2016年MBA联考：高等数学常见考点分析_新浪教育_新浪网
2016年MBA联考：高等数学常见考点分析
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　　考研数学高数占卷面总成绩的50%以上，是重之中的重，如果高数成绩不过关将会为考研增添不小的负担。一些考生表示，在准备考研数学高数部分的复习最大的困难就是抓不住重点，感觉看了好几遍教材，一做题还是没有任何的思路，时间花费了很多但是并没有明显的效果，让自己很沮丧。为此，小编结合考研数学历年真题总结出高数以下几个重要知识点，希望同学们能够在复习过程中有所侧重。
　　函数、极限与连续
　　主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数、讨论函数连续性和判断间断点类型、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。求分段函数的复合函数；求极限或已知极限确定原式中的常数；讨论函数的连续性，判断间断点的类型；无穷小阶的比较；讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。
　　一元函数微分学
　　主要考查导数与微分的定义、各种函数导数与微分的计算、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值、方程的的个数、证明函数不等式、与中值定理相关的证明、最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用、用导数研究函数性态和描绘函数图形、求曲线渐近线。求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；利用洛比达法则求不定式极限；讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，此类问题证明经常需要构造辅助函数；几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
　　一元函数积分学
　　主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算、变上限积分的求导、极限等、积分中值定理和积分性质的证明、定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；关于变上限积分的题：如求导、求极限等；有关积分中值定理和积分性质的证明题；定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；综合性试题。这一部分主要以计算应用题出现，只需多加练习即可。
　　向量代数和空间解析几何
　　计算题：求向量的数量积，向量积及混合积；求直线方程，平面方程；判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角；建立旋转面的方程；与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。这一部分的难度在考研数学中应该是相对简单的，找辅导书上的习题练习，需要做到快速正确的求解。
　　多元函数的微分学
　　主要考查偏导数存在、可微、连续的判断、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数、多元函数极值或条件极值在与经济上的应用、二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续；求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数；求二元、三元函数的方向导数和梯度；求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习；多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题；求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，在复习时要引起注意，可以找一些题目做做，找找这类题目的感觉。
　　多元函数的积分学
　　包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序；第一型曲线积分、曲面积分计算；第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用；第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用；梯度、散度、旋度的综合计算；重积分，线面积分应用；求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。
　　微分方程
　　主要考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。
　　数学要想取得好成绩，考生需要按照考试大纲的要求全面复习，注意抓题型的解决方法和技巧，不断总结。希望以上参考资料，能帮助考生取得好成绩。
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§10.1&&对弧长的曲线积分
一、概念的引进
假设面内有一段曲线弧具有质量,在上任一点处的线密度为,且在上连续,与分别是弧的端点,现计算弧的质量。
在上任意地插入个分点
将分划成个小弧段。对于第&&个小弧段,由于线密度函数在上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近&#20284;地等于
于是,整个曲线弧的质量近&#20284;&#20540;为
用表示这个小弧段长度的最大者,&即&
为了得到质量的精确&#20540;,只需对上述和式取极限,令,
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设为面内的一条光滑曲线弧,函数在上有界,在内任意地插入点,
它把分成个小弧段,设第个小段的长度为,为上任取的一点,记&
作和式&&&&&&
如果极限&&&&&&存在,
这个极限&#20540;就叫做函数在曲线弧上对弧长的曲线积分,记作。
其中:叫做被积函数,&叫做积分弧段。
1、中的被积函数的定义域为上的一切点。
2、上述定义可类&#20284;地推广到空间曲线的情形,
设是空间的一条光滑曲线,函数在上有界,则
3、若为一条封闭曲线,一般将记为&。
二、对弧长的曲线积分的性质
利用对弧长的曲线积分定义,&我们可以证明下述性质
2、若为常数,
4、若在上,,则&
上述性质均不加以证明,&有兴趣的同学可以查阅有关书籍。
三、对弧长曲线积分的计算法
假设曲线由参数方程
给出,且函数在上具有一阶连续导数；函数在上连续；当参数由变至时,&依点至点的方向描出曲线。
在上取一系列的点
设它们对应于一列单调增加的参数&#20540;
这里的,并设点对应于参数&#20540;
由弧长计算公式与定积分中&#20540;定理有
由于函数在上连续,&在时,小区间的长度。
只相差一个的高阶无穷小,&因此,&我们可以把(2)式右端的换成,有
而右端和式的极限,就是函数在区间上的定积分。由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线积分亦存在,且有
&&&&&&&&&&&&(3)
强调指出,&(3)式中的定积分下限一定要小于上限,理由是
(2)式中的由表达式
给出,因小弧段的长度,&从而
利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式
1、曲线由方程
2、曲线由方程
3、空间曲线由参数方程
【例1】计算,其中为圆周
【解法一】可化为参数方程
【解法二】曲线关于轴对称,设是在轴上方的一支,则方程应为
而被积函数在上关于轴偶对称,故
【例2】计算半径为,中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度为)。
解:建立如图所示的坐标系
§10.2&&对坐标的曲线积分
一、概念的引入
设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点,在移动过程中,该质点受到变力
的作用,其中函数,在上连续,现计算变力所作的功。
在上任意地插入个点
将划分成个小弧段,且点的坐标为&。
由于光滑且很短,可用有向线段
来近&#20284;地代替它,其中,,分别是在坐标轴上的投影。
又因为函数&,&在上连续,可用上任意一点处的力
来近&#20284;地代替该小弧段上的变力。
质点沿有向小弧段移动时,变力所作功可近&#20284;地取为
为得到的精确&#20540;,只需令,(是这个小弧段长度的最大者),对上述和式取极限。
即&&&&&&&&&&&&&&&(1)
(1)式右端和式的极限是又一类新的和式极限,&为此,&我们引入对坐标的曲线积分概念。
【定义】设为面内从点到点的一条有向光滑曲线弧,&函数,在上有界,用上的个点
将分成个有向小弧段,设
是这个小弧段长度的最大者
如果极限&&存在,&则此极限&#20540;就叫做函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作&。
类&#20284;地,如果极限存在,则此极限&#20540;就叫做函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分,并记作。
其中:,叫做被积函数,叫做积分弧段。
1、对坐标的曲线积分中的是有向弧段在轴上的投影,&它的&#20540;可正也可负。这与对弧长的曲线积分中的恒为正&#20540;是有区别的。
2、应用中经常出现
这种形式,今后,可将之简记成
从而,变力沿有向曲线所作功可表成
3、上述定义可推广到积分曲线弧为空间有向曲线弧的情形
并且&&可简记成形式
4、对坐标的曲线积分存在定理
若,在有向光滑曲线弧上连续,则
这一定理可类&#20284;地推广到空间曲线的情形。
二、对坐标曲线积分的性质
1、若将分成与,&且,的方向由的方向所决定的,则
2、设是有向曲线弧,而是与方向相反的有向曲线弧,则
这一性质表明:对坐标的曲线积分应特别注意积分曲线弧的方向。
3、若,是常数,则
三、对坐标曲线积分计算法
设&&,&在有向曲线弧上；
曲线的参数方程为
当参数地由变到时,点从的沿运动到；
函数,在以,为端点的区间上具有,且
则曲线积分&存在,并且
&&&&&&&&&&(4)
证明:在上任意地插入一系列点(&依从至的方向&)
它们对应于参数&#20540;为
这一列参数&#20540;是单调变化的。
据对坐标的曲线积分定义有
若设点对应于参数&#20540;,那么应在与之间,且
这里&,&而在与之间。
因为函数在闭区间&(&或&)上连续,&那么可将上式中的换成,从而
而等价于,因此
上式右端的和式极限就是定积分&。
由于连续,这个定积分存在,因此上式左端的曲线积分&也就存在,且有
将两式相加便得到了(4)式。
几种特殊情形的对坐标曲线积分
1、如果由方程给出时,(4)式成为
这里:&下限对应于的起点,&上限对应于的终点。
2、如果由方程给出时,(4)式成为
这里:&下限对应于的起点,&上限对应于的终点。
3、公式(4)可方便地推广到空间曲线由参数方程
给出的情形
这里:下限对应于的起点,&上限对应于的终点。
【例1】计算,&其中为
(1)、半径为,&圆心在原点依逆时针绕行的上半圆周；
(2)、从点沿轴到点的直线段。
解1:的参数方程为&&
时,对应于的起点,
时,对应于的终点,
解2:的方程为,
时,对应于的起点；
时,对应于的终点,
此例表明:&两个对坐标的曲线积分尽管被积函数相同,&积分曲线的起点与终点也相同,而积分曲线不同时,其&#20540;并不相同。
【例2】计算,&其中为
(1)、抛物线上从到的一段弧；
(2)、抛物线上从到的一段弧；
(3)、有向折线,这里依次是,&&,&。
此例表明:&虽然沿不同的曲线弧,但第二类曲线积分的&#20540;可以是相同的。换句话说,计算曲线积分时,&积分&#20540;仅与起点,&终点的坐标有关,&而与连接这两点的曲线形式无关。
四、两类曲线积分的关系
设有向曲线弧的起点为,终点为,取弧长为曲线弧的参数,曲线的全长,这里。
设曲线弧由参数方程
给出,函数&,&在&&上具有一阶连续的导数,又函数,在上连续。
对坐标的曲线积分
由莱布&#23612;兹微分三角形可知:&与是有向曲线弧在点的切线向量的方向余弦,该切线向量的指向与曲线的方向一致。
另一方面,对弧长的曲线积分
由此可见,&平面曲线上的两类曲线积分之间有如下联系
这里:&为有向曲线弧上点处的切线向量的方向角。
§10.3&&&#26684;林公式及其应用
一、&#26684;林公式
一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布&#23612;兹公式
表明：函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的&#20540;来表示。
无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的&#26684;林公式。
1、单连通区域的概念
设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于,则称为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定
设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、&#26684;林公式
【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
其中是的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做&#26684;林(green)公式。
【证明】先证&
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可。
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类&#20284;的方法可证
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴(&轴或轴&)的任何直线的交点至多是两点时,我们有
同时成立。
将两式合并之后即得&#26684;林公式
若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明&#26684;林公式成立。
&#26684;林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛。
若取,,&,则&#26684;林公式为
故区域的面积为&&
【例1】求星形线&&&&所围成的图形面积。
解:当从变到时,点依逆时针方向描出了整个封闭曲线,故
【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线,证明
证明:这里&,
这里是由所围成的区域。
二、平面曲线积分与路径无关的条件
1、对坐标的曲线积分与路径无关的定义
【定义一】设是一个开区域,&函数、在内具有一阶连续偏导数,如果对于内、以及内从点到点的、,等式
恒成立,就称曲线积分在内与路径无关；否则,称与路径有关。
定义一还可换成下列等价的说法
若曲线积分与路径无关,&那么
即:&在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零。反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关。
【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有
2、曲线积分与路径无关的条件
【定理】设开区域是一个单连通域,&函数、在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式
在内恒成立。
证明:先证充分性
在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内。从而&&在上恒成立。
由&#26684;林公式,有
依定义二,在内曲线积分与路径无关。
再证必要性(采用反证法)
假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使
由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有
由&#26684;林公式及二重积分性质有
这里是的正向边界曲线,是的面积。
这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾。故在内等式
应恒成立。
定理所需要的两个条件
缺一不可。
【反例】讨论&,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的。
除去原点外,在所围成的区域内存在、连续,且&。
在内,作一半径充分小的圆周&&
在由与所围成的复连通域内使用&#26684;林公式有
三、二元函数的全微分求积
若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关。假设曲线的起点为,终点为,可用记号
来表示,而不需要明确地写出积分路径。
显然,这一积分形式与定积分非常相&#20284;,&事实上,我们有下列重要定理
【定理一】设是一个单连通的开区域,函数、在内具有一阶连续偏导数,且&&，则
是的单&#20540;函数,这里为内一固定点,且
【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分&&与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即,&确为点的单&#20540;函数。
由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有
类&#20284;地可证明&
【定理二】设是单连通的开区域,、在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是
在内恒成立。
【证明】显然,充分性就是定理一
下面证明必要性
若存在使得&,则
由于&、&在&&内连续,&则二阶混合偏导数适合等式
【定理三】设是一个单连通的开区域,&函数、在内具有一阶连续偏导数,&若存在二元函数使得
其中、是内的任意两点。
【证明】由定理1知,函数&
于是&&或&&
因此&&&&(是某一常数&)
这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故&
因此&&&&&&&&&□
【确定的全微分函数的方法】
因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域)。
【例3】验证:在整个面内,&是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。
且,&在整个面内恒成立。因此,在整个面上,&&是某个函数的全微分,&设此函数为,则
【例4】计算&。
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牛顿-莱布尼兹公式在与路径无关的曲线积分中的应用
在现有高等数学教材中,对于一元函数的定积分有牛顿-莱布尼兹公式,而对于与积分路径无关的曲线积分,没有给出对应的公式.根据与积分路径无关的曲线积分的充要条件(e)P/(e)y=(e)Q/(e)x,经过严谨的数学推导,得出与路径无关的曲线积分的牛顿-莱布尼兹公式:∫(x2,y2)(x1y1)Pdx+ Qdy=∫(x2,y2)(x1y1)du(x,y)=u(x2,y2)-u(x1,y1).最后,通过实例验证,无论是对与积分路径无关的曲线积分的计算题还是证明题,所给出的公式都是有效的、实用的.
JIANG Lu-yao
SUN Quan-de
LIU Xiao-lan
作者单位：
华南理工大学数学学院,广东广州,510640
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教育部人文社会科学规划基金项目，华南理工大学本科生中央高校基本科研基金，华南理工大学教研项目，华南理工大学百步梯项目
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