7)
C甲60°A30°
3.如图,Rt△BCD中,∠DBC=30°,延长CB至A,使AB=BD,连接AD,利用此图求tan75°的值.DA
你能从sin30°、sin45°、sin60°、cos30°、cos45°、cos60°、tan30°、 tan45°、tan60°的值的大小关系中发现什么规律吗?
三角函数的有关计算
1.经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应锐角的过程,进一步体会正切、正弦、余弦等三角函数的意义.
2.能够运用计算器求任意锐角的三角函数值.
3.能够运用计算器辅助解决由三角函数值求出锐角度数的实际问题.
一.用科学计算器求三角函数值和求角度
①用科学计算器求三角函数值,要用到sin键、cos键和tan键,当角度有分还有秒时要用DMS键.如求sin72°38′25″,通常按键顺序是:72DMS38DMS25DMSsin=,则显示结果为0..结果一般有10个数位.如无特别说明,计算结果一般精确到万分位.
②已知三角函数值求角度,要用到sin、cos、tan键的第二功能sin-1、cos-1、tan-1和2ndf键,结果的显示是以&度&为单位,若再按2ndfDMS键即转化为&度、分、秒&的单位的结果.
　　当然,不同的计算器可能按键方式不同,同学们在学习过程中应重视用自己的计算器进行探索.
二.关于仰角、俯角
　　仰角:当从低处观测高处目标时,视线在水平线上方,这时视线与水平线所成的锐角称为仰角.如图所示.
　　俯角:当从高处观测低处目标时,视线在水平线下方,这时视线与水平线所成的锐角称为俯角.如图所示.仰角俯角
三.含三角函数值计算的实际问题
　　在实际问题中往往没有现成的直角三角形,需要我们作适当的辅助线构造直角三角形.任何一个锐角,总可以看作是某一个直角三角形的锐角,这样我们可由边、角、三角函数值其中的某部分,求另外的一些部分.
　　学了三角函数以后,要求某个角的大小,我们既可以量,也可以通过边的比来刻画,即根据三角函数值进而求出某个角的大小.
　例:一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m,其铅直高度上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.
　　分析:如图,在实际生活中,山坡与水平面所成的锐角,直接测量往往较难操作,但是行驶的路程和铅直高度,这两个数据是较容易得到的.这样,我们把坡角放在一个直角三角形中用正弦函数解决.
　解:如图,sin==0.05
　山坡与水平面所成的锐角2°51′58″
自我测评:§1.3(一)1.利用科学计算器求下列各式的值.
(1)tan42″
(2)tan53′38″
(3)tan47°50′43″
(4)tan85°45′15″
2.利用计算器求下列各式的值.
(1)sin44″
(2)sin24′54″
(3)sin43°39′28″
(4)sin59°57′57″
3.利用计算器求下列各式的值.
(1)cos20″
(2)cos15′36″
(3)cos55°6′34″
(4)cos88°35′53″
4.一辆坦克准备通过一座小山,已知山坡AB的水平距离为320m,山高为215m.如果这辆坦克能爬35°斜坡,它能不能通过这座小山?
5.小明在150m高的塔顶A处测得15m高的楼顶B处的小亮的俯角为32°,求小明、小亮两人的距离CD.
6.如图,某地夏日一天中午,太阳光与地面成80°角,房屋朝南的窗户高AB=1.8m,要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC,使光线恰好不能直射室内.求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01)A
80°CB§1.3(二)
1.根据下列条件求锐角A的大小:
(1)tanA=8.665
(2)tanA=0.4997
(3)sinA=0.5657
(4)sinA=0.964
(5)cosA=0.2589
(6)cosA=0.291
2. 根据下列条件求锐角B的大小:
(1)tanB=1.8
(2)tanB=24.3
(3)cosB=0.9
(4)cosB=0.3
(5)sinB=0.8
(6)sinB=0.6
3.已知菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC=8cm.求BCD(精确到1°)
4.如图,某大桥的主桥高AC为14m,一侧的引桥AB的长是50m.求引桥桥面的坡度和坡角.(精确到1°)
(注:坡度,又称坡比,坡面的垂直高度AC与
水平宽度BC的比.坡角,指斜坡的倾斜角,如
图指的是B)
5.根据如图所示的数据求的大小.
.如图,甲、乙两建筑物相距120m,甲建筑物高50m,乙建筑物高75m.求俯角和仰角的大小.CA
单元测评(§1.1～§1.3)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=6,b=10,则cosA=_________
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若3a=b,则sinA=_________
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,
那么tanB=_________
4.计算:-tan60°+(2005) °=_________
5.若sinA=cos86°,则锐角A=_________
6.若∠A为锐角, cos(90°-A)=,则tanA=_________
7. 在△ABC中,若∠A、∠B为锐角,且cosA=,tanB=,则∠C=_________
8.化简=_________
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=12,∠A的平分线AD=8,则另一条直角边a=_________
10.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=,则△ABC的周长为_________
1.在Rt△ABC中,如果各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦与余弦值(
A.都扩大2倍
B.都缩小2倍
C.正弦值扩大2倍,余弦值缩小2倍
D.都没有变化
2.在△ABC中,∠C=90°,、分别是∠A、∠B所对的两条直角边,是斜边,则有(
3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a:b:c等于（
4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则tanA等于(
5.在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则下列式子一定成立的是(
6.如果是等边三角形的一个内角,那么的值等于(
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则cosB等于(
8.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,则BC的长是(
9.若cos(36°-A)=,则sin(54°+A)的值是(
10.在△ABC中,∠C=90°,且两条直角边a、b满足a2-5ab+6b2=0,则tanA的值为(
1.计算(不用计算器)
(1)(sin60°-sin45°)(cos30°+cos45°)(2)+(3)
2.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,求∠A的三个三角函数值.BA
3.a、b、c是△ABC的三边,且满足(2b)2=4(c+a)(c-a),5a-3c=0,求sinA+sinB的值.
4.在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.
(1)求解方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:
(2)请你分别给出、∠B的一个具体值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.
5.已知6-36=0,求锐角的度数.
6.(1)如图,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索的规律,试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小关系.
(3)比较大小(在空格处填写
&&&或&&&或&=&号)
若=45°,则sin___ B1
若&45°,则sin___
若&45°,则sin___cos.
如图,已知边长为2的正三角形ABC沿着直线滚动,设△ABC滚动240°时,C点的位置为C';△ABC滚动480°时,A点的位置为A'.请你利用三角函数中正切的两角和公式tan()=,求出∠CAC'+∠CAA'的度数.
船有触礁的危险吗?
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,从而发展数学空间意识和解决问题的能力.
一.掌握直角三角形的边角关系(设∠C=90°)
1.两锐角∠A、∠B间的关系:∠A+∠B=90°
2.三边间的关系:a2+b2=c2
3.边和角间的关系:
tan,sin,cos
二.熟记三个特殊角(30°、45°、60°)的各个三角函数值
由于在解答问题中,常常会碰到与这些特殊角有关的问题,熟记这三个特殊三角函数值,给我们解决问题带来许多方便.
三.正确、合理地选择边角关系:
法一边一角
斜边和一个锐角A
1.∠B=90°-∠A
2.=sinA或=cosB
3.=cosA或=等其它方法
一直角边和一个锐角A
1.∠B=90°-∠A
2.=或=tanB
3.=或=等其它方法两边斜边和直角边1.=2.利用sinA=求∠A,或其它方法
3.∠B=90°-∠A
两直角边、1.=2.利用tanA=求∠A,或其它方法
3.∠B=90°-∠A
四.养成运用直角三角形有关的知识去分析、解决实际问题的习惯
运用三角函数解直角三角形的知识解决实际问题,关键在于将实际问题转化为与直角三角形有关的数学问题,把实际问题中的数量关系归结为该直角三角形中元素之间的关系,只要把该直角三角形构造出来,问题就迎刃而解了.在实际问题中常常碰到仰角与俯角、坡角与坡度等术语(坡角是指坡面与水平面的夹角.坡度是指垂直高度h与水平宽度的比,如用i表示坡度,用表示坡角,则i=)
例1:气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处,正在向正西北方向转移,距台风中心300km的范围内将受其影响,问港口A是否会受到这次台风的影响?
分析:由题意知,就是要求出A到台风中心的移动路线BC的距离是否大于300km.Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=45°,AB=400km,求AC即可.北解:在Rt△ABC中,CA
东=sin∠ABCAC=AB∠ABC=400=(km)
故港口A将受到这次台风的影响.
例2:海中有一小岛A,它的周围内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°,如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险?A
分析:根据题意可画出如图所示
的示意图.作AH⊥BD所在的直
线于H,若能求出AH8,则有触
礁的危险;若求出AH&8,则没有触
礁的危险.故原问题就转化为求AH的长.
解:如图,作AH⊥BD于D,由题意知∠BAH=60°,在Rt△ABH中,
BH=AH60°=AH.
由题意知∠DAH=30°,在Rt△ADH中,
DH=AH30°=AHBH-DH=BDAH-AH=12
答: 渔船不改变航向,继续向东捕捞,没有触礁的危险.
自我测评:§1.4一.填空题
1.两棵树植在倾斜角为30°的斜坡上,它们间的坡面距离是6m,则它们间的水平距离是_________m.
2.如果由A测得B的仰角为36°,那么由B去测A时俯角是_________度.
3.平行四边形的相邻两边长为4cm和6cm,夹角为60°,那么它的面积等于_________.
4.直角梯形的一个底角的正弦为,如果直腰长是5,那么斜腰长是_________.
1.平行四边形ABCD的面积为8cm 2,AB=2cm,BC=5cm,∠ABC为锐角,则cos∠ABC等于(
2.如果由点A测得点B在北偏东15°的方向,那么由点B测得点A的方向为(
A.北偏东15°
B.北偏西75°
C.南偏西15°
D.南偏东75°
3.△ABC中,∠C=90°,且,则下列式子中,不能表示△ABC面积的是(
D.sinAcosB
1.测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度,在地面上一点B测得楼顶A的仰角为30°,前进15m到D,测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC为15m,求天线AE的高度.
2.在小山BC上有铁塔AB,在塔顶A和塔底B处分别测得地面上一点D的俯角为60°和45°.已知铁塔高AB为30m,求山高BC.A60°B
3.如图,轮船在A处测得灯塔B在北偏西45°方向上,轮船自A点出发沿着南偏西75°方向以每小时24海里的速度航行,40分钟后到达C处,测得灯塔B恰好在正北方向.求这时轮船与灯塔之间的距离BC(精确到0.1)
北B45°A75°C南4.小明想测烟囱CD的高度,他在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°,测得C在湖中的倒影C'的俯角为60°.已知AB=20m,求烟囱的高CD.
DC'5.如图, △ABC中,∠B=30°,sinC=,AC=10,求AB的长.AB
6.一条水渠的横断面是等腰梯形,∠A=∠D=60°,且AB=BC=CD,梯形ABCD的面积为cm2,求水渠的上、下口宽.
　　一船在海面C处望见一灯塔A在它的正北方向,另一灯塔B在它的北偏西60°的方向,这船向正西航行1海里后到达D,这时灯塔A、B分别在它的正东北、正西北方向.求这两个灯塔之间的距离.(精确到0.1海里)B北A45°45°60°D
测量物体的高度
1.经历设计活动方案,自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
2.能够对所得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,从而得出符合实际的结果.
3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
4.锻炼不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.
测量物体高度问题的几个常见的类型可归纳如下:
一.测底部能到达的物体的高度
1.在C点测量物高AB
如图1,求物高AB,可测量BC和角,则物高AB=BC
如图2,测量BD、CD及角,则物高AB=CD+BD
2.测量两建筑物AB、CD的高度AC
如图3,先测量BD间的距离,再在C点测出A点的仰角,在D点测出A点的仰角.则物高AB=BD,CD=AB-BD=BD()
如图4,先测量两建筑物间的距离BD,在A点测出D点的俯角,测出C点的俯角,则AB=BD,CD=AB-BD=BD()
二.测底部不能到达的物体的高度
1.如图5,在C点测出A点的仰角,向后退一段CD并测出CD,在D点测出A点的仰角,则=CD
2.如图6,在C点测出点A的仰角,上升一段CD,并测出CD,在D点测出A点的仰角,则AB=
3.如图7,已知建筑物AB的高度,在C点测出A点的仰角,测出D点的仰角,则建筑物DA=
三.活动报告供参考如下:
日课题测量示意图
测量项目第一次第二次平均值计算过程
负责人及参加人员
计算者及复核者
指导教师审核意见
四.应用举例
例:某中学初三年级开展数学实践活动,测量四川电视塔AB的高度,在它不远处的开阔地带C处测得电视塔顶点A的仰角为45°,然后向电视塔方向前进132米到达D处,在D测得A的仰角为60°,如图所示.求四川电视塔的高度约为多少?(计算结果保留1位小数,供选用的数据:)
解:由题意知,∠C=45°,∠ADB=60°
=66(3+)312.2(米)
即四川电视塔的高度约312.2米.
自我测评:§1.51.小明想测量他学校旗杆的高度,已知测倾器AC的高度为1m,测点A到旗杆底部N的水平距离为17m,在测点A测得旗杆顶端的仰角为32°,如图所示.请根据这些数据帮小明求出旗杆MN的高度.M32°
2.小颖的学校操场的围墙外有一幢楼房,楼房的地面与学校操场的地面在同一平面内,她在学习《测量物体的高度》这节内容以后,想利用所学知识测量这幢楼房的高度.由于有围墙阻挡,故不能直接测得测点与楼房底部之间的距离,但她测得了如下数据(如图):在测点A测得楼房顶部M的仰角为30°;在测点B测得楼房顶部M的仰角为45°.两测点A、B之间的距离为20m,测倾器高AC=BD=1m,测点A、B及楼房底部N在同一直线上,你能根据这些测量数据帮小颖求出楼房MN的高度吗?ME
3.如图,AC表示一幢楼,它的各楼层都可到达;BD表示一个建筑物,且不能到达.已知AC与BD地平高度相同,AC周围没有开阔地带,仅有的测量工具为皮只(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案,要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示),并画出测量示意图;
(2)写出计算BD高度的表达式;
(3)写出一份活动报告.AC
4.小明家有一棵上百年的榕树,从来没有人知道它究竟有多高,有一天小明拿着一把卷尺和一个测角仪,他测得榕树的底部A到地面一点B的距离为10m ,此时他想测量树的顶端C的仰角,但由于树冠太大见不到树顶;他想退后一点,但由于后面已被房屋的墙挡住,他只好选取树茎上一点D,然后测得点D的仰角为45°.做完这一切后,小明觉得要根据这些条件计算树的高度似乎还缺少什么条件,于是他爬上房顶,他在房顶上又退后5m,在点E处分别测得树的顶端C的仰角为60°,树茎上点D的仰角为30°,然后拿回家准备进行计算树高时,才想起忘记了测量房屋的高度.请同学们想一想:小明还需要去测量房屋的高度吗?如果不需要,请帮他算一算,这棵榕树高多少米?CD
5.如图,某人在C处由点D用测量仪测得大厦AB顶端A的仰角为26°,向大厦前进30m到达C处,由点D'测得A的仰角为43°.已知测量仪高CD=C'D'=1.3m,求大厦AB的高.(结果精确到0.01m)AD
单元测评(§1.4～§1.5)
1.在数学活动课上老师带领学生去测量河两岸A、B两处之间的距离,先从A处出发与AB成90°方向向前走了10米,到达C处,在C处测得∠ACB=60°,如图所示.那么A、B之间的距离约为_________米(结果精确到0.1)
2.若某人沿坡度=3:4的斜坡前进10m,则他所在位置比原来位置升高_________m.
3.如图,某飞机于空中A处探测到地面目标C,此时飞行高度AC=h米,从飞机上看到地面控制点B的俯角为,那么飞机A到控制点B的距离是_________米.
4.如图,防洪大堤的横断面是梯形,坝高AC等于6米,迎水坡AB的坡度=1:2,则斜坡AB的长为_________米(精确到0.1米)
5.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行,上午8时,该船在A测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处,如图.上午9时行至C处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是_________海里(结果保留根号)
6.为了方便看电视和有利于彩电在使用中产生的热量的散发,将一台54英寸的大背投彩电放置在墙角,下图是它的俯视图.已知∠DAO=22°,彩电后背AD=110cm,平行于前沿BC,且与BC距离为60cm,则墙角O到前沿BC的距离是_________cm(精确到1m)AB
1.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛,三人放出风筝线长、线与地面的交角如下表(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中(
学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面交角40°45°60°A.甲的最高
B.丙的最高
C.乙的最低
D.丙的最低
2.两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为,则它们重叠部分的面积为(
3.当∠A为锐角,且cosA的值大于时,∠A(
A.小于30°
B.大于30°
C.小于60°
D.大于60°
4.△ABC中,∠B、∠C均为锐角,sinB=cos(90°-∠C)=.那么此三角形是(
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C =120°,AB=8,则CD的长为(
6.每周学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到国旗的神圣,某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法,在地面距杆脚5m的地方,他利用测倾器测得杆顶的仰角为,且tan=3,则旗杆高(不计测倾器的高度)为(
1.如图,甲建筑物上从A到E挂有一长为30m的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得A的仰角为45°,E的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC(答案可带根号).
2.如图,小明拿一把∠ACB=30°的小型直角三角尺ABC目测河流在市区河段的宽度,他先在岸边的点A顺着30°角的邻边AC的方向确定河对岸岸边的一棵树M,然后沿着30°角的对边AB的方向前进到B',顺着斜边B'C'的方向看见M,并测得AB'=100m.那么他目测的宽大约为多少?(结果精确到1m)MC
3.在小山的东侧A处有一热气球沿着与竖直方向夹角为30°的方向向东飞行,每分钟飞行28m,半小时后到达C处,这时气球上的人发现,在A处的正西方向有一处着火点B,5分钟后,在D处测得着火点B的俯角是15°.求热气球升空点A与着火点B的距离(结果精确到1m).15°
A小山4.如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC中点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,求sin∠ACE的值.
BE5.如图,MN表示某引水工程一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°的方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区,取MN上另点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m,通过计算回答:如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?北M
　　某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物,两飞机在同一地点出发,甲机沿北偏东45°方向以20km/h的速度飞行,乙机沿南偏东30°方向以20km/h的速度飞行,3h后,乙机发现有部分药品误放在甲机上,而此时,乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机,乙机以怎样的速度飞行才能正好赶上甲机?
统计与概率
50年的变化
1.经历数据的收集、整理、描述与分析的过程,进一步发展我们的统计意识和数据处理能力.
2.经历调查、统计、研讨等活动,在活动中进一步发展我们的合作交流意识与能力.
3.通过具体问题情境,让我们感受到一些人为的数据及其表示方式可能给人造成一些误导,提高我们对数据的认识、判断、应用能力.
　　本小节通过&50年的变化&的主题,回顾数据的表示与处理手段,认识一些人为的数据可能造成的&误导&、图表可能引起的&错觉&,提高对数据的认识、判断和应用能力,发展我们对数据来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理质疑的能力,从而提高我们的统计和抉择能力.
一.广告可信吗?
　　首先我们来看一个与统计有关的宣传减肥的数据:
每一个减肥产品的生产厂家,都会对外宣传一个减肥计划,目的是试图使其潜在顾客相信,如果执行了这个计划,他们的体重就会大大减轻.下表就是一厂家在其减肥计划中用表宣传的数据,它显示了厂家的8名顾客减少的体重量:顾
客ABCDEFGH减少的体重量/千克12..5141612
当我们阅读这一表格中的数据时,有些问题是需要思考的,例如,这一厂家是否给出了体重减轻最多的8名顾客所减少的体重量?他们是用多少时间来减掉这些体重的?他们开始执行计划时的体重是多少?等等.
因此请同学们当心,当给予你们的是背景不足的信息或是不完全的图表时,这其中出现的数据和图形很可能是产生误导的.让我们再看两个商家广告中的数据不可信的例子:
例1:一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场进行调查,产品的销售占这三个大商场同类产品销量的40%.由此该厂家在广告中宣传,他们的产品在国内同类产品的销量占40%.该宣传中的数据可靠吗?为什么?
解答:该电脑生产厂家凭借挑选某城市经销其产品的情况,断然说他们的产品在国内同类产品的销量占40%,宣传中的数据不可靠.理由有二:第一,所取样本容量太小;第二,样本的抽取缺乏随机性.
例2:据报道,2003年我国汽车市场上一些轿车的销量如下表所示:车型桑塔纳捷达别克奥迪销量(辆)
将表中四个数据相加,可以知道四种品牌的轿车在2003年总销量为363870辆.有人据此画出如图1所示的2003年中国汽车市场上品牌占有率的扇形统计图,桑塔纳的市场占有率为,其它三种品牌的轿车的市场占有率依次为26.1%,8.4%,4.4%.上述说法正确吗?为什么?
解答:因为市场上除了桑塔纳、捷达、别克、奥迪这四种品牌外,还有红旗、夏利、奥拓等,所以不能用这四种品牌汽车销量的总和来代替所有品牌汽车的总销量来计算市场占有率,不应该作扇形统计图.我们可以作出条形统计图形象直观地对这四种品牌情况加以比较(如图2所示).图1图2
二.学会用加权平均数解决问题
　　我们在日常生活中经常要和数据打交道,如何处理数据就成为一件重要的事情了.下面请看一则借助平均数来解决的问题.
例1:小召在九年级第一学期的数学成绩分别是:平时单元测试四次,分别得分:90,86,84,88;期中考试得分80分;期末考试得分87分.如果按照平时、期中、期末的权重分别为15%,30%与55%,请你计算小召在这学期的总评成绩应为多少分?
分析:要计算这学期的总评成绩,需要先计算出平时测试的四次成绩的平均值,然后再按照不同的权重进行计算.
解:平时测试的平均成绩为:
(90+86+84+88)4=87(分)
总评成绩为:
87×15%+80×30%+87×55%=84.9(分)
自我测评:§4.1(一)1.下表反映了年我国粮食供给与需求的状况(资料来源:国家统计局农调队).年份播种面积/万亩
亩产量/千克
供给量/万吨
需求量/万吨
净进出口/万吨总产量农民出售量需求量商品粮需求量--
年,播种面积、亩产量、总产量和农民出售量有什么变化?用适当的图表将这些变化形象地表示出来,并尝试说明产生这些变化的原因.
2.小明将他的8次数学测验成绩按顺序绘成了2张统计图:
(1)上图和下图给人造成的感觉各是什么?
(2)若小明想向他父母说明他数学成绩的提高情况,他将向父母展示哪一个统计图?为什么?
3.某一音响制品店一天销售的情况如下图所示:
(1)民歌类唱片与通俗歌曲唱片销售量之比是多少?
(2)要使读者更为直观地看出这几类音响制品的销售量之比,上图应做怎样的改动?
4.下图是小明家和小芳家在教育上的花费情况,你能从中判断出谁家在教育上的花费多吗?若不能,你还需要什么数据?
5.美国人和日本人的吸烟情况如下表:国家总人口
每天所吸香烟总数/支美国000日本00
(1)用恰当的方法或图表,比较这两个国家的吸烟人数;
(2)用恰当的方法或图表,比较这两个国家每天所吸香烟的总数;
(3)根据(1)和(2)的结果,你能得出什么结论?
　　一部电影的宣传广告词中写道:&成千上万的人选这部影片为本年度最佳影片.&在你相信这部电影真的是年度最佳影片之前,你还应该取得哪些信息?§4.1(二)1.某制床厂做了一个每晚睡眠时间的统计,结果如下图所示:
(1)你能根据下图求出被调查者睡眠时间的平均数和中位数吗?
(2)厂家想利用这个信息来劝说人们:每天要花很长的时间睡眠,因此就应该买个好的床.制床厂做宣传时可能会选择平均数、中位数,还是众数呢?为什么?
2.王先生去一家公司应聘,他向经理询问该公司一个未来职工的薪水会有多少,经理告诉他,公司员工每年的平均工资是22750元,同时还给了王先生一张下面的工资表.请你帮王先生分析分析,看他作为一个新雇员每年能挣到22750元吗?职位员工人数
每年工资经理180000副经理235000
销售人员1020000办事员7150003.一文具店老板购进了一批不同价格的文具盒,它们的售价分别为10元、20元、30元、40元和50元,销售情况如图所示.这批文具盒售价的平均数、众数和中位数分别是多少?
4.某一老板开了三家快餐店,他的利润来自这三家店的利润.已知今年这三家快餐店的利润分别比去年增长了30%,20%,10%,你能计算出该老板今年利润比去年增长的百分率吗?说说你的理由.
　　小明所在城市今年公布的房产指数是2000(表示该城市房子的平均销售价格是2000元/米2),可小明父母发现他们所生活的主城区的房子销售价格都在3000元/米2以上,造成这种情况的原因可能是什么?你对房产指数有哪些好的建议?
哪种方式更合算
1.经历解决问题的活动过程,并在活动中进一步发展我们的合作交流的意识与能力,增强我们的数学应用意识和能力.
2.通过具体问题情境,让我们初步体会如何评判某件事情是否&合算&,并利用它对现实生活中的一些现象进行评判.
3.进一步体会统计与概率之间的联系.
　　我们在日常生活中经常遇到各种摇奖活动,通过以前学习有关概率方面的知识,同学们可能已经认识到这些活动中获胜或获奖的可能性,但还没有正确的评判能力或决策能力,因此应该给同学们一定的工具,并掌握一定的判断方法,让我们在具体情境中感受是否&合算&,让我们评判某项活动是否&合算&,提高我们的决策能力,从而对现实生活中的一些类似的现象进行评判.当然,这本质上是数学期望,但由于选材贴近我们的生活,通过和前一节中加权平均数的联系,我们不难获得对问题的理论解释.
　　在转转盘实验时,我们要正确地看待、思考、分析实验结果.正如实验频率与理论概率的关系一样,实验次数很多时,实验结果应该和理论值相近,实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,我们应该建立良好的随机观念.
例:过春节时,熙熙攘攘的集市上某商人正在摆摊&转转盘&,转盘被均匀分为37格,分别标以0～36这37个数字,且所有写有偶数(0除外)的格子,都涂成了红色,写有奇数的格子都涂成了蓝色,而0所在的格子被涂成绿色.游戏者可以自由下赌注,例如,游戏者所下赌注为1元,若最后指针所指的格子与所押的格子颜色相同,则返还赌本并奖励1元;若颜色相异,则没收赌本;若最后指针指向&0&,则不管是否押对,均没收赌本,而奖励0.5元.假设该转盘的指针指向每一小格的机会均等,你正从此经过,你认为参加该游戏对你有利吗?请你进一步算一算,转动多次后,游戏者平均每次将获利或损失多少元?
析解:这个游戏是有很大的欺骗性,实际上这个游戏对游戏者不利.显然游戏者是不会押&0&的,因为只要指针指向&0&,就没有赌本1元而奖励0.5元,不押&0&对游戏有利.
如果游戏者所下赌注为1元,那么每次的平均收益是:(1-1)=-0.5(元).还可以这样计算:2=-0.5(元).
也就是说,游戏者每投资1元,就可能要损失0.5元,下赌注下得越多就损失得越多.
自我测评:§4.21.小明在游乐场看到别人正在玩一种游戏.玩这种游戏需要用一张票,游戏者掷两个塑料的圆柱形瓶子,如果两个瓶子都是底朝上站住的,游戏者可以得到10张票玩其他游戏.小明看别人玩了一会儿,并把结果记录在表格中.
　两个都是边朝上
一个底朝上，一个边朝上
两个都是底朝上24次14次2次(1)基于小明的记录结果,赢得游戏的实验概率是多少?
(2)基于上述概率,如果小明玩这个游戏20次,他可以赢多少次?
(3)小明玩40次后,他可能得到或者失去多少张票?说明理由.
2.在一次游艺活动中,组织者设立了一个抛硬币游戏.玩这个游戏需要四张票,每张票0.5元.一个游戏者抛两枚硬币,如果硬币落地后都是正面朝上,则游戏者得到一件奖品,每件奖品价值5元.组织者能指望从这个游戏中赢利吗?为什么?
3.同时掷一枚硬币和一枚骰子,硬币出现正面且骰子出现6的概率是多少?
4.小明所在的中学共有3个年级,每个年级有6个班,每个班有50名学生,老师要从每一个班随机选一名同学参加问卷调查活动,抽到小明的概率是多少?
游戏公平吗?
　　通过具体问题情境让我们进一步体会如何评判事情是否&合算&,并利用它对一些游戏活动的公平性作出评判.
　　本章是整个初中阶段统计与概率学习的最后一章内容,本小节是最后一章内容的最后一节,是学习概率知识的结束.通过学习本章,我们知道概率与统计是紧密联系的,它们互为基础:概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的,而统计又离不开概率的理论支撑.统计、推断、估计、假设、检验等统计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论的严密性.
例:甲、乙两人玩掷骰子游戏,每人掷两枚骰子,商定谁掷出的点数和大谁胜.甲连输三局之后,对乙说:我们改变游戏规则,你掷两枚骰子,如果掷出的点数和小于6,每次我得3分;若掷出的点数和是6点或6点以上,每次你得1分.请你替乙想一想:甲说的这个游戏规则是否公平?如果不公平,对谁有利?如果不公平,你能对规则作修改,使规则变公平吗?
析解:这个游戏不公平.我们可列表说明:
第二投骰子点数骰子点
骰子点数101112
从上表可以看出,掷出点数和有36种情况,其中6点以下有10种情况,6点或6点以上有26种情况.由于,故这个游戏对甲有利.可以修改为:乙掷出点数和为5点以下,每次甲得5分,乙掷出点数和为5点或5点以上,每次乙得1分,这样游戏对甲、乙双方公平.当然还有其它修改方法.
自我测评:§4.31.小明和小芳设计了两个掷骰子的游戏,每个游戏每次都是掷两枚骰子.
游戏一:和是6或者7,小明得1分;和是其他数字,小芳得1分.
游戏二:和能够被3整除,小明得3分;和不能被3整除,小芳得1分.
这两个游戏公平吗?说说你的理由.若不公平,你能将它们改为公平的吗?
2.转动如图所示的转盘两次,每次指针都指向一个数字.两次所指的数字之积是质数,游戏者A得10分;乘积不是质数,游戏者B得1分.你认为这个游戏公平吗?如果你认为这个游戏不公平,你愿意做游戏者A还是游戏者B?为什么?你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平吗?
3.有6张牌,均正面朝下,其中有且仅有两张是K.小明和小芳约定:随便翻开2张,两张都不是K,小芳得1分;至少有一张是K,小明得1分.这个游戏对两人公平吗?你若认为公平,请说明理由;你若认为不公平,请给出修改意见,使游戏变得公平.
4.小明与小亮一起玩抛掷一个普通正方体骰子的游戏,
(1)指出游戏中的必然事件、不可能事件和随机事件各一个.
(2)如果两个骰子上的点数之积为奇数,小明胜;如果两数之积为偶数,则小亮胜.你认为这个游戏公平吗?如果不公平,谁获胜的概率大?请说明理由,并为他们设计一个公平的游戏规则.
单元测评(§4.1～§4.3)
1._________统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目;_________统计图能清楚地反映事物的变化情况;_________统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
2.从一副扑克牌中,任意取出1张,这张牌是大王的概率是_________.
3.班内有男生23人,女生20人,在班内随机找出一名同学,则被找到的同学是男生的概率是_________.
4.文具盒的密码数字有两位,每个数码是0～9中的任一数字,如果不知道密码的同学去开密码锁,一次打开的概率为_________,如果密码数字有三位, 一次打开的概率为_________.
5.新华图书城第一季度销售语、数、英三种辅导资料的统计图如图,若仅看图中的阴影部分,则销售最多的是_________,最少的是_________,最多是最少的_________倍,实际约是_________倍.
6.两个品牌上衣一段时间的销售量的变化统计图如图,销售量增长较快的是_________.
7.某舞蹈小组组员的身高统计图如图,则身高的众数是_________,中位数是_________.
8.张量学习小组调查了某城市部分居民的家庭收入情况,绘制出下列的扇形统计图如下图.则这部分居民家庭收入的众数是_________,平均数是_________.
9.陈平和扬帆正在做投骰子游戏,两人各投掷一枚骰子.游戏规定,当两枚骰子的点数之和为奇数时,扬帆得1分;否则,陈平得1分.扬帆获胜的概率是_________,陈平获胜的概率是_________.
10.期末数学测试有两道都是单选题,各有四个选项,小毛不会做,就采用了瞎猜的办法解决,这两道题他恰好全猜对的概率是_________.
1.某运动员定点投篮的命中率为90%,在一次定点投篮比赛中,规定每人投10次,那么,对该运动员比赛结果的预测正确的一项是(
A.该运动员一定投中9个球
B.该运动员至少投中9个球
C.该运动员可能投中8个球或9个球或10个球
D.该运动员很有可能投中9个球,也可能投中的不是9个球
2.如图所示,有甲、乙、丙三种游戏盘,游戏规则如下:向游戏盘中掷小球(小球不会跑到盘子外面),小球停在黑色区域为赢.如果你参加这次游戏,所选盘子为(
D.三个都一样
3.要想有5名同学在同一个月里过生日,至少需要学生(
4.两个同学对兴华公司5年的利润情况,绘制了折线统计图,下列说法正确的是(
A.甲利润增长快
B.乙利润增长快
C.两者增长一样
D.无法确定
5.广告牌上&和平大酒店&的几个大字是霓虹灯,几个字一个接一个地亮起来,直至全部亮起来再循环,则给人一眼看全的概率为(
6.如图,是a,b,c,d,e五位同学的身高统计图,下列说法错误的是(
A.c同学最高
B.c的身高是d的2倍
C.e比b高20cm
D.d的身高是b的身高的
7.如图是某茶叶店在2002年和2003年三种茶叶的销量统计图,下列说法正确的是(
A.第3种茶叶2002年的销量比2003年的大
B.第2种茶叶2002年的销量较2003年的小
C.第1种茶叶2002年和2003年销量一样
D.从图中不能比较销量的大小
8.学校快餐店有2元、3元、4元三种价格的饭菜供学生选择(每人限购一份),如图是某月的销售情况统计图,则该校学生购买饭菜费用的平均数是(
9.如图,小明和小刚两同学利用两个转盘进行&配紫色&游戏,分别旋转两个
转盘,若其中一个转盘转出了红色,另一个转出了蓝色,则可配成紫色,此时小明得8分,否则,小刚得17分,则这个游戏(
A.对小明不利
B.对小刚不利
C.对两人都公平
D.对两人都不公平
10.如图,转动两个转盘各一次,将所转到的数字相加,它们的和是偶数的概率是(
1.某城市四个区一年12个月的降水量的统计数据如下表(单位:mm),请选择适当的统计图反映这四个区每个月降水量的变化情况.112A42.174....B38.173....C44.187....D52.666.571.62.00.661.843.432.3
2.下图分别是小明和小芳最近5次的数学成绩,谁的进步更大些?
3.根据下图,你能断言每年的就业人数都在增加吗?能断言就业率在提高吗?如果不能,你还需要掌握哪些信息?
4.某市政府试图劝说一家跨国公司在该市建厂.他们告诉公司老总:本市的人口在迅速增长,从而可以给公司提供大量的熟练工.而一个环保组织却认为,这家公司曾有过空气污染和水污染问题,于是他们对公司老总说:本市的人口增长并没有市政府所说的那么快.最终公司派人亲自对情况进行了调查.这三方分别画了一张统计图.
(1)解释下面这三张图哪一张是市政府一方提供的,哪一张是环保组织提供的,哪一张是公司调查人员提供的,并说明你的理由;
(2)三张图是否都表示了该市人口的增长情况?为什么看上去会不同?
(3)说明这三张统计图所表示的人口与时间的关系.
5.进行抛掷硬币的试验时,小明一时找不到硬币,请你帮助他设计一替代物进行模拟试验.
6.某书店对暑假的学生购书进行了统计得到如下统计表:
图书类别文学类社科类科普类教辅类其它合计销
量请根据表格完成下列问题:
(1)销量最大的是哪个类别?
(2)你认为学生暑假期间的这种购书结构合理吗?
(3)你想向学校、家长和社会提点什么建议?
7.小明和小华做翻牌游戏,一共10张牌,分别写着1～10的数字,小明的五张牌上的数字分别是1,2,3,4,5,小华的五张牌上的数字分别是6,7,8,9,10,他们任意抽取对方一张牌,若两个数字之和为奇数,小明获胜,否则,小华获胜,则他们获胜的概率分别是多少?
8.生产厂家生产A、B、C三种型号的电脑,2003年这三种型号的电脑的售价依次为8千元、6千元、5千元,2004年该厂家决定降低电脑的销售价格,A、B、C三种电脑分别降价10%、15%、20%,于是,该厂家宣传他们的电脑平均降价15%,你认为该厂家的说法对吗?说说理由.
9.李华6次数学单元测试的成绩依次是85分、69分、70分、75分、90分、85分.
(1)这6次测试的平均分、中位数和众数分别是多少?
(2)如果他希望告诉别人他的成绩不错,他最好选用哪个值表示他的成绩?
10.下列几张牌中,若规定奇数号为负数,偶数号为正数,现任选两张,用它们牌的点数作除法,用列表的方法求出商的符号为正的概率,并说明商的符号为正的概率大还是商的符号为负的概率大?答
直角三角形的边角关系§1.1(一)一.1.
三.1.tanA=3
AB==2080(m)
拓展探究:易证Rt△ABD∽Rt△CAD,得故=16于是AD=4,tanB==2§1.1(二)一.1. 2.5
三.1.BC==4
3.过A作AD⊥BC于D,则AD=,sinB=,作CE⊥AB于E,则S△ABC=,得CE==sinA=
拓展探究：
1.(sinA+cosA)2=m2
1+2sinAcosA=m2
2.由∠C+∠CEF=90°,∠B+∠D=90°,∠B=∠C得∠CEF=∠D∵∠DEA=∠CEF∴∠D=∠DEA于是sin∠DEA=sinD=,cosB=sinD=§1.2一.1. 1
3.由∠DBC=30°,AB=BD,知∠ADB=15°,于是∠ADC=15°+60°=75°.在Rt△BCD中,设CD=1,则BD=AB=2,BC=∴tan75°=tan∠ADC=
拓展探究:规律是:当是锐角时,正弦函数和正切函数的值随角的增大而增大;余弦函数值随角的增大而减小.§1.3(一)1.略
4.tanA=∴∠A=33°54′&35°所以能通过这座小山.
5.过点B作BE⊥AC于E,则AE=AC-BD=150-15=135(m)∵sin∠ABE=255(m)
6.tan80°=
0.32(m)§1.3(二)1.略2.略3. 74°4.在Rt△ABC中,BC==48(m)
坡度=1:3.2
sinB=坡角∠B16°
22°37′12″
11°46′6″
单元测评(§1.1～§1.3)
2.sinA=,cosA=,tanA=3.4.第一步:cosB=
第三步:∠B
∠A+∠B=90° ∠A=90°-∠B5. 45°6.(1)正弦值随锐角度数的增大而增大,余弦值随锐角度数的增大而减小
　　 (2)sin18°&sin34°&sin50°&sin62°&sin88°
cos88°&cos62°&cos50°&cos34°&cos18°(3)=,&,&拓展探究:作C'E⊥,E、F分别为垂足,则C'E=A'F=,利用已知公式,可求tan(∠CAC'+∠CAA')=故∠CAC'+∠CAA'=30°§1.4一.1. 3
三.1.(30-15)m
4.设CD=C'D=m则
5.过A作AD⊥BC于D,在Rt △ACD中求出AD=8,在Rt △ABD中由AD=8,∠B=30°,得AB=16
6.分别作梯形的高BE、CF,设AB=BC=x,则AD=AE+EF+FD=x+x+x=2x,BE=CF=x60°=x,(x+2x)x=3,得x=2.所以上口宽为4,下口宽为4.
拓展探究:过点B作CD的垂线,垂足为E,由∠ADC=90°-45°=45°,AC⊥CD,知△ACD为等腰直角三角形,AC=CD=1,求得AD=.在Rt △BDE中,由∠BDE=90°-45°=45°知△BDE为等腰直角三角形,BE=DE.由CE-DE=1,∠ACD=90°-60°=30°,建立方程-DE=1即-BE=1求出BE,进而求出BD,在Rt △ABD中AB=2.4所以两个灯塔AB之间的距离约为2.4海里.§1.51.提示:MN=ME+EN=CEtan32°+AC=17tan32°+1
2.=20,求ME=10+10∴MN=ME+1=10+11
3.本题答案不唯一,下面的方法可供参考:
(1)测量步骤(如图):①用测倾器在A处测得D的俯角为②用测倾器在A处测得B的仰角为③用皮尺测得AC=m
(2)AE=CD=,BE=,BD=
(3)活动报告可参照本节的学习方略.
4.不需要去测量房屋的高度.树高可以看作AD+DC,也可以看作AF+FC,在Rt △CEF中,∠CEF=60°,EF=10+5=15,故FC=FE,再求AF即可. 在Rt △DEF中,∠DEF=30°,故DF=EF30°=.在Rt △ABD中,∠B=45°,B=10,故AD=AB45°=10×1=10,故AF=AD-DF=10-.因此榕树高为AC=15+10(m)5. 31.98m单元测评(§1.4～§1.5)
一.1. 17.3
三.1.(45-15)m
2.河宽约173m
3.距离约为2677m
4.过点E作BD的垂线,垂足为F.在Rt △CEF中,cos∠ECF=
5.过点A作MN的垂线,垂足为C,求AC,AC小于500m,故输水路线不会穿过居民区.
拓展探究:如图,∠BAC=105°,∠B=45°,∠C=30°,过点A作BC的垂线,垂足为D,由AB=20×3=60得BD=60.由∠C=30°,得AC=120,所以CD=60.设乙机应以km/h的速度飞行,则有+3,解得
东DB南第四章
统计与概率§4.1(一)1.1978年以后,由于家庭联产承包责任制的推行,劳动者和生产资料的直接结合,释放了他们长期受到压抑的积极性,农业特别是粮食生产因此得到了较快的发展,农产品也出现了较多的剩余.2.略.3.(1)民歌类唱片与流行歌曲唱片销售量之比为80:120=2:3;
(2)纵轴上的数值应从0开始.4.不能.5.美国:吸烟人数占总人口的百分比为22%,吸烟者平均每人每天吸烟26.133支.
日本:吸烟人数占总人口的百分比为26.8%,吸烟者平均每人每天吸烟25.736支.
所以,美国的吸烟总人数和每天吸烟的总数都大于日本,但吸烟人口占总人口的比例和吸烟者平均每天吸烟的数量均小于日本.
本题也可用扇形统计图表示.
拓展探究：略.§4.1(二)1.(1)平均数为5×4%+6×10%+7×35%+8×35%+9×16%=7.49(时),中位数是8时;(2)制床厂将会用中位数,因为它表示的睡眠时间最长.
2.王先生很可能挣不到22750元,因为平均工资中,经理的高工资将低工资拉平了.
3.平均数:10×12%+20×34%+30×30%+40×18%+50×6%=27.2(元),众数:20元,中位数:30元.
4.不能.因为不知三家快餐店去年的利润分别是多少.
拓展探究:略.§4.21.(1)赢得游戏的实验概率是;(2)赢1次;(3)玩40次赢2次,可以得20张票,但玩40次,需要40张票,小明可能失去20张票.
2.游戏者赢的概率是0.25,玩一次需要2元.理论上讲,玩四次便有一次赢,即花8元可以赢一件5元的奖品.组织者应该可以赢利.3.
1.游戏一:和是6或7的概率为,和是其他数字的概率为,游戏不公平;游戏二:和能被3整除的概率是,和不能被3整除的概率是,游戏不公平.
2.乘积是质数的概率是,乘积不是质数的概率是,游戏不公平;愿做A.
3.两张都不是K的概率为,至少有一张是K的概率是,游戏不公平.
4.(1)必然事件:两个骰子上的点数之和为大于1或小于13的整数;不可能事件:两个骰子上的点数之和为1或大于12的整数;随机事件:两个骰子上的点数之和为奇数(或偶数)
(2)不公平.P(小明)==25%,P(小亮)==75%.理由略,规则略.
单元测评(§4.1～§4.3)
一.1.条形,折线,扇形
5.英语,语文,4信,2.5信
7. 1.75m,1.7m
8.1200元,1314元
2.小明的进步更大
3.能断言就业人数在增加,但不能断言就业率在增加
4.(1)图(2)是市政府提供的,图(2)是公司调查人员提供的,图(3)是环保组织提供的;(2)略;(3)时间上以年为单位,人口数y以万为单位,则有y=1+0.05(t-1986)
6.(1)教辅类;(2)不合理;(3)减轻课业负担,开阔学生视野,增加学生的知识面.
7.小明获胜的概率为,小华获胜的概率为.
8.不对.理由:平均降价应为×100%14.21%
9.(1)平均分79分,中位数80分,众数85分(2)最好用众数10.第一张牌商的符号
第二张牌方块2(+)方块4(+)方块7(-)方块8(+)方块9(-)方块2(+)++-+-方块4(+)++-+-方块7(-)--+-+方块8(+)++-+-方块9(-)--+-+P(正)=,P(负)=
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说的太好了，我顶！
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