已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x2-2，（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=-1时，求函数f（x）在[m，m+3]（&m＞0）上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞x-2ex成立．【考点】．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）根据对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，也就是a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可．（II）要求函数的最值，不管遇到什么特殊的函数，一定要按照求最值的方法按部就班的来解，首先求导，令导函数等于0，得到可能是极值点，根据极值点和区间两个端点之间的关系，得到结果．（III）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是2，只要求函数x-2e最大值进行比较即可．【解答】解：（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x2-2恒成立．也就是a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立．令，则F'2=x2+x-2x2=(x+2)(x-1)x2，在（0，1）上F'（x）＜0，在（1，+∞）上上F'（x）＞0，因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3，所以a≤3．（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=xlnx+x，f'（x）=lnx+2，由f'（x）=0得2．①当2时，在2)上上f'（x）＜0，在2，m+3]上上f'（x）＞0因此，f（x）在2处取得极小值，也是最小值.min(x)=-1e2．由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0因此，fmax（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]②当2时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，所以fmin（x）=f（m）=m（lnm+1），fmax（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]（Ⅲ）证明：问题等价于证明x-2e(x∈(0，+∞))，由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是2，当且仅当2时取得，设x-2e(x∈(0，+∞))，则G'x，易知max(x)=G(1)=-1e，当且仅当x=1时取到，但2＞-1e，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有x-2ex成立．【点评】本题考查函数性质和导数的综合应用，本题解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：涨停老师　难度：0.46真题：9组卷：14
解析质量好中差
&&&&，V2.26469（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．_数学高考试题_中学资源网
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（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．
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（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 16:18:14
（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
（I）解：函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0． g（x）=f′（x）=2（x-1-lnx-a），∴g′（x）=2-2x=2(x-1)x， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； 当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． （II）证明：由f′（x）=2（x-1-lnx（x≥1）， 由v′（x）=1-1x≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增． ∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e-2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0． 再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 当x∈（1，x0）时，f1-lnx-a）=0，解得a=x-1-lnx， 令u（x）=-2xlnx+x2-2（x-1-lnx）x+（x-1-lnx）2=（1+lnx）2-2xlnx， 则u（1）=1＞0，u（e）=2（2-e）＜0， ∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0， 令a0=x0-1-lnx0=v（x0），其中v（x）=x-1＜0，∴f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0； 又当x∈（0，1]，f（x）=(x-a0)2-2xlnx＞0． 故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立． 综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
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　　网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f(1)=12，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直求出m=-2，则直线l的方程可求，由点到直线的距离公式得答案；（Ⅱ）把对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立转化为lnx≤m(x-1x)，然后构造函数g(x)=lnx-m(x-1x)，利用导数对m≤0和m＞0分类讨论求得m的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1，m=12时，lnx＜12(x-1x)成立，令x=2k+12k-1，(k∈N*)，结合不等式2k+12k-1＜12(2k+12k-1-2k-12k+1)=4k4k2-1得到不等式14[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜4k4k2-1，(k∈N*)，即14(ln3-ln1)＜14×12-1，然后利用累加求和得答案．
（Ⅰ）解：由f（x）=xlnxx+1，得f′(x)=x+1+lnx(x+1)2，∴f(1)=12，于是m=-2，直线l的方程为2x+y-2=0．原点O到直线l的距离为|-2|5=255；（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，即xlnxx+1≤m(x-1)，也就是lnx≤m(x-1x)，设g(x)=lnx-m(x-1x)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．g′(x)=1x-m(1+1x2)=-mx2+x-mx2．①若m≤0，?x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；②若m＞0，方程-mx2+x-m=0的判别式△=1-4m2，当△≤0，即m≥12时，g′（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．当0＜m＜12时，方程-mx2+x-m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），x1=1-1-4m22m∈(0，1)，x2=1+1-4m22m∈(1，+∞)，当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．综上所述，m≥12；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=12时，lnx＜12(x-1x)成立．不妨令x=2k+12k-1，(k∈N*)，∴2k+12k-1＜12(2k+12k-1-2k-12k+1)=4k4k2-1，14[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜4k4k2-1，(k∈N*)．∴14(ln3-ln1)＜14×12-1．14(ln5-ln3)＜24×22-1．…14(ln(2n+1)-ln(2n-1))＜n4n2-1．累加可得：14ln(2n+1)＜ni=1i4i2-1，（n∈N*）．即ln42n+1＜nn+1i4i2-1（n∈N*）．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式2k+12k-1＜12(2k+12k-1-2k-12k+1)=4k4k2-1是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是压轴题．
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科目：高中数学
如果圆柱与圆锥的底面直径、高和球的直径相等，则体积比V圆柱：V圆锥：V球为（　　）
A、3：1：2B、3：1：4C、6：3：4D、3：3：2
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下列几何体中不是旋转体的是（　　）
A、B、C、D、
科目：高中数学
设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），AP=k（AB+AC）（k∈R）．若cos∠BAC=25，则k=（　　）
A、514B、214C、57D、37
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已知三角形的三条边分别为a，b，c，若（b2-c2）[a2-（b2+c2）]=0，请判断该三角形的形状．
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2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了，但它对日本的核电站的破坏却是持续的，其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中，假设近似满足：其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M02-t30，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（　　）
A、5太贝克B、72ln&2太贝克C、150ln&2太贝克D、150太贝克
科目：高中数学
如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．
科目：高中数学
对各项均为正整数的数列{an}，若存在正整数m和各项均为整数的数列{bn}，满足（1）0≤bn＜m；（2）m是an-bn的约数；（3）存在正整数T，使得bn+T=bn对所有n∈N*恒成立．则称数列{an}为模周期数列，其中数列{bn}称为数列{an}的模数列，T叫做数列{bn}的周期．已知数列{an}是模周期数列，且满足：a1=1，an+1=2an+1，若m=10，则一个可能的T=．
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如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，A1D∩AC1=M，BA1⊥AC1．（Ⅰ）试问在线段AB是否存在一点N，使得MN∥平面BB1C1C，若存在，指出N点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求点C1到平面A1ABB1的距离．
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整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知f（x）=xlnx（1）求g(x)=\frac{f(x)...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=x+\frac{a}{x}+2lnx，g(x)=e^{2x}+e^{-2x}+e^{x}+e^{-x}+k，(a，k∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a=8时，若对于?x1∈[1，4]，?x2∈R，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数k的取值范围．
已知f(x)=xlnx-ax，g(x)=-x2-2．(1)当a=-1时，求f(x)的单调区间；(2)对一切x∈(0，+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有lnx+1＞\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{ex}成立．
已知f(x)=xlnx．(1)求g(x)=\frac{f(x)+k}{x}(k∈R)的单调区间；(2)证明：当x≥1时，2x-e≤f(x)≤\frac{x^{2}-1}{2}恒成立；(3)任取两个不相等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存x0＞0使f′(x0)=\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}成立，证明：x0＞x1．（04年全国卷Ⅱ理）(14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．相关试题