10个解方程，要有过程_百度知道
10个解方程，要有过程
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5x+3y=348,3x+2y=216解：方程组5x+3y=348①，3x+2y=216②①*3=15x+9y=1044,②*5=15x+10y=1080②-①=y=36将y=36带入①，得5x+108=348得5x=240∴x=48∴原方程的解为x=48,y=361、7（2x+1）=491、解:7（2x+1）=49
(等式两边同时除以7) 2x+1=72x=6x=32、（x+8）÷8=62、解：（x+8）÷8=6 (等式两边同时乘以8)x+8=48x=403、4（x+3）=32×33、解:4（x+3）=32×3x+3=32×3/4x+3=24x=214、3（x+5)-42=124、解:3（x+5)-42=123（x+5)=54x+5=18x=135、（10x-90+2x）÷2=755、解:（10x-90+2x）÷2=75
(等式两边同时乘以2)10x-90+2x=15012x=240x=206、（7x-3x+59）÷3=296、解:（7x-3x+59）÷3=29
(等式两边同时乘以3)7x-3x+59=874X+59=874X=146X=36.57、9x-8=x7、解:9x-8=x8x=8x=18、12x+12=16x8、解:12x+12=16x16x-12x=124x=12x=39、144÷x+6=129、解:144÷x+6=12144÷x=12-6144÷x=66x=144x=2410、125÷-5=510、解:125÷-5=5题上没未知数x我猜测的题目为125÷x-5=5125÷x=1010x=125x=12.5
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求解刚性常微分方程的并行
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关键词:刚性常微分方程;并行算..
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第二专业毕业设计（论文） 毕业设计（论文）题目 物流运输问题模型及 其求解方法研究与实践主办学院 第二专业 主修学院 主修专业 学 姓 号 名 计算机与电子信息学院 电子商务 林学院 林学
李秀连 杨林峰 2010 年 4 月 30 日指导教师摘要运输问题是运筹学的一个分支，是线性规划的特殊形式。它研究的是如 何在一个大宗物资调运中，制定出一个由若干个产地将物资根据已知的运输 交通网运到各个销售地的方案，使得总运费最小。物流是整个物流活动中核 心，运输管理是物流活动的统筹规划和管理的一重要部分，对运输环节进行 规划和优化，对提高物流活动的运行效率有重要意义。 本文通过对运输问题模型和求解方法的研究，在产销平衡的条件下，运 用不同的软件 Excel、Lingo、和 Matlab 等对运输问题进行求解，同时对内点 法求解运输问题进行了研究，最终在计算机上得以实现。通过研究得出结果 如下： （1）三个软件 Excel、Lingo 和 Matlab 在求解简单的运输问题，其结果 表上作业法求解的结果是一样的。 （2）在进行比较复杂的运输问题求解时，Excel 出现可变单元格过多而 无法进行继续求解，而 Lingo 和 Matlab 的求解结果相同，在时间耗费上差异 不大，在内存占用上 Matlab 比 Lingo 的大。 （3）根据内点法的原理和方法进行研究，编写出对运输问题进行求解的 代码，并实现求解。 关键词：运输问题 表上作业法 Excel Lingo Matlab 内点法IStudy on the Solution and Practice of the Model of Logistics TransportionAbstractTransportion problem is a branch of Operations Research， is a special form it of linear programming. It researchs how to build a program that in a bulk material dispatching to delivered all these materials based on the known traffic network to all sales from a number of producer, bringing the total freight minimum. Logistics is the core of the logistics activities, transportation management is an important part of overall planning and management in the logistics activities. Planning and management the transport link is very important for improving the efficiency of logistics activities. Based on the study of the transportion model and its solution, under the conditions of production and marketing balance, used different software such as Excel, Lingo, Matlab and so on to solve the transportion problem, and also studied the solving of the transportion problem by using the internal point method, and eventually can be achieved in the computer. Through the results of the study are as follows: (1)Threesoftware, Excel, Lingo, and Matlab in solving a simple transportation problems, the result and result of suing Tabular method were the same. (2) When solved the more complex transportation problem, Excel appears too much variable to solve, however the results of using Lingo and Matlab is the same, and little difference in time spenting and in the memory footprint Matlab is larger than the Lingo . (3) Based on the study of the principles and methods of interior point method, to write a program to solve the transportion problem. Keywords: The Transportation Problems MatlabIIProblemTabular MethodExcelLingoInterior Point Method目录第一章 绪 论 ........................................................................................................ 1 1.1 课题的来源 .................................................................................................. 1 1.2 本课题的实现目标 ...................................................................................... 1 1.3 运输问题的发展现状及研究意义 .............................................................. 2 1.4 本课题的主要工作 ...................................................................................... 3 第二章 线性规划与运输问题 .............................................................................. 4 2.1 线性规划 ...................................................................................................... 4 2.2 运输问题 ...................................................................................................... 5 第三章 运输问题求解实践 .................................................................................. 8 3.1 单纯形法 ...................................................................................................... 8 3.2 表上作业法 .................................................................................................. 8 3.3 工具求解实践 ............................................................................................ 14 3.4 小结 ............................................................................................................ 21 第四章 大型运输问题案例求解与运输问题的应用 ........................................ 22 4.1 大型运输问题实例 .................................................................................... 22 4.2 运输问题的应用 ........................................................................................ 27 第五章 内点法 .................................................................................................... 31 5.1 运输问题的内点算法 ................................................................................ 31 5.2 牛顿法 ........................................................................................................ 32 5.3 中心路径和终止条件 ................................................................................ 33 5.4 运输问题的内点算法实现 ........................................................................ 34 第六章 总 结 ...................................................................................................... 40 6.1 结论 ............................................................................................................ 40 6.2 展望 ............................................................................................................ 40 参考文献 .............................................................................................................. 42 附 表 .................................................................................................................... 43 致 谢 .................................................................................................................... 49第一章1.1 课题的来源绪论运输问题是线性规划的一种特殊形式，运输问题主要是解决这样的问 题：在大宗物资调运时，有若干个产地，根据已知的运输交通网，如何制定 一个运输方案，将这些物资运到各个销售地，使得总运费最小。物流管理的 本质要求就是求实效，即以最少的消耗，实现最优的服务，达到最佳的经济 效益。搞好物流管理，可以通过合理的运输方案，使中间装卸搬运、储存费 用降低、损失减少，在其他条件不变的情况下，降低物流成本就意味着扩大 了企业的利润空间，提高了利润水平，所以一个合理的运输方案有着重要的 意义。 运输问题模型提出后，人们对其求解的方法进行了大量的研究，并有了 重大成果，其中，Danzig 的表上作业法是最简单和最常用的，表上作业法本 质就是单纯形法，虽然表上作业法是最简单的，但是在求解的过程中还是会 耗费大量的时间，在讲究高速高效的现代生活中显然是要被淘汰的，随着计 算机技术的发展和普及，人们把运输问题的求解依赖于计算机求解，于是产 生了大量求解运输问题的软件和工具，如 Excel、Lingo、和 Matlab 等。在众 多的求解方法和求解工具中，总会有各自的优缺点，所以寻求一个好中更好 的求解工具，提高求解效率和可扩展性将会有很重要的意义。1.2 本课题的实现目标本课题通过研究运输问题在不同软件上的实现，首先进行小规模的运输 问题实践，对在不同的软件中求解的难易程度、耗时耗力，以及所求解的结 果的准确性进行比较分析，由于模型的规模较小，所以在求解过程中其效果 不是很明显，故为了提高说服力，对一个比较大型的运输问题进行求解，分 析其差异性，寻找出各个软件的优异性，为在实践中提供一个依据。最后把 运输问题运用内点法在计算机上进行求解，将其结果与单纯形法求解的效果 进行比较分析。11.3 运输问题的发展现状及研究意义运输问题是运筹学的一个分支，它研究的是如何在一个大宗物资调运 中，制定出一个由若干个产地，将这些物资根据已知的运输交通网运到各个 销售地的方案，使得总运费最小。运输问题是在 1941 年美国学者希奇柯克 （Hitchcock）在研究生产组织和铁路运输方面的线性规划问题时提出的[1]。 运输问题的提出，不仅可以求出物资的合理调运方案，其他类型的问题也都 可以经过变换后转为运输问题来进行求解。 运输问题自提出以来，人们对其解法进行了大量的研究： 从目标函数的角度，运输问题同时考虑运输总费用最小、运输过程中损 坏率最低和单位运价变化的调整等多个目标，所以有宋叶新、陈绵云和吴晓 平研究的具有模糊信息的目标运输问题求解[2]、李珍萍研究的最短时限运输 问题[3]、带瓶颈限制的运输问题、运用禁忌搜索算法解决带固定费用的运输问题、调整单位运价使得运输计划最优的运输问题的逆问题等等。 从算法角度来看，人们对运输问题提出了大量算法，如表上作业法、图 上求解法、遗传算法[4,5]、神经网络算法[6]、减运价算法、仿真优化法、内点 法等等。 从计算机求解角度来看，目前已经有很多对运用计算机求解运输问题的 研究，如运输问题的计算机求解[7，8]、Excel 求解运输问题[9] 、Lingo 求解运输问题[10] 、Matlab 求解[11]。此外，还有其他软件也可以求解运输问题， 比如运筹学 CAI 软件，不过功能比较少，Winqsb 等等，现实中运用比较广 泛的是 Lingo 和 Matlab。 运输问题是社会经济生活中经常出现的优化问题，我们经常碰到物资调 运如煤、粮食、钢材、木材等，这些都是大宗型的运输，在物流流通中通过 合理的运输方案，使中间装卸搬运、储存费用降低、损失减少，以最少的消 耗， 实现经济效益最大化， 所以一个合理的科学的运输方案有着重要的意义。 在众多的求解方法和求解工具中，总会有各自的优缺点，所以寻求一个好中 更好的求解工具，提高求解效率和可扩展性将会有很重要的意义。 同时，在现实生活中，许多问题都可以转化成运输问题数学模型进行求 解，所以研究运输问题也等于研究了很多相关的问题，其意义更明显。21.4 本课题的主要工作本课题通过对物流运输问题模型的分析，探讨其求解方法，并进行实际 操作，分析比较运输问题的手工求解和工具求解两类方法的具体求解过程中 的差异。并以广西某化肥厂的比较大型的物流运输问题作为对象，使用工具 对其进行求解，得出一个最佳方案。同时尝试采用内点法对运输问题进行求 解，同时总结了运输问题的应用方向。 论文的第二章主要是介绍了运输问题的一些基本情况，包括 LP 模型， 运输问题的模型。第三章中分别讲述了运输问题的手工求解和工具求解的方 法步骤，并将其结果进行分析比较。第四章介绍了不同工具求解的方法在比 较大型的运输问题——广西某化肥厂的运输问题案例的实现，对其结果进行 分析，并归纳总结了运输问题的应用方向。第五章介绍了内点法求解运输问 题的原理和算法，和对实例实现求解，最后对论文的工作进行了总结。3第二章2.1 线性规划线性规划与运输问题线性规划（LP）问题，就是求出在一个凸多面体上求出线性目标函数的 最小值。线性规划问题的标准形式为：max z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn ?a11 x1 + a12 x2 + L a1n xn = b1 ?a x + a x + L a x = b 22 2 2n n 2 ? 21 1 ? s.t.? L ?a x + a x + L a x = b m2 2 mn n m ? m1 1 ? x1 , x2 ,L xn ≥ 0 ?（2.1）最早提出线性规划想法的是法国数学家 J.-B.-J.傅里叶和 C.瓦莱-普森， 分别于 1832 年和 1911 年独立提出的，但是那时并未引起注意。直到 1939 年，前苏联数学家康托洛维奇(Ⅱ．B．KanTOpOBHH)在《生产组织与计划 中的数学方法》 一书中， 提出和研究了线性规划问题， 但也未引起重视。 1947 年，美国数学家丹泽格(G．B．Dantzig)提出了一般的线性规划数学模型和求 解线性规划问题的通用方法——单纯形法，为这门学科奠定了基础。单纯形 法的提出，推动了最优化理论的发展。 1979 年，前苏联数学家哈奇扬(JI．r．Khachiyan)提出了运用求解线性不 等式组解线性规划问题的椭球算法，并证明该算法是多项式时间算法。这 算法的提出具有重要的意义，但其实际计算收敛速度极慢，实用效果比单纯 形 法 差 。 1984 年 ， 在 美 国 贝 尔 电 话 实 验 室 工 作 的 印 度 数 学 家 卡 玛 卡 (N．Karmarkar)提出了求解线性规划问题的投影尺度法，用这种方法求解线 性规划问题在变量个数为 5000 时只要单纯形法所用时间的 1/50[12]。这个 多项式时间算法很有实用意义，这一算法的提出引起人们对内点算法的关 注，此后相继出现了多种更为简便实用的内点算法。求解线性规划是非常复 杂和耗时的一件事，为了省时省力又准确的得出结果，人们把目光转向了计 算机求解，1952 年，线性规划问题第一次在计算机上获得求解，这开始了人 们对计算机求解线性规划的探索，现在已经有很多软件可以进行线性规划求 解，如 Excel、Lindo、Lingo、SAS、Matlab 和 Winqsb 等，本文主要是运用 Excel、Lingo 和 Matlab 这三个软件分别进行演示。42.2 运输问题运输问题[13]发展于线性规划问题，自从 1939 年提出了类似线性规划的 模型后，人们发现许多问题都属于线性函数在约束条件下的最优化问题，在 1940 年 Hitchcock 提出运输问题。运输问题属于线性规划问题的特殊情况， 既有线性规划问题的共性，也有自身的特点和算法。运输问题提出后，1958 年 Konterovich 对运输问题做了早期的研究。 运输问题的数学模型如下： 已知某种物资有 m 个供应点（源点） Ai ， i =1，2，…， m 。供应量分 ， ， ， 2， 有 （终点） B j ， j =1， …， ， 2， 别为 ai（个单位） i =1， …，m ； n 个需求点n ，需求量分别为 b j ， j =1，2，…， n 。从 Ai 到 B j 运输单位物资的运价（单位）为 cij 。若用 xij 表示从 Ai 到 B j 的运量，那么在产销平衡，即 ∑ ai = ∑ b ji =1 j =1 m n的条件下，要求得总运费最小的调运方案，可求解的数学模型：min z =∑∑ci =1 j =1mnijx ij? m ? ∑ x ij = b j , j = 1, 2 , L , n ? i =1 ? n ? s .t . ? ∑ x ij = a i , i = 1, 2 , L , m ? j =1 ? ? ? x ij ≥ 0 ?由产销平衡条件 ∑ ai = ∑ b j ，所以是产销平衡的运输问题。i =1 j =1 m n(2.2)但在现实生活中往往产销是不平衡的，这就需要把产销不平衡问题转化 为产销平衡问题。5当产大于销 ∑ ai & ∑ b j 时，运输问题的数学模型变为i =1 j =1mnmin z = ∑∑ cij xiji =1 j =1mn?m ?∑ xij = b j , j = 1,2,L , n ? i =1 （2.3） ?n ? x ≤ a , i = 1,2,L , m s.t. ?∑ ij i ? j =1 ? ? ? xij ≥ 0 ? 由于产大于销，所以多余的产品就要考虑在产地就地储存的问题，设xi , n+1 是产地 Ai 的储存量，有∑ xij + xi,n+1 = ∑ xij = ai ,j =1 m j =1nn +1i = 1,2, L , m j = 1,2, L , n∑xi =1 m i =1ij= bj ,m n∑ xi ,n+1 = ∑ ai ? ∑ b j = bn+1i =1 j =1' 令 cij = cij ，当 i = 1,2, L , m ， j = 1,2, L , n 时， ' cij = 0 ，当 i = 1,2, L , m ， j = n + 1 时，将其代入(2.3)得：' ' min z ' = ∑∑ cij xij = ∑∑ cij xij + ∑ ci' , n +1 xij = ∑∑ cij xij i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 m n +1 m n m m n?m ?∑ xij = b j , j = 1,2,L, n ? i =1 ? n +1 ? s.t. ?∑ xij = ai , i = 1,2,L, m ? j =1 ? ? ? xij ≥ 0 ?6其中， ∑ ai = ∑ b j + bn +1 = ∑ b j ，这就转化成了一个平衡的运输问题。i =1 j =1 j =1mnn +1当销大于产时，也可以转化成为一个产销平衡问题，产大于销是假设多 曾一个销售点 j = n + 1 ，该销地的销量为 ∑ ai ? ∑ b j ，相应的运价变为i =1 j =1 m nci' ,n +1 = 0 。同样，当销大于产时也用同样的方法进行转换，这时假设增加一' 个产地，产量为 ∑ b j ? ∑ ai ，相应的运价为 cm+1, j = 0 ，也转化成了产销平衡 j =1 i =1 n m问题。 在本论文中为了方便计算，只考虑产销平衡的情况。7第三章3.1 单纯形法运输问题求解实践在运输问题的解法中最好最有效的方法是单纯形法，单纯形法求解线性 规划的思路：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解； 若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不 是，则再转换,按此重复进行。 单纯形法的计算步骤如下： 第一步：对线性规划数学模型进行标准化，构造一个初始基可行解； 第二步：判断当前基本可行解是否是最优解； 第三步： 若当前解不是最优解， 则进行基变换迭代到下一个基本可行 解。3.2 表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单 纯形法，只是具体计算和术语有所不同。 其一般思路是：初始方案的确定—最优解的检验—调运方案的调整。以 下以一个简单的例子进行介绍。 例：某公司经销甲产品。它下设三个加工厂，有四个销售点，各加工厂 每日的产量及各销售点每日销量、各加工厂到销售点的单位产品的运价如表 3-1 所示，问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需求量的前提下， 使得总运费最少。 表 3-1销 产 地 地已知信息表 B3 3 2 10 58B1 3 1 7 3B2 11 9 4 6B4 10 8 5 6产量（吨） 7 4 9A1 A2 A3 销量（吨）表 3-2销 产 地 地运输方案表 B3 B4 产量（吨） 7 4 9B1B2A1 A2 A3 销量（吨） 3 6 5 63.2.1 初始方案的确定初始方案的确定就是初始基可行解的确定。产销平衡的运输问题总是存 在可行解。因有∑ ai = ∑ b j = di =1 j =1mn必存在可行解：xij ≥0i =1，2，…， m ， j =1，2，…， n又因0≤ xij ≤min（ a j ， b j ）故运输问题必存在最优解。 确定初始其可行解的方法很多，简单又尽可能接近最优解的方法一般 有：最小元素法、伏格尔法和西北角法，本文主要介绍最小元素法的求解步 骤，同时也采用其他两种方法进行求解得出结果。 最小元素法的基本方法就是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开 始确定供销关系，然后次小。直到得出初始其可行解为止。其步骤如下： 第一步：在表 3-1 找出最小运价为 1，先将 A2 的产品供应给 B1。因 a2 &b1 ，即 A2 除满足 B1 的全部需要外，还多出 1 吨产品。在表 3-2 的（A2，B1）的交叉格处填上 3，同时把表 3-1 中的 B1 列划掉； 第二步：在表 3-1 的找出没有划掉的最小的运价 2，把 A2 多余的 1 吨供9应给 B3，并在表 3-2（A2，B3）交叉格出填上 1，同时把表 3-1 的 A2 行划掉； 第三步：同样在表 3-1 的找出没有划掉的最小的运价 3，因为 A2 已经供 应 1 吨给 B3，所以 A1 供应 4 吨给 B3，并在表 3-2（A1，B3）交叉格出填上 4，同时把表 3-1 的 B3 列划掉； 第四步： 在表 3-1 中的找出没有划掉的最小的运价 4， A3 的 6 吨供应 把 给 B2，并在表 3-2（A3，B2）交叉格出填上 6，同时把表 3-1 的 B2 列划掉； 第五步：在表 3-1 中的找出没有划掉的最小的运价 5，由于 A3 一共生产 9 吨，把 6 吨供应给了 B2，剩下的 3 吨全部供应给 B4，并在表 3-2（A3，B4） 交叉格出填上 3，同时把表 3-1 的 A3 行划掉； 第六步：在表 3-1 中的找出没有划掉的最小的运价 10，由于 A1 一共生 产 7 吨，把 4 吨供应给了 B3，剩下的 3 吨全部供应给 B4，并在表 3-2（A1， B4）交叉格出填上 3，同时把表 3-1 的 B4 列划掉。到此已经把产地的产品全 部分配到各销地，并得出运输方案表，见表 3-3，同时得出总运费为 86 元。 表 3-3销 产 地 地最小元素法——运输方案表 B2 B3 4 B4 3 3 5 6 产量（吨） 7 4 9B1A1 A2 A3 销量（吨） 3 3 6 61注：总运费=3×1+1×2+4×3+6×4+3×5+3×10=86 元另外另种方法的思路及求解结果如下： 伏格尔法的基本思路是一产品的产品如果不能按最小运费就近供应，就 考虑次小运费，会产生一个差额，差额越大，说明不能按最小运费调运时， 运费增加就越多，因而对差额最大处采用最小运费调运。求得结果见表表 3-4。10表 3-4 伏格尔法——运输方案表销 产 地 地B1B2B3 5B4 2 1 3产量（吨） 7 4 9A1 A2 A3 销量（吨） 3 3 6 656注：总运价=3×1+6×4+5×3+2×10+1×8+3×5=85 元西北角法，又称左上角法，或阶梯法，其基本思想为先从表的左上角即 （A1 ，B1） ，在产销约束条件允许的范围内，极可能大的产量满足销量，从 而确定该交叉格的产量，依此类推，在剩余格中从左上角开始进行同样的处 理。求解结果见表 3-5。 表 3-5 西北角法——运输方案表销 产 地 地B1 3B2 4 2B3B4产量（吨） 7A1 A2 A3 销量（吨）2 3 6 6 54 936注：总运费=3×3+4×11+2×9+2×2+3×10+6×5=135（元）在表上作业法求初始解的三个方法中，左上角法最简单，最小元素法次 之，伏格尔法相对最复杂，但所求结果伏格尔法最好，最接近最优解，其次 是最小元素法，左上角法则相当较差[14]。3.2.2 最优解的检验最优解的判别方法是计算空格的检验数 cij ? CB B ?1Pij (i, j ∈ N ) 。运输问题 的目标函数是要求实现最小化，所以当 cij ? CB B ?1 Pij ≥ 0 时，为最优解。求空 格检验的方法有两种：闭回路法和位势法，本文采用的是闭回路法。11闭回路法的步骤是在初始解方案的计算表上，从每一空格出发找一条闭 回路，即以某一个空格为起点，水平或垂直向前划，当碰到一个数字格时可 以转 90°后，继续前进，直到回到原点为止。 在例题中用最小元素法求出的初始解表 3-3 中，从任意一个空格出发， 如（A1,B1） ，若让 A1 调运 1 吨产品给 B1，为了保持产销平衡，则在（A1,B3） 处减少 1 吨， 2,B3）处增加 1 吨， 2,B1）处减少 1 吨，构成了一个闭回 （A （A 路。这一闭回路增加的运费为： （+1）×3+（-1）×3+（+1）×2+（-1）× 1=1（元）。这 1 就是空格（A1,B1）的检验数，同理可以找出所有空格的检 ， 验数，结果如下表 3-6 表 3-6 空格检验数表空格 （A1,B1） （A1,B2） （A2,B2） （A2,B4） （A3,B1） （A3,B3） 闭回路（A1,B1）—（A1,B3）—（A2,B3）—（A2,B1）—（A1,B1） （A1,B2）—（A1,B4）—（A3,B4）—（A3,B2）—（A1,B2） （A2,B2） （A2,B3） （A1,B3） （A1,B4） （A3,B4） （A3,B2） （A2,B2） — — — — — — （A2,B4）—（A2,B3）—（A1,B3）—（A1,B4）—（A2,B4） （A3,B1） （A3,B4） （A1,B4） （A1,B3） （A2,B3） （A2,B1） （A3,B1） — — — — — — （A3,B3）—（A3,B4）—（A1,B4）—（A1,B3）—（A3,B3）检验 数1 2 1 -1 10 12当检验数存在负数时，说明原方案不是最优解，需要改进。3.2.3 调运方案的改进在进行最优解检验时，出现负检验数，表明没有得出最优解，方案需要 进行改进，本文采用改进的方法是闭回路调整法。闭回路调整法的思路是： 以负检验数的空格为调入格，当负检验数为两个或两个以上时，一般选最小 的负检验数，以它相对应的非基变量为换入变量。 由表 3-6 可知，空格（A2,B4）的检验数为负，所以以该空格为调入格见 表 3-7，在该空格中调入量是以闭回路上具有（-1）的数字格中的最小者， 即 min=（1，3）=1，然后按闭回路上的正、负号，进行加减得到调整方案， 见表 3-8，此时的总运费为 85 元。12表 3-7 方案调整销 产 地 地B1B2B3 4（+1）B4 3（-1） （+1） 3产量（吨） 7 4 9A1 A2 A3 销量（吨） 3 3 6 6 表 3-8销 产 地 地1（-1） 5 改进后的方案表 B3 56B1B2B4 2 1 3产量（吨） 7 4 9A1 A2 A3 销量（吨） 3 3 6 656注：总运费=3×1+6×4+5×3+2×10+1×8+3×5=85（元）对此调整后的方案再次用闭回路法进行检验，得出的检验数如下： 表 3-9 改进后空格检验数表空格 （A1,B1） （A1,B2） （A2,B2） （A2,B4） （A3,B1） （A3,B3） 闭回路（A1,B1）—（A1,B3）—（A2,B3）—（A2,B1）—（A1,B1） （A1,B2）—（A1,B4）—（A3,B4）—（A3,B2）—（A1,B2） （A2,B2） （A2,B3） （A1,B3） （A1,B4） （A3,B4） （A3,B2） （A2,B2） — — — — — — （A2,B4）—（A2,B3）—（A1,B3）—（A1,B4）—（A2,B4） （A3,B1） （A3,B4） （A1,B4） （A1,B3） （A2,B3） （A2,B1） （A3,B1） — — — — — — （A3,B3）—（A3,B4）—（A1,B4）—（A1,B3）—（A3,B3）检验 数0 2 2 1 9 12表中的所有检验数都是非负数，说明表 3-8 的结果是最优解。同时也说 明伏格尔法给出的初始解比最小元素法给出的初始解更接近最优解133.3 工具求解实践在进行运输问题求解时，传统的解法是表上作业法，虽然表上作业法 已经是最简单的，但是在求解过程中还是会消耗大量的时间，特别是大规模 的运输问题，表上作业法就显得很复杂。随着计算机的出现，人们开始尝试 用计算机对运输问题进行求解，至今已经有很多软件是针对线性规划而设 计的，如 Excel 的规划求解，以及专业的求解工具 Lingo 和 Matlab 等。3.3.1 Excel 规划求解Microsoft excel 的 “规划求解” 工具取自得克萨斯大学奥斯汀分学的 Leon Lasdon 和克里夫兰州大学的 Allan Waren 共同开发的 GRG2（Generalized Reduced Gradient）非线性最优化代码.[15] Excel 的“规划求解”功能强大，它可以实现对有多个决策变量的线性 规划问题的求解，回避了用线性规划专业软件求解时对操作者的专业要求， 同时也克服了笔算的缺点，其操作方法简单、方便、快捷，大大提高了计算 的效率与准确性。 Excel 与专业软件相比，有以下特点： 1、Excel 软件方便易学，大部分人都比较熟悉，容易掌握； 2、能用表格简单直观地体现数学模型； 3、Excel 具有大量的内建函数，通过设置参数，就能进行复杂的计算， 建模过程简单； 4、Excel 软件具有强大的数据分析功能。14Excel 求解的步骤如下： 1、 创建表格图 3-1 创建表格 2、设置约束条件和目标函数 F7=SUM（B7:E7） F8=SUM（B8:E8） F7=SUM（B9:E9） B2=SUM（B7:B9） C2=SUM（C7:C9） D2=SUM（D7:D9） E2=SUM（E7:E9） H12=SUMPRODUCT(B2:E4,B7:E9)图 3-2 约束条件和目标函数153、设置规划求解参数见图 3-3图 3-3 规划求解参数 4、规划求解选项设置图 3-4 规划求解选项图165、求解图 3-5 规划求解 6、 结果图 3-6 Excel 求解的结果 由图 3-6 计算结果可以知道，运用 Excel 求解的结果和用表上作业法的 结果是一样的。3.3.2 Lingo 求解Lingo 软件是美国 Lindo 系统公司开发的一套用于求解最优化问题的软 件包，Lingo 除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规 划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解等。Lingo 软件的最大特色 在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快。Lingo 内置了 一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用 Lingo 高效 的求解器可快速求解并分析结果。 Lingo 软件，线性优化求解程序通常使用单纯形法，单纯形法虽然在实 际应用中是最好最有效的方法，但对某些问题具有指数阶的复杂性，所以为17了能解大规模问题， Lingo 也提供了内点算法备选。 Lingo 软件有快速建构模 型、轻松编辑数据、强大求解工具、交互式模型和建立完成应用、丰富的文 、 、 、 件支持等优点。 Lingo 代码编写如下： sets: wh/w1 w2 w3/: vd/v1 v2 v3 v4/: links(wh,vd):c,x; endsets data: ai=7,4,9; dj=3,6,5,6; c=3,11,3,10 1,9,2,8 7,4,10,5; enddata min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))=ai(i)); @for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j)); end 运行的结果如下：图 3-7 总运费18图 3-8 运输方案图 3-9 内存和时间耗费 由图 3-7 至图 3-9 可知，运用 Lingo 求解的结果和用表上作业法的结果 是一样的，该模型的运行过程不用 1 秒，内存 20K。3.3.3 Matlab 求解Matlab 是 20 世纪 70 年代， 美国新墨西哥大学计算机科学系主任 Cleve Moler 为了减轻学生编程的负担，用 FORTRAN 编写而成的的。到 20 世 纪 90 年代，Matlab 已成为国际控制界的标准计算软件。 Matlab 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用 的形式十分相似，故用 Matlab 来解算问题要比用 C，FORTRAN 等语言完 成相同的事情简捷得多， 并且 mathwork 也吸收了像 Maple 等软件的优点, 使 Matlab 成为一个强大的数学软件。 Matlab 代码编写如下： f=[3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5]; t=f’; ff=reshape(t,3*4,1);19a=zeros(3,12); for j=0:2 a(j+1,4*j+1:4*(j+1))=1; end b=zeros(4,12); for t=1:4 for p=0:2 b(t,4*p+t)=1; end end Aeq=[a;b]; Beq=[7 4 9 3 6 5 6]; lb=zeros(12,1); [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(ff,[],[],Aeq,Beq,lb) x=round(x); B’ 运行结果： % 对 x 取整. % 把 b 调为矩阵. B=reshape(x,4,3);图 3-10 调运方案图 3-11 总运费 Elapsed time is 0.033213 seconds.时间消耗 0.033213 秒 结果跟预想的一样总运费 85 元，调运方案也是一样的。203.4 小结由上述对运输问题的求解过程和结果，可以得出以下结论： 1、不论是用表上作业法求解，还是工具求解，其求解的结果是一样的， 总运费都是 85 元，调运方案也是一样。 2、在整个求解过程中，虽然表上作业法很简单，无需懂得电脑操作， 不过在求解时从初始方案的确定到最优解的检验，最后进行调运方案的调 整，这一过程消费大量时间，不像运用工具求解那样快捷。 3、三个不同软件进行求解时，Excel 求解是不用进行代码编写的，无需 考虑算法和函数，只需进行表格创建和参数设置，简单方便，直观易用。而 Lingo 和 Matlab 是要进行代码编写的，而且运用的代码算法和函数不一样， 相对于 Matlab，Lingo 的代码比较简单，运用到的函数就三个，不像 Matlab， 要考虑循环迭代问题。 4、Excel、Lingo 和 Matlab 在求解过程中，Excel 不能进行运行时间的耗 费和内存占用的测算，Lingo 在运行结果中直接的出，直观方便。而 Matlab 则要用命令进行，而且通过命令 tic 和 toc 只能得出时间耗费，内存的占用要 通过任务管理器才能测算出来，不过在进行上述案例求解时都是十分迅速 的，总计都不到 1 秒，当然在这样一个简单的模型中其结果和速度是很难找 出差别的，所以要采用一个更大规模，更复杂的模型再一一进行求解，找出 差别。21第四章 大型运输问题案例求解与运输问题的应用4.1 大型运输问题实例由于在上一章的例子中，数学模型较小，在用计算机求解时的结果没有 可比性，所以根据需要，本文中自拟了一个广西某化肥厂产销案例，案例中 设计了 14 个产地和 91 个销地，运价 c 主要依据两点之间的距离来确定，得 出了运输模型见附表 1： 对广西某化肥厂产销案例分别用三个软件采用上述方法进行求解，得出 结果进行分析比较。 运行的环境： 系统：Microsoft Windows XP Professional 内存：1Gb 硬件内存:160G 虚拟光驱：DAEMON Tools V3.474.1.1 大型运输问题的 Excel 求解方法步骤同第三章的一样，运行结果如下：图 4-1 参数设计22图 4-2运行结果运用同样的方法对案例进行求解，得出的结果是“可变单元格过多” ， 如上图所示，说明该模型的规模对于 Excel 来说是过大的，处理不了。4.1.2 大型运输问题的 Lingo 求解根据数模编写代码： sets: wh/wh1..wh91/: vd/vd1..vd14/: links(wh,vd):c,x; endsets data: ai=… ！销量 dj=…！产量 c=…！运价 ！！ enddata min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(wh(i): @sum(vd(j):x(i,j))=ai(i)); @for(vd(j): @sum(wh(i):x(i,j))=dj(j)); end 运行结果： 由于数据较大，故省略.图4-3总运费23图 4-4 调运方案24图 4-5 性能显示 Lingo 在进行求解时是非常迅速的，整个过程运行的计算时间花费不到 1 秒，计算机内存使用量是 282K,总迭代求解 395 次。模型运行结果得总运 费：44764.40。4.1.3 大型运输问题的 Matlab 求解代码编写 f=[…]; t=f'; ff=reshape(t,91*14,1); a=zeros(91,1274); for j=0:90 a(j+1,14*j+1:14*(j+1))=1; end b=zeros(14,1274); for t=1:14 for p=0:90 b(t,14*p+t)=1; end end Aeq=[a;b]; Beq=[…]; lb=zeros(1274,1); [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(ff,[],[],Aeq,Beq,lb) b=reshape(x,14,91); b'25% 由于数据较大，故不显示.% 由于数据较大，故不显示.运行结果：图 4-6 总运费图 4-7 调运方案 Elapsed time is 0.157713 seconds.26CPU 使用占 12%，PF 使用率为 479MB，见图 4-8图 4-8 内存占用图 从用 Matlab 求解的结果可以看出，该模型的总运费是 44764，4.1.4 结果分析有三个软件进行求解的过程和结果可以明显的比较出他们之间的差别： 在用 Excel 求解中出现了“可变单元格过多”的提示，而运行终止，说 明该模型的规模对于 Excel 来说是过大的，这就体现了专业软件和非专业软 件的差别，在求解小型的数学模型时，在结果和运算耗费上是几乎没有差别 的，但在求解较大型的数学模型时，其差别就十分明显。 而在运用 Lingo 和 Matlab 求解较大型的模型时的结果和耗时是几乎没有 差别的， 由运行结果可以知道， 他们求出方案的总运费都是一样， 都是 44764， 而且运输方案也是一样。在执行命令时所花费的时间都不到 1 秒，速度非常 快，不同的是其所占用的内存，Lingo 是 282K，而 Matlab 所占用的是内存 的 12%，即 1GB×12%=122.88MB，这比 Lingo 大得多。说明对于那种专门 求解数学规划问题的软件来说，在求解的功能和机能是差不多的。4.2 运输问题的应用从上一节中可以知道使用工具对比较大型的运输问题进行求解是非常 快的，而且求解简单。在现实生活中完全符合产销平衡的运输问题的所有条 件的情况是很少的，而是经常出现一些特征类似但有一个或几个特征却不符27合的问题，常见的情况有：产销不平衡、最大化目标、路线容量或路线最小 量、不可接受的路线。因为运输问题都会有最优解，所以把这些问题转化成 运输问题的数学模型，再进行求解，就可以把问题解决，现在介绍几种比较 常见的问题。 1、生产和储存问题 已知该厂各季的生产 某工厂按合同规定当年每季度分别提供 b j 某产品， 力为 a i 及生产的单位成本 cij 。又如果生产出来的产品当季不交货，单位产品 每积压一季度的储存和维护费等费用为 d，要在完成合同的情况下，作出使 该厂全年生产费用最小的决策。 若设 xij 为第 i 季度生产的用于第 j 季度交货的数量，又第 i 季度生产的' 用于第 j 季度交货的单位实际成本为 cij 应该是该季度单位成本 cij 加上储存和维护费等费用为 d，所以得出数学模型：min4z =∑∑i =144j =1' c ij x ij? ? ∑ x ij ≤ a i ? j =1 ? 4 ? ? ∑ x ij = b j ? i =1 ? ? ? x ij ≥ 0 ?显然这是一个产大于销的运输问题模型。 2、航运调度问题（4.1）已知某航运公司的航班情况见表 4-1， 又知道每条船每次装卸时间各需 1 天，则该公司应怎样在满足所有航线的运货要求分配船只使得用船只最少。 表 4-1 某航运公司的航班情况 航线 1 2 3 4 起点 E B A D28终点 D C F B每天航班数 3 2 1 1A A B C D E F 1 2 14 7 7表 4-2 两港口之间的航行天数 B C D 1 2 14 0 3 13 3 0 15 15 13 0 8 5 17 8 5 20E 7 8 5 17 0 3F 7 8 5 20 3 0在求解中该公司所需要配备的船只分为两种： 第一种：载货航程需要的周转船只数 航线 1 从 E 到 D，航行过程中需要的船只数为（17+2）×3=57，同理， 其他 3 天航行所需的船只分别为：B 到 C， （3+2）×2=10；A 到 F， （7+2） ×1=9；D 到 B， （13+2）×1=15，则共需 57+10+9+15=91 条。 第二种：空船调运需要的周转船只数 这时就体现到运输问题的作用了，问题变为从 C，D，F 三个港口运输 空船到 A，B，E 三个港口，要求其效率最高，则建立模型如表 4-3，这就是 一个运输问题中的产销平衡和运价表。求解建模得出的最少周转船只数加上 第一种的船只需要数就是总共需要的最少船只数。 A 2 14 7 1 表 4-3 产销平衡表 B 3 13 8 1 E 5 17 3 3 ai 2 2 1C D F bj3、总利润最大问题 若某百货公司要去外地采购 n 种规格的货物，数量为 b j ，有 m 个城市 可以供应上述货物，各市的供应量为 ai ，各市的质量好、运价和销售情况不 同，预计售后的利润为 cij ，要给该公司制定一个预期盈利最大的采购方案。29可以建模：max z = ∑∑ cij xiji =1 j =1mn? ?∑ xij = ai ? j =1 ?4 ? ?∑ xij = b j ? i =1 ? ? ? xij ≥ 0 ?4（4.2）4、转运问题 就是在原运输问题上增加若干转运站。运输方式变为：运输方式有：产 地 → 转运站、 转运站 → 销地、 产地 → 产地、 产地 → 销地、 销地 → 转 运站、销地 → 产地等。 设 xij 为从 i 到 j 的运输量， cij 是从 i 到 j 的运输量的运输单价，可得 到线性规划模型： 目标函数： min z = cij xij （运输单价与运输量乘积之和） 约束条件： 对产地（发点） i ：输出量 - 输入量 = 产量 对转运站（中转点） ：输入量 - 输出量 = 0 对销地（收点）5、障碍运输问题j：输入量 - 输出量 = 销量障碍运输问题就是由于某种原因，某产地不能把货物运到销地的现象。 如果从 Ai 到 Bj 的线路不通， 则令从 Ai 到 Bj 的运价 cij 为任意一个足够大的正 数 M，这样就转换成了一个标准的运输问题了。 运输问题还可以应用在农业上的耕种作物分配、军事上的作战军火分配 等等。30第五章 内点法自从 1984 年， Karmarkar 提出了投影尺度法， 引起人们对内点法的关注， 推动了内点法的发展， 至今出现了许多新的方法和成果， 如仿射均衡程度法、 路径跟踪法、势降低法、不可行内点法和原始-对偶法，这些方法都要应用一 些非线性的方法和技巧。对大型线性规划问题的解法研究证实，内点法的速 度比单纯形法的快[16]。 内点法的基本思想[17]是从内点（x0）出发，沿可行方向求出使目标函数 值上升的后继点，再从得到的内点出发，沿着另一个可行方向求使目标函数 值上升的内点。重复以上步骤，产生一个由内点组成的序列{xk}，使得c T x k +1 & c T x k ，当满足终止准则时，停止迭代。内点法是一个迭代算法，并且每次迭代都要满足严格的不等式条件。5.1 运输问题的内点算法[18]运输问题的一般模型：min cx s.t. Ax = b x≥0（5.1）其对偶问题为：max bT y s.t. AT y ≤ c（5.2）对偶问题（5.2）加一个松弛变量 s 后变为max bT ys.t. AT y + s = c s≥0 AT y + s = c Ax = b xi si = 0 i = 1,2, L n（5.3）由（5.1）和（5.3）求出满足 Karush-Kuhn-Tucker 最优性条件为：（5.4）x ≥ 0, s ≥ 031y 和 s 分别是拉格朗 日乘数为的是约束 条 件 Ax = b 和 x ≥ 0 ，条件 xi si = 0 i = 1,2, L n ，其每一项， xi 或 si 必须为零，这就是互补条件。当向量x ' 满足原问题（5.1） x ' ∈ R n ， y, ' s ' 满足对偶问题（5.2） y ' ∈ R m , s ' ∈ R n ， ， ，则向量（ x ' , y ' , s ' ）称为原始对偶的解决方案。5.2 牛顿法用牛顿法求解最优解， 为了便于计算， 把公式 5.4） （ 转换成以下是形式：? AT y + s ? c ? ? ? F ( x, y, s ) = ? Ax ? b ?=0 ? XSe ? ? ? ( x, s ) ≥ 0（5.5）其中X = diag ( x1 , x2 , L xn ) S = diag (s1 , s2 , L sn ) e = (1,1, L1)T对于条件 x ≥ 0, s ≥ 0 ，为简化计算可以减掉大量无关的变量，简化为x & 0, s & 0 ，故最优条件变形为：可行集 ? = ( x, y, s ) Ax = b AT y + s = c (x, s ) ≥ 0{} }（5.6） （5.7）严格可行集 ? 0 = ( x, y, s ) Ax = b AT y + s = c ( x, s ) & 0 则严格可行条件可以变为 x k , y k , s k ∈ ? 0{()原始对偶内点法的两个基本要素是：一个确定步骤的程序和一个在搜索 空间可行点的测量，如前所述，对方程组（5.5）可以在牛顿方法找迭代方向 的初始点。牛顿法形成了一个线性模型 F 围绕当前点并获得迭代方向 （ ?x, ?y, ?s ）通过求解下面线性方程组：??x ? J ( x, y, s ) ??y ? = ? F ( x, y, s ) ? ? ??s ? ? ?32（5.8）其中 J 是 F 的函数行列式， 如果当前点是严格可行解 （就是 ( x, y, s ) ∈ ? 0 ） 牛顿步骤方程组变为：?0 AT Ｉ ? ??x ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ?Ａ ０ ０ ? ??y ? = ? 0 ? ? ０ Ｘ ? ??s ? ?? XSe? Ｓ ? ? ?? ? ?（5.9）通常沿着牛顿方向（ 5.9 ）得到的步长很大，可能不能满足非负条件x ≥ 0, s ≥ 0 ，为了避免这种发生情况，可以沿着一个线性且很小的步长进行迭代，那就是 ( x, y, s ) + a(?x, ?y, ?s ) ，这里 a ∈ (0,1] ，可是这个方法可能会导 致迭代速度很慢。对于这种情况，需要重新考虑迭代方向和步长的选择，就 是中心路径和终止条件。5.3 中心路径和终止条件中心路径是由严格可行点构成的一条弧线，沿着中心路径并收敛于最优 解的解析中心。给定参数 T & 0 ，求解下列方程组得到 ( xT , yT , sT ) ∈ C ：AT y + s = c Ax = b xi si = T( x, s ) & 0i = 1,2, L , n（5.10）这个条件与 KKT 条件不同的只是多加了一个参数 T ，取代了互补条件xi si = 0 i = 1,2, L , n ，要求对所有 i 都满足的互补条件 xi si 的结果是一样的，可以定义中心路径为：C = {( xT , yT , sT )T & 0}对于参数 T & 0 ，中心路径 C 的定义是唯一的当且仅当 ? 0 是非空的，可以作 为算法的终止条件。 设 T = σ? ， σ ∈ [0,1] ， ? =1 n xT s ∑ xi si = n 。方程的步骤如下： n i =133?0 AT Ｉ ? ??x ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ?Ａ ０ ０ ? ??y ? = ? 0 ? ? ０ Ｘ ? ??s ? ?? XSe + σ?e? Ｓ ? ? ? ? ? ?（5.11）随着迭代的更深进行， ? 的值就越趋于 0，当满足终止条件时，计算结 束，求出最优解。 可以总结内点法的步骤： 1、 给定初始点 x0，参数 γ ∈ (0,1) ，容许限 ε & 0 ，置 k = 02、 计算 s (k ) = b ? Ax (k ) 3、 置对角矩阵? 1 1 ? Dk = diag ? (k ) ,L, (k ) ? sm ? ? s14、 计算 d x = AT Dk2 A c 5、 对 d v 作逆仿射， d v = ? Ad x()?1? vk ? 6、 令 λ = γ . min ? i (d v )i & 0, i ∈ { , L , m}? 1 ? ? (d v )i ? 7、 置后继点 x (k +1) = x (k ) + λd x 8、 若 cT x (k +1) ? c T x (k ) / cT x (k ) & ε ，则停止计算， x (k +1) 为近似解。9、 置 k = k + 1 ，返回步骤 25.4 运输问题的内点算法实现根据上述内点法的原理和求解步骤可以设计出运输问题由 Matlab 运行 的求解代码：function IPM4LP_main() % % % load a.mat A; load c. load b. %加载系数矩阵 A34load A.load b. load c.%加载资源向量 b %加载价值向量 clength_x = length(c); [m,n] = size(A); sigema = 0.1; epsilion = 1e-20; k = 0; x = ones(length_x,1); s = r = zeros(m,1); disp('k tic Gap=full(s'*x); muBa=sigema*Gap/(length_x); while k&30 Gap=full(s'*x); optimalF=sum(c'*x); % mu=sigema*Gap/(n); fprintf('%d %8.5d %8.5d %8.5d\n',k,optimalF,Gap,muBa); if Gap&epsilion coeMatr = [zeros(n,n),A',diag(ones(n,1));... A,zeros(m,m),zeros(m,n);... diag(s),zeros(n,m),diag(x)]; % % FFF = linfactor (coeMatr); mu0 = 0; Kaf = -[A'*r+s-c;... A*x-b;... x.*s]; deltaXAff = coeMatr\K % deltaXAff = linfactor (FFF,Kaf); delta_x_af = deltaXAff(1:n);35optimalFGapmu');delta_r_af = deltaXAff(n+1:n+m); delta_s_af = deltaXAff(n+m+1:end); % 计算仿射步长 Xf=find(delta_x_af&0); Sf=find(delta_s_af&0); step1=-x(Xf)./delta_x_af(Xf); stepPAff=0.9995*min(min(step1),1); step2=-s(Sf)./delta_s_af(Sf); stepDAff=0.9995*min(min(step2),1); % % % % % % % % 计算预测互补间隙 GapAff = (x+stepPAff*delta_x_af)'*(s+stepDAff*delta_s_af); G sigema = full((GapAff/Gap)^3); sigema = 1-(stepPAff+stepDAff)/2; muBa = min(sigema,0.3)*(Gap/(2*lengthGx)); muBa = sigema * (Gap/n); mu = muBa; muBa = 引入高阶补偿 得到校正方向 deltaXco 修正方程右端项余量，求 Rdeltaco，用来求校正方向。 Kco =[zeros(n,1);... zeros(m,1);... % muBa*ones(n,1)-1*stepPAff*stepDAff*delta_x_af .* delta_s_af]; muBa*ones(n,1)-delta_x_af .* delta_s_af]; deltaXco = coeMatr\K % % % % % deltaXco = linfactor (FFF,Kco); 得到总方向 deltaX deltaX = deltaXAff + deltaX norm(deltaXAff) norm(deltaXco) 计算总步长 delta_x = deltaX(1:n);36%求步长delta_r = deltaX(n+1:n+m); delta_s = deltaX(n+m+1:end); Xf=find(delta_x&0); Sf=find(delta_s&0); step1=-x(Xf)./delta_x(Xf); step2=-s(Sf)./delta_s(Sf); stepP=0.9995*min(min(step1),1); % 求步长 stepD=0.9995*min(min(step2),1);if (sum(stepP) == 0 ) stepP = 0.9995; end if (sum(stepD) == 0 ) stepD = 0.9995; end % 沿着总方向，按照总步长 修正各变量 x= x + stepP*delta_x; r= r + stepD*delta_r; s= s + stepD*delta_s; k=k+1; else break end end % toc x' % End 其中，程序中数据 A、b、c 分别是 txt 文档，见图 5-1 至图 5-3 s' norm(Kaf) fprintf('迭代完毕！\n');图 5-1 系数矩阵 A37图 5-2 资源向量 b图 5-3 价值向量 c 由于存在行满秩的问题，而根据运输问题的特点，运输模型最多只有 m+n-1 个独立约束方程，即系数矩阵的秩最多为 m+n-1。所以在运输问题模 型的 A 矩阵中出现了方程冗余，要去掉一个方程，故在矩阵 A 和 b 中随便 去掉一行。 运输问题运行结果： k 0 1 2 3 optimalF 09e+001 6.2.1 Gap 79e+001 3.4.638mu 1.0.9.3.14 5 6 7 8 9 10 118.4.5.5.5.5085 7.7.8.9.6.9.9.0.51.1.2.0.0.1.5.7.0迭代完毕！ Elapsed time is 0.021222 seconds. ans = Columns 1 through 6 2.0 && 由其上述结果可以看出，其求解的方案和第三章所介绍方法求解的一样。 该程序有一个优点就是在进行不同问题的求解时，只要把问题转化成运输问 题的标准模式，找出系数矩阵 A、资源向量 b 和价值向量 c，通过直接在 txt 文档修改代入， 无需再做任何的参数函数修改即可运行求解， 所以十分方便。 0.0 5.0 0.0 1.0 0.0 Columns 7 through 1239第六章 总结6.1 结论本文通过对运输问题的模型和解法的研究，介绍了运输问题的表上作业 法的求解过程，且分别进行 Excel、Lingo 和 Matlab 软件求解运输问题的操 作，分析了手工求解和工具求解的差异。在此基础上，用不同软件对现实实 际生产问题的一个例子进行求解，分析不同软件求解结果的差异，最后对内 点法进行研究，并用其对运输问题进行求解。本文主要完成了以下工作： 1、介绍了运输问题的模型和其常用的求解方法——单纯形法，采用表 上作业法对运输问题进行了一一求解，同时也实际操作了计算机工具求解。 2、通过对比较大型的运输问题进行了建模，并用不同的软件进行了求 解，得出结果进行比较分析，得出结论对于小型的运输问题三个软件都可以 求出一样的结果，对于大型的运输问题，Excel 无法求解，Lingo 和 Matlab 求解的结果一样，而且速度非常快。 3、归纳总结了运输问题的应用。 4、介绍了运输问题的另一种算法——内点法，对其原理和算法步骤进 行了分析，并设计了 Matlab 工具的求解代码，求出结果。6.2 展望运输问题是一种特殊的线性规划问题，随着物流的发展和产销范围的扩 大，运输问题的规模将越来越大，同时也将会有更多的实际问题可以转化成 运输问题进行求解，而且在实际中运输问题要考虑很多约束因素等，本文主 要是对运输问题在理想化的情况下做了基础的研究，仍有许多问题需要进行 深入研究： 1、本文考虑的只是在产销平衡的情况下的运输问题的求解，所以在产 销不平衡模型中的求解方法将会与产销平衡模型有一定的差异，有待进一步 的研究。 2、本文中的运输问题是标准的产销平衡模型，在实际中的一些问题是 可以进行转换为运输问题进行求解的，至于什么样的问题可以转换以及在转 换过程中的方法和注意问题有待进行探讨，若有一个标准的模式，那将会意40义重大。 3、本文所举的例子，求解的结果的在结果和性能上的差异不大，可比 性不强，所以有待进一步进行更大规模的求解，寻找更明显的差异性。 4、本文介绍的内点法在进行求解时，只对一个简单的模型求解，由于 较大的模型在求解系数矩阵 A 时规模较大，未能找出简单的解法，所以这需 要深入研究，使那些大规模的运输问题也可以在内点法上简单实现。 5、本文所考虑的运输问题是在理想状态下的运输问题，目标函数只有 一个。 在实际生活中， 运输问题是有很多约束因素的， 要考虑的目标也很多， 所以研究多目标多约束因素的运输问题有很大的意义。 6、本文只介绍了 Excel、Lingo 和 Matlab 软件的求解方法，在实际中还 有其他的软件可以进行运输问题的求解。 对于当今出现的很多带有特定条件的运输问题，会有很多新的问题需要 研究，并且随着越来越多问题的解决，运输问题的将会有更多的新内容。41参考文献[1] Hitchcock FL.The Distribution of a Product from Several Sources to Numerous Locations[J] .Journal of Mathematical Physics， 1941， 4:24-230. [2] 宋业新，陈绵云，吴晓平. 具有模糊信息的目标运输问题求解[J].模糊 系统与数学，） ：86-89. [3] 李珍萍.最短时限运输问题及图上求解法[J].运输与管理，） ： 31-36. [4] 马良.运输问题的遗传算法[J].计算机工程与应用，1994，Z2：60-61. [5] 黄樟灿，余新华，李亮.遗传算法在运输问题中的应用[J].武汉汽车工业 大学学报，） ：21-24. [6] 程国忠.运输问题的神经网络解法[J].计算机应用研究，） ： 16-18. [7] 周继雄，陈定方.网络理论的最小费用问题——运输问题的计算机自动 求解[J].交通与计算机，-14. [8] 刘正义.运输规划问题的计算机求解[J].汽车运输研究，） ： 82-87. [9] 张辉.如何利用 Excel 软件求解运筹学模型[J].现代企业文化，2009， 11:144-145. [10] 徐国松.Lingo 软件在运输问题中的应用[J].科技创新导报，2008， 36： 172. [11] 王丽娟.基于 Matlab 的一类运输优化问题求解[J].中国科技论文在线， ） ：614-618. [12] 张干宗.线性规划[M].武汉大学出版社,2008.6. [13] 运筹学教材编写组.运筹学（第三版）[M].清华大学出版社，2005. [14] 林齐宁.运筹学[M].北京邮电大学出版社，2003.1. [15] 叶向著.使用运筹学—运用 Excel 建模和求解[M].中国人民大学出版社， 2007.9. [16] 刘微.运输问题的新算法[D].四川大学，博士学位论文，2005. [17] 陈宝林.最优化理论与算法[M].清华大学出版社，1989. [18] Stephen J.Wright.Primal-Dual Interior-Point Methods.Society for Industry and Applied Mathematics，1997.42附表附表 1 广西某化肥厂运价及产销表运价 西乡 横县 （元/吨） 塘区 宾阳 武鸣 兴业县 博白县 北流市 灵山县 扶绥县 田东县 田林县 柳江县 大化县 合浦县 量/t 总销西乡塘区1.0106.175.035.0167.7189.4218.0119.242.3144.0263.0190.0104.0166.05.8兴宁区12.593.053.339.0157.4182.0204.0109.056.0151.0271.0183.8114.0160.70.1江南区6.7107.775.541.2164.8183.8218.1114.837.0145.6265.3199.8110.6160.74.5良庆去12.295.862.647.5161.5183.0208.0105.451.3153.0272.0194.0119.5152.41.1邕宁区27.775.063.449.3141.8161.0188.285.667.1172.1293.2186.4122.4140.62.9横县106.11.077.8114.563.088.5113.330.0140.1249.0391.0173.1175.9113.06.8宾阳县75.077.81.060.4119.3159.2166.6103.2115.9181.2293.1123.1103.8180.56.4隆安县66.4170.0118.260.8228.9252.6278.2183.864.575.3196.7207.070.9229.55.2上林县76.5107.433.045.9149.9189.4195.4133.6113.1151.9260.1117.472.4206.84.3武鸣县35.0114.560.41.0170.2199.6218.5133.969.8130.3245.5158.770.8193.66.2马山县97.0158.187.261.8202.4241.8247.0182.2121.3108.9211.1131.720.1253.33.6扶绥县42.3140.1115.969.8201.6215.3250.9145.21.0131.5251.1227.4121.6174.38.6崇左市104.1200.0178.7128.3261.5268.6308.0199.363.2139.5244.2291.2166.5204.51.2天等县117.0222.0174.2118.2282.5303.8330.9233.891.858.0164.5257.3112.7266.44.3龙州县154.2253.0227.2173.8314.0320.3363.2252.0113.3142.5228.2331.0195.4255.95.6凭祥市176.8279.0253.6200.7332.7337.8381.6268.4135.9172.9249.8360.0227.1262.32.1大新县107.4214.0175.8116.4274.8290.6324.5218.874.185.9189.8268.5130.0243.17.9宁明县142.3245.0218.3168.8296.6298.4342.0231.3102.8162.9255.1331.3202.7229.83.9百色市205.9311.7239.0189.3357.1387.5404.7318.6191.760.658.6277.5139.7365.16.1田东县144.0249.0181.2130.3296.6327.0344.5257.9131.51.0119.1231.690.7304.09.7田阳县169.7275.6206.0154.7323.2351.8371.3284.4158.724.795.4254.8110.2329.78.8德保县174.0281.3227.2172.5341.3364.3389.5293.1152.061.1116.5295.5148.9323.66.4靖西县190.8298.0249.5192.7357.8377.1405.7305.5161.989.1132.2323.2174.7330.45.9凌云县239.0343.0263.7220.3381.9416.6425.8351.6235.099.834.6280.5160.6403.34.3乐业县275.6380.0288.4253.9405.8455.8451.4382.4274.4143.764.0287.6187.3442.73.243隆林县261.5471.0396.0351.8514.5547.7560.7482.3353.6221.8105.9409.8293.9527.75.1田林县263.0391.0293.1245.5408.9443.1456.0374.9251.1117.91.0308.3189.7424.12.6那坡县254.1359.0308.5253.5418.5441.9469.9371.1227.6137.0109.6369.0225.6398.22.9西林县371.2477.0404.7358.6527.3555.8572.3487.6354.5230.4118.7431.0306.7525.64.6河池市208.4308.5182.6174.4283.8331.7319.9284.0230.3159.1194.0137.2107.3360.93.6南丹县248.2348.9235.5214.9344.7390.1380.7334.8262.7159.2152.8199.6143.6406.35.6天峨县263.3365.0260.1233.4371.2417.4410.7357.8272.7155.7122.8127.6161.5426.75.3宜州市187.5211.0140.9151.6230.6281.0263.8238.7217.8182.5245.274.5104.9321.71.3凤山县227.2306.2236.3200.5351.4391.1394.3328.9229.5107.887.4232.4133.1390.24.0东兰县205.3277.4205.9177.5321.1363.5364.3302.7214.8104.2118.4201.2106.2369.65.4罗成仫佬 226.9 自治县 237.5 173.0 185.6 246.1 300.3 272.9 264.5 258.6 224.6 275.9 70.7 148.5 349.0 3.1大化瑶族 104.0 自治县 175.9 103.8 70.8 221.4 259.1 267.8 197.3 121.6 91.0 189.7 147.4 1.0 264.8 6.0巴马瑶族 176.7 自治县 263.0 190.0 151.1 309.6 345.4 355.3 282.2 180.7 62.0 106.5 210.7 87.3 341.4 6.4都安瑶族 123.4 自治县 182.1 109.6 88.6 223.2 264.7 267.3 209.4 145.0 106.6 195.0 128.7 24.1 279.8 1.6来宾市142.0120.069.0116.8130.4180.9164.3147.9183.1214.9309.757.1123.8233.70.6金秀瑶族 246.5 自治县 187.5 170.6 222.0 157.5 207.9 158.6 212.0 287.9 318.8 401.4 90.4 226.2 293.8 6.1忻城县143.6164.495.0107.1191.2240.3228.2193.3176.4164.7246.571.176.9274.15.6合山市125.4130.764.994.5154.8203.1193.6157.8162.6182.0277.368.290.7242.16.2象州县192.7146.4119.0167.1136.2189.2154.9175.2234.0264.4352.248.8174.2261.63.9武宣县168.7109.293.0147.996.7149.3120.2135.5208.8260.6356.581.8172.3221.54.6柳州市203.6183.9135.8171.9180.6234.6203.4211.5242.9249.2324.112.3158.0298.81.6柳江县190.0173.1123.1158.7178.6232.1204.0202.7227.4231.6308.31.0141.4289.11.2柳城县226.4217.1163.4193.0220.8274.1243.9248.1261.7244.3307.443.4163.3334.71.2鹿寨县240.0205.2168.4210.8195.6248.8208.3235.0278.6284.5357.448.6197.1322.62.6三江侗族 357.4 自治县 347.0 296.2 321.6 341.7 391.9 349.8 375.5 390.4 349.7 379.6 171.6 279.5 461.2 4.344融水苗族 271.0 自治县 267.0 209.5 235.3 265.1 319.6 284.9 294.9 303.6 270.2 317.9 89.7 194.9 381.8 6.3融安县290.6283.3230.3255.1279.1333.2295.6312.0324.5292.6337.2109.0218.5398.34.9桂林市343.1306.0272.2313.6283.1334.8282.9332.3381.6375.1426.9149.8289.6418.20.9永福县297.7266.0227.9266.4249.5301.1257.3293.9336.4329.7387.8104.8244.6379.93.6阳朔县315.7264.1241.2288.7234.5283.4230.2287.4355.5366.8434.4130.5279.1373.33.0灵川县356.0322.6285.7325.1298.9349.6300.0349.0393.8380.9432.7162.6300.6432.93.5恭城瑶族 345.0 自治县 287.1 269.4 319.6 251.5 297.8 241.7 309.6 385.7 401.6 469.3 163.5 311.3 390.7 4.3荔浦县286.0231.1209.8259.6198.7248.7196.6255.5326.7348.1424.8108.4258.4337.06.1兴安县394.9355.3324.8366.5328.6377.1324.8381.0433.3422.9470.3202.3341.6465.13.6全州县446.0402.5374.5416.3373.0418.9363.2428.1485.7474.9519.5255.0394.1512.36.0资源县430.2400.0361.7399.9375.7423.6370.4424.4468.8445.8484.5237.4370.0510.74.3龙胜各族 379.6 自治县 358.7 312.5 343.7 343.1 396.4 349.3 387.1 414.1 384.0 416.2 186.8 308.8 471.8 2.6平乐县316.5258.8242.2291.4223.9270.9215.7282.4357.2377.2449.0140.4287.433.42.6灌阳县418.2367.0344.1388.4332.1377.6319.3389.8458.1459.8514.9229.8375.4472.23.4贺州市381.8302.4308.3362.3251.7287.7226.3318.9423.3459.6542.7225.8370.1390.01.2钟山县363.7292.8290.0342.7244.7286.1223.7310.2404.7438.8515.1199.7347.4384.73.9昭平县302.0228.9226.8281.2185.4228.4168.8247.1341.5379.9465.3149.5290.5325.17.8富川瑶族 380.7 自治县 313.4 304.8 355.3 271.5 312.9 263.3 333.3 421.1 444.7 515.6 204.9 353.5 410.1 4.9梧州市319.0226.0251.0307.9165.3188.6127.4235.3358.5424.9521.9215.4337.3295.51.3苍梧县314.5218.3247.1302.8158.4182.2121.7229.1353.0421.6521.0215.8332.1286.46.1藤县278.9184.7211.9267.3127.0155.493.8196.6319.0389.1487.3189.4299.7260.58.1蒙山县277.4212.0202.7266.7175.7211.8167.1233.6317.9351.8434.2120.3261.9314.73.9岑溪市282.1180.7223.4277.3118.0128.069.9184.3318.8403.8509.5224.0320.0233.24.9港北区139.859.977.4131.649.3102.591.183.7180.7257.8367.4128.3178.1169.54.6港南区142.155.780.9134.544.695.486.677.6180.0260.1370.0134.5182.5163.44.3覃塘区124.752.060.8115.764.1109.8106.079.2165.5241.1350.8125.2160.5166.44.3桂平市200.0116.2130.0186.575.6124.681.2135.2239.1304.0404.0123.6216.6213.82.045平南县233.8148.5163.9219.1103.4147.191.8167.9272.9333.5431.7132.2244.1243.76.3玉林197.891.0149.5202.530.045.121.090.7230.9328.4442.1197.3252.0147.43.6兴业县167.763.0119.3168.21.054.248.370.8201.6296.6408.9178.6221.4138.25.1博白县189.488.5159.2198.454.21.063.272.5215.3327.0443.1232.1259.1102.26.9北流市218.0113.3166.5217.848.363.21.0113.4250.9344.5456.0204.0267.8166.64.0陆川县216.2112.0178.9223.060.430.844.3100.2243.2352.6466.9236.1281.5133.35.9容县237.2133.9181.8235.670.187.927.5139.9273.9362.4470.4200.0281.0194.36.1钦州103.7101.8140.8136.6151.2140.1193.782.9106.5239.6358.2263.2206.666.81.6灵山县119.230.0103.2133.970.872.5113.41.0145.2257.9374.9202.7197.331.17.9浦北县149.255.4130.6163.462.541.695.331.1174.7291.7409.5222.7229.178.26.1合浦县166.0113.0180.5193.6138.2102.2166.686.7174.3304.0424.1289.1264.81.02.0铁山港区190.0131.8199.3214.4142.9100.0162.5100.5201.3329.9451.1304.3289.125.92.5防城区130.1149.0170.3152.1191.3181.0228.7121.2108.9241.0355.6293.6222.188.83.9上思县80.0142.7146.8116.0206.1204.0251.1137.255.8184.2299.1272.7177.0138.15.4总产量3035483642402025321512302015400附表 2 Matlab 求解结果ans =5.0 4.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.0 4.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 5.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0460.0 0.0 0.0 3.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 4.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 6.0 0.0 0.0 2.0 6.0 0.0 0.00.0 6.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 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5.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 8.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 4.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.0 0.0 3.00000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 4.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00000.0 0.0 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 2.0 2.400048致谢本文能够顺利地完成，首先要感谢我的导师杨林峰老师的热情指导和悉 心帮助。在完成论文的过程中，从提纲拟定到论文修改以及最后的定稿，都 凝聚了导师的大量心血，杨林峰老师对学生认真负责，从内容和格式上仔细 审阅论文，并提出了宝贵的意见，使我获益良多。导师渊博的专业学识、严 谨的治学态度和平易近人的作风将永远成为我学习的榜样。 其次，感谢老师、同学和朋友们所给予的鼓励和支持，这是我顺利完成 学业和论文写作的重要保证。 最后，向百忙之中抽出宝贵时间评审本论文和参加答辩的各位专家和学 者致敬。49