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空间向量及其运算
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平面向量与空间向量
[导读]第 五 讲 平面向量和空间向量 Ⅰ、平面向量的概念及运算 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。 向量一般用......来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： 几何表示法，； 坐标表示法。 向量的大小即向量的模（长度），记作|| 即向量的大小，记作｜|...
平面向量和空间向量
Ⅰ、平面向量的概念及运算
1．向量的概念
　　①向量：既有大小又有方向的量。
　　向量一般用......来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：
　　几何表示法，；
　　坐标表示法。
　　向量的大小即向量的模（长度），记作||
即向量的大小，记作｜|。
　　向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
　　②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行
　　零向量＝｜｜＝0。
　　由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有"非零向量"这个条件。（注意与0的区别）
　　③单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
　　④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
　　任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
　　数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的"共线"与几何中的"共线"、的含义，要理解好平行向量中的"平行"与几何中的"平行"是不一样的。
　　⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
　　相等向量经过平移后总可以重合，记为。
　　大小相等，方向相同。
2．向量的运算
　　（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
　设，则+==。
　规定：①；
　　　②向量加法满足交换律与结合律；
　向量加法的"三角形法则"与"平行四边形法则"
　　a.用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
　　b.三角形法则的特点是"首尾相接"，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须"首尾相连"。
　　（2）向量的减法 ：
　　①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,
　　零向量的相反向量仍是零向量。
　　关于相反向量有：
　　（i）=；
　　 (ii) +()=()+=；
　　(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
　　　③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。
　　（3）实数与向量的积
　　①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。
　　②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。
4．平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
5．平面向量的坐标表示
　　（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
　　规定：
　　a.相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
　　b.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。
　　（2）平面向量的坐标运算：
　　①若，则；
　　②若，则；
③若=(x,y)，则=(x, y)；
　　④若，则。
题型1：平面向量的概念
【例1】 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于
D.　　　　
　　深化拓展
　　此题也可以利用"解斜三角形"的方法进行处理.
【例2】 如图，G是△ABC的重心，求证：++=0.　　　　深化拓展
　　此题也可用向量的坐标运算进行证明.
【例3】 设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.　　　　　　　　　　　　
　　深化拓展
　　①本题也可变为，不共线，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.
　　提示：证明与共线.
　　②当λ=μ=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.
【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.
　　（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?
　　（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小?　　　　　　　　思考讨论
　　两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?
●闯关训练
1.已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于
2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有
　　A.a∥b且a、b方向相同
D.以上都不对
3.在四边形ABCD中，－－等于
4.设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是
　　A.平行四边形
C.等腰梯形
5.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.
6.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.　　　　
　　思考讨论
　　向量a、b的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?
7.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?
8.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.　　9.在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.　　●思悟小结
1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.
2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
3.对于两个向量平行的充要条件：
　　a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用"数"来证明"形"的问题.
5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.
　　拓展题例
例1 对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
例2．（1）给出下列命题：①若||＝||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤ 若//，//，则//；其中正确的序号是
　　（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是（
题型2：平面向量的运算法则
例1．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（2）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（
　　（3）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（
D．　　例2．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
① ，②，③。
例3．设为未知向量，、为已知向量，解方程2?(5+3?4)+ ?3=0
题型3：平面向量的坐标及运算
例1．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。
例2．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。
题型4：平面向量的性质
例1．平面内给定三个向量，回答下列问题：
　　（1）求满足的实数m,n；
　　（2）若，求实数k；
　　（3）若满足，且，求。
（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？
题型5：共线向量定理及平面向量基本定理
例1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（
　　A．3x+2y－11=0
B．（x－1）2+（y－2）2=5
　　C．2x－y=0
D．x+2y－5=0
例2．（1）已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于（
（2）如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是（
　　A．　　　　　B.
D.　　题型6：平面向量综合问题
例1．已知向量与的对应关系用表示。
　　（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；
　　（2）设，求向量及的坐标；
　　（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标
例2．求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上。
Ⅱ、平面向量的数量积及应用
1．向量的数量积
　　（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；
　　说明：
　　a.当θ＝０时，与同向；
　　b.当θ＝π时，与反向；
　　c.当θ＝时，与垂直，记⊥；
　　d.注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。　　　　（2）数量积的概念
　　已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；
　　向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
　　（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
　　（4）向量数量积的性质
　　①向量的模与平方的关系：。
　　②乘法公式成立　　；　　；
　　③平面向量数量积的运算律
　　交换律成立：；
　　对实数的结合律成立：；
　　分配律成立：。
　　④向量的夹角：cos==。
　　当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
　　（5）两个向量的数量积的坐标运算
　　已知两个向量，则·=。
　　（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
　　两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。
　　（7）平面内两点间的距离公式
　设，则或。
　　如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。
2．向量的应用
　　（1）向量在几何中的应用；
　　（2）向量在物理中的应用。
题型1：数量积的概念
【例1】 判断下列各命题正确与否：
　　（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；
　　（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；
　　（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；
　　（4）对任一向量a，有a2=|a|2.
【例2】 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.（1）当·取最小值时，求的坐标；
　　　　（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.
【例3】 已知向量、、满足++ =0，||=||=||=1.
　　求证：△P1P2P3是正三角形.　　　　　　　　
　　深化拓展
本题也可用如下方法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1（x1，y1），
P2（x2，y2），P3（x3，y3），则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.
　　由++=0，得∴
　　由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.
　　∴2+2（x1x2+y1y2）=1.∴||====.　　同理||=，||=.∴△P1P2P3为正三角形.
●闯关训练
1.若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为
2.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=－36，则a与b的夹角是
　　A.60°
3.若向量c垂直于向量a和b，d=λa+μb（λ、μ∈R，且λμ≠0），则
　　A.c∥d
C.c不平行于d，也不垂直于d
D.以上三种情况均有可能
4.给出下列命题：
　　①若a2+b2=0，则a=b=0；②已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0，则|a·c|=|b·c|；
③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则·=20；④a与b是共线向量a·b=|a||b|.
　　其中真命题的序号是_______.（请把你认为是真命题的序号都填上）
5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.
6.如下图，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90°.求点B和向量的坐标.
7.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于_______.
8.已知F1（－1，0），F2（1，0），A（，0），动点P满足3·+·=0.
　　（1）求动点P的轨迹方程.
　　（2）是否存在点P，使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.　　　　　　　　
9.已知平面向量a=（，－1），b=（，），
　　（1）证明：a⊥b；
　　（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t2－3）b，y=－ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
　　（3）据（2）的结论，确定函数k=f（t）的单调区间.
●思悟小结
1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是难点.
2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示.
3.向量a与b的夹角：（1）当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角；
（2）0°≤〈a，b〉≤180°；（3）cos〈a，b〉==.
　　拓展题例
【例1】 在△ABC中，（1）若=a，=b，求证：S△ABC=；
（2）若=（a1，a2），=（b1，b2），求证：△ABC的面积S△=|a1b2－a2b1|.
例2．判断下列各命题正确与否：
　　（1）；
　　（2）；
　　（3）若，则；
　　（4）若，则当且仅当时成立；
　　（5）对任意向量都成立；
　　（6）对任意向量，有。
例3．（1）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（
　　C．m（）=m+m
　　（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
　　①（·）－（·）=
②||－||&|－|
③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（
　　A.①②
题型2：向量的夹角
例1．（1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（
（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是
（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。
（4）| |=1，|
|=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角（
A．30° B．60° C．120° D．150°
例2．（1）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（
　　A．－++=
　　C．+-=
（2）已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是（
题型3：向量的模
例1．（1）已知向量与的夹角为，则等于（
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1
　（2）设向量满足,,则（
例2．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。
题型4：向量垂直、平行的判定
例1．已知向量，，且，则
例2．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。
题型5：平面向量在代数中的应用
例1．已知。
例2．已知，其中。
（1）求证：与互相垂直；
　　（2）若与（）的长度相等，求。
题型6：平面向量在几何图形中的应用
1.若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为
　　A.y=f（x+1）－2
B.y=f（x－1）－2
　　C.y=f（x－1）+2
D.y=f（x+1）+2
2.将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为
　　A.（－1，2）
B.（1，－2）
C.（－4，2）
D.（4，－2）
　　思考讨论
　　本题不用平移公式代入配方可以吗?
　　提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）
3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为
4.若点P分所成的比是λ（λ≠0），则点A分所成的比是____________.
5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.
　　（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2，则m的值为____________.
●典例剖析
【例1】 已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使||=||.　　　　　　　　深化拓展
　　本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为的定比分点，λ=－.
　　由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.　　　　
　　思考讨论
若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请思考.
【例3】 已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将
□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.
　　（1）求向量a；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
●闯关训练
1.将函数y=sinx按向量a=（－，3）平移后的函数解析式为
　　A.y=sin（x－）+3
B.y=sin（x－）－3
　　C.y=sin（x+）+3
D.y=sin（x+）－3
2.将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于
　　A.（－，1） B.（－，1）
C.（，－1） D.（，1）
3.已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.
4.把函数y=2x2－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________.
5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的的坐标.
6.已知A（2，3），B（－1，5），且满足=，=3，=－，求C、D、E的坐标.　　　　　　7.设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），x∈R.
　　（1）若f（x）=1－，且x∈［－，］，求x；
　　（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.
8. 已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.
　　（1）求曲线C的方程；
　　（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求实数λ的取值范围.　　　　　　　　　　　　
　　思考讨论
　　本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）可尝试一下.
9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan）的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.（如下图所示）
　　（1）求出发后3 h两船相距多少海里?
　　（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?
●思悟小结
1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：
　　（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；
　　（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解.
2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.
3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.
4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.
　　拓展题例
【例1】已知f（A，B）=sin22A+cos22B－sin2A－cos2B+2.
　　（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；
　　（2）当A+B=且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.
【例2】 设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.
　　（1）写出曲线C1的方程；
　　（2）证明：曲线C与C1关于点A（，）对称.
例3．已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。（1）求证；（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。
例4．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。
　　已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：
　　∠APB＝90°。
题型7：平面向量在物理中的应用
【例1】 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
　　（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）.　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思考讨论
对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.可尝试用后一方法解答本题.
　　已知=a，=b，a·b=|a－b|=2，当△AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.
　　解：因为|a－b|2=4，所以a2－2a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，
　　S△AOB=·sinθ=|a||b|=
　　=≤=，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）
　　所以当|a|=|b|=2时，△AOB的面积取最大值，这时，cosθ===，所以θ=60°.　　　　　　　　　　　　【例2】 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.
　　（1）求⊙C的方程；
　　（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.
●闯关训练
1.已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是
2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为
　　A.0.5 h
3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.
4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.
5.如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.　　6.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）　　7.已知A（4，0），N（1，0），若点P满足·=6||.
　　（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
　　（2）求||的取值范围；
　　（3）若M（－1，0），求∠MPN在［0，π］上的取值范围.
8.如图，已知△ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.　　9.如下图，已知△OFQ的面积为S，且与的数量积等于1，
　　（1）若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；
　　（2）设||=c（c≥2），S=c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.
●思悟小结
　　向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛.
　　拓展题例
【例1】 已知a=（x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］.
　　（1）求f（x）=a·b的表达式；
　　（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.
【例2】 如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）　　例3．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。
1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
　　（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定；
　　（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号"· "在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用"×"代替；
　　（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若?0，且?=0，不能推出=。因为其中cos?有可能为0；
　　（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ==& a=c。但是?= ?；
　　如图：?= |||cos? = |||OA|，?c = ||c|cos? = |||OA|==&? =?，但 ?；　　　　　　　　
　　(5)在实数中，有(?) =
(?)，但是(?)?
(?)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。
2．平面向量数量积的运算律
特别注意：
　　（1）结合律不成立：；
　　（2）消去律不成立不能得到；
　　（3）=0不能得到=或=。
3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的"双重身份"能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；
4．注重数学思想方法的教学
　　①．数形结合的思想方法。
　　由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。
　　②．化归转化的思想方法。
　　向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。
　　③．分类讨论的思想方法。
　　如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。
5．突出向量与其它数学知识的交汇
Ⅲ、空间向量及其应用
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
　　表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
　　说明：
　　①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；
　　②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率　　　　　　　　　　　加法交换率：
　　加法结合率：
　　数乘分配率：
　　说明：
　　①引导学生利用图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；
　　②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。
注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。
　　共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝
⑴上述定理包含两个方面：
①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。
⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当&0时与同向，当&0时与反向的所有向量。
⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
　　推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
　　其中向量叫做直线l的方向向量。
　　在l上取，则①式可化为
　　当时，点P是线段AB的中点，则
　　①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
　　注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。
　　共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
　　共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
　　注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
　　推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，
　　或对空间任一定点O，有⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
　　又∵代入⑤，整理得
　　　　　　　　　　　　
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,
　　说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。
　　推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使
（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作
说明：⑴规定0≤≤,因而=；
　　⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；
　　⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，
　　图（3）中∠AOB=，
　　图（4）中∠AOB=,
　　从而有==.
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。即=，向量:
（4）性质与运算率
题型1：空间向量的概念及性质
例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（
例2．下列命题正确的是（
　　若与共线，与共线，则与共线；
　　向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
题型2：空间向量的基本运算
例1．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（
）　　　　
例2．已知：且不共面.若∥,求的值.
题型3：空间向量的坐标
例1．（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件（　　）
　　A. ：||=：||　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
　　C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
　　（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
　　A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
　　（3）下列各组向量共面的是（　　）
　　A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
　　B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
　　C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
　　D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
例2．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
题型4：数量积
例1．设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
　　①（·）－（·）=
②||－||&|－|
③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（
例2．（1）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
　　（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求&，&的大小(其中0＜&，&＜π。
题型5：空间向量的应用
例1．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
　　（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
例2．直三棱柱中,求证:
　　本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos&a，b&在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。
　　对本讲内容的考查主要分以下三类：
　　1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
　　此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
　　2．向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
　　在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。
Ⅳ、空间夹角和距离
1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
　　具体步骤如下：
　　①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
　　②证明作出的角即为所求的角；
　　③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
　　具体步骤如下：
　　①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
　　②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
　　③把该角置于三角形中计算。
　　注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；
（3）确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法　　　　①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
　　②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
　　③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
　　斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。
2．空间的距离
（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
　　点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法
（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
　　以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
3．空间向量的应用
（1）用法向量求异面直线间的距离
　　如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 ；　　　　　　（2）用法向量求点到平面的距离
　　如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为；　　　　
（3）用法向量求直线到平面间的距离
　　首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（4）用法向量求两平行平面间的距离
　　首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（5）用法向量求二面角
　　如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。　　　　　　（6）法向量求直线与平面所成的角
　　要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者。
题型1：异面直线所成的角
例1．（1）直三棱住A1B1C1-ABC，∠BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（
（C） （D）
　　（2）已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（
例2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型2：直线与平面所成的角
例1．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（
D.　　　　　　　　
例2．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90?，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型3：二面角
例1．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。　　　　　　又例：如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
例2．（1）如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。
　　　（2）已知球的半径是1，、、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（
（D）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型4：异面直线间的距离
例1．如图，已知正方体ＡＢＣＤ－棱长为，求异面直线ＢＤ与Ｃ的距离．　　　　　　　　　　　　　　　　　　例2．如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型5：点面距离
例1．如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2．（1）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：______（写出所有正确结论的编号） ①3；
　　（2）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：①1；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型6：线面距离
例1．已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。　　　　　　　　　　　　　　　　
例2．如图7，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。 求与平面间的距离？　　　　　　　　　　　　　　　　
1．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；
2．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤："作"、"证"、"算"。
3．求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：
　　①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；
　　②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两"足"（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；
　　③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：
　　根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。
　　作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式"cosθ＝"求二面角否则要适当扣分。
　　④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；
　　⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。
4．注意数学中的转化思想的运用
　　（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；
　　（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；
　　（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。
Ⅴ、平面向量的解题技巧
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式.
例1已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）
例2．在中，，M为BC的中点，则______.（用表示）
例3．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量(
例4．与向量=的夹解相等，且模为1的向量是
例5．设向量与的夹角为，且，，则__．
例6.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （）
例7.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（
2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度比较大.
例8．设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
又例：设函数.其中向量.
（Ⅰ）求实数的值; （Ⅱ）求函数的最小值.
例9．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围
（II）求函数的最大
例10．　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A为钝角，求c的取值范围；
例11．在中，角的对边分别为．
（1）求；（2）若，且，求．
例12.设函数，其中向量,.（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
例13．已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若⊥，求θ；
（Ⅱ）求｜＋｜的最大值．
例14．如图，三定点三动点D、E、M满足
（I）求动直线DE斜率的变化范围；
（II）求动点M的轨迹方程。
例15．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
　　　　　　　　【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．已知的值为（
A．－6 B．6 C． D．－
2．已知△ABC中，点D在BC边上，且则的值是（
A． B． C．－3 D．0
3．把直线按向量平移后，所得直线与圆相切，则实数的值为（
A．39 B．13 C．－21 D．－39
4．给出下列命题：①·=0，则=0或=0.
②若为单位向量且//，则=||·.
③··=||3.
④若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是（
A．0 B．1 C．2 D．3
5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（
A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b
B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||
C.点G是△ABC的重心，则++=0
D.△ABC中，和的夹角等于180°－A
6.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e2－2e1等于（
7.将函数y=x+2的图象按a=（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（
C.y=x+6 D.y=x－10
8.已知向量m=(a,b)，向量m⊥n且|m|=|n|,则n的坐标为（
A.（a, －b）
B.( －a,b)
C.(b, －a)
D.( －b, －a)
9.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足｜f(－x)｜=｜f(x)｜,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（
A.命题（1）（2）均为假命题
B.命题（1）（2）均为真命题
C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
10．若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（
D.以上都不对
11．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的 （
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、填空题
1．已知与的夹角为60°，则与－的夹角余弦为
2． 已知＝（-4,2,x），＝(2,1,3),且⊥，则x＝
3． 向量 ，，则和所夹角是
4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DB⊥AC, DC⊥AB,
AD=BC, 则D的坐标为
5． 设是直线，是平面，，向量在上，向量在上，，则所成二面角中较小的一个的大小为
三、解答题
1.△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量时，求.2.在平行四边形ABCD中，A（1，1），，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
（1）若求点C的坐标；
（2）当时，求点P的轨迹.
3.平面内三个力，，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.
4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
5.设a=(1+cosα,sinα), b=(1－cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=，求sin.
6.已知平面向量a=（，－1），b=（，）.
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在实数k和t，使得x=a+(t2－3)b,y=－ka+tb,且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);
(3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间.
平面向量与空间向量
品德与社会
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