证明：若函数f x(x)=x+1/x在（0，...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-01 05:55 标签： 若函数f x
判断函数 f(x)=x2+1/x 在区间(负无穷大,0）上的单调性,并用定义证明你的结论.
窝窝恶少66iz
在区间(负无穷大,0),f'(x)=2x-1/x^2 < 0,所以函数 f(x)=x^2+1/x 在区间(负无穷大,0）上的单调减.
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（高三数学）20
已知函数f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)
(1)讨论函数的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
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站长：朱建新判断函数f（x）=x-在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
KISS丶岚刃g21
函数f（x）=x-在区间（0，+∞）上的单调性是单调增函数．证明如下：设1＜x2＜+∞，则有f（2)-f(x1)＝x2-1x2-(x1-1x1)＝(x2-x1)+(1x1-1x2)-f（x1）=x2-2-x11=（2-x1)+(x2-x1x1ox2)＝(x2-x1)(1+1x1ox2)＝(x2-x1)(x1x2+1x1ox2)1x2x1x2．∵0＜x1＜x2＜+∞，x2-x1＞0且x1x2+1＞0，x1x2＞0，所以f（x2）-f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
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判断函数的单调性，然后直接利用单调性的定义证明即可．
本题考点：
函数单调性的判断与证明．
考点点评：
本题考查函数的单调性的判断与证明，定义法的应用，注意作差法的化简过程．
取任意x1,x2属于(0,+oo)且x1<x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x2-1/x1)因为x1<x2所以1/x2<1/x1x1-x2<01/x2-1/x1<0(x1-x2)+(1/x2-1/x1)<0所以f(x1)-f(x2)<0f(x1)<f(x2).'.f(x)(0,+oo)↑
扫描下载二维码判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明.书上的答案：任取x1,x2∈(0,＋∞),且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2∵0＜x1＜x2,∴x1-x2＜0,x1x2＞0,∴当x2＞x1≥1时,x1x2-1＞0,然后进行判断.当0＜x1＜x2＜1时,x1x2-1＜0,然后进行判断.最后得出结论.我有个不懂的地方：当x2＞x1≥1时,x1x2-1＞0,然后进行判断.当0＜x1＜x2＜1时,x1x2-1＜0,然后进行判断.这里面的“当x2＞x1≥1时”和“当0＜x1＜x2＜1时”这两种情况是怎么推出来的?总不能没原因就知道这两种情况吧?如果是根据“x1x2-1＞0”和“x1x2-1＜0”推出来的,帮我写下推的过程,我根据“x1x2-1＞0”和“x1x2-1＜0”推不出来.如果不是根据这个推出来的,那是根据什么推出来的?图像?还是什么?
我区36mwVO
f(x) 求导得 1 - 1/(x^2),当 x = 正负1 时导数为 0 ,说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变(0,1] 上 f(x) 的导数小于0 ,[1,∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0,1]上单调递减,[1,∞) 上单调递增f(x) 要求 x != 0,所以 f(x)的定义域是 (-∞,0) 和 (0,∞) 在 (0,∞) 上,当 x = 1 时 f(x) 取最小值,为 2f(x) 求导得 1 - 1/(x^2),当 x = 正负1 时导数为 0 ,说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变(0,1] 上 f(x) 的导数小于0 ,[1,∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0,1]上单调递减,[1,∞) 上单调递增
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当x<1时。1/x变化会很大，大过 x当x>1时。1/x变化会很小，和x比可以忽略。y=x 与 y=1/x 的交点在 x=1
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设函数f（x）=ex-1x，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．
题型：解答题难度：中档来源：佛山一模
（1）f′（x）=xex-(ex-1)x2=(x-1)ex+1x2，-----------------（2分）令h（x）=（x-1）ex+1，则h′（x）=ex+ex（x-1）=xex，当x＞0时，h′（x）=xex＞0，∴h（x）是上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=h(x)x2＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．-----------------（6分）（2）|f（x）-1|=|ex-x-1x|，当x＞0时，令g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0-----------------（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）-1|=ex-x-1x，原不等式化为ex-x-1x＜a，即ex-（1+a）x-1＜0，-----------------（10分）令?（x）=ex-（1+a）x-1，则?′（x）=ex-（1+a），由?（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，?′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，?′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，?（x）取最小值?[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a），-----------------（12分）令s（a）=a1+a-ln（1+a），a＞0则s′（a）=1(1+a)2-11+a=-a(1+a)2＜0．故s（a）＜a（0）=0，即?[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．----------------（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ex-1x，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“设函数f（x）=ex-1x，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2..”考查相似的试题有：
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