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“数学概率题都把我绕晕了”
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相对于早上语文有考生提前交卷的情况，下午数学科目一直到5时10分才有学生出来，“太难了！比广东题难了不止一档！”复读生小张告诉记者，概率题的题型较新，“一般这种概率题是算出三个答案，而这次要算出六个，计算量大了一倍。”
□本版统筹 信息时报记者 韦英哲本版撰文 信息时报记者 梁健敏 张琛平 韦英哲 刘宇雄 郭苏莹 刘军 史倩云 实习生 罗子杰 张志卓昨日是高考第一天，进行了语文、数学两科考试。面对全国卷的广东考生考得如何？记者在多个考点采访发现，今年语文、数学两科试题比以往广东卷难度更大。有考生表示，语文全卷约有30%的题型都是新的，以前根本没有接触过。下午考完数学，很多考生都吐槽数学题好难。而理科数学更是难倒了不少“学霸”，他们感叹全国卷比广东题难了不止一档，甚至有考生直呼，“理科数学比衡水模拟题还要难。”语文考生：有三成题型没接触过昨日中午语文考完后，记者在多个考点采访发现，总的来说难度与以前的全国卷相当，但成语等题目的设置很是新颖，“以前是给三个成语，让我们填空就好。现在会出好6个句子，让我们以排序的方式做选择，其实是有帮助我们排除错误答案的。”执信中学周同学说。不过，考生陈同学却表示，成语题与一模、二模的成语“四选一”大有不同，她觉得“准确性就大大降低了”。广铁一中的何同学对记者说，基础题难度较大，全卷约有30%的题型都是新的，以前根本没有接触过。另外，还有部分同学表示，今年的文言文来源有些偏，以前从未见过。但也有同学表示，“虽然来源偏，但是内容是相对易懂的”，执信中学李同学说。专家点评：命题风格与难度保持稳定卓越教育高中语文组负责人梁晓珺认为，今年高考语文全国卷的整体命题风格与难度保持稳定，与2015年相比没有大的波动。如果考生之前认真研究过2015年的试题及答案，再做2016年的题目时，应该是得心应手。其中，论述文的文本内容比去年容易，主题与2013年全国卷论述文一样，都是讲考古发现对于历史研究的重大意义。题目设置的考点也延续全国卷往年的风格，并不需要考生深刻理解文章原意。文言文阅读仍有一题考查学生的历史文化知识，对于广东考生而言有一定难度。此外，实用类文本仍然是传记，这是全国卷最稳定的一部分了。因为自2012年至今，每年的实用类文本都是传记，题型也是大致相同。数学考生：理数比衡水模拟题还要难相对于早上语文有考生提前交卷的情况，下午数学科目一直到5时10分才有学生出来，“太难了！比广东题难了不止一档！”复读生小张告诉记者，概率题的题型较新，“一般这种概率题是算出三个答案，而这次要算出六个，计算量大了一倍。”“上午考语文的时候，出来还会担心，下午考完数学就直接懵了，什么感觉都没有了。”广州第二十一中学的王同学表示，他做过去年全国卷的题目，感觉今年比去年更难。记者采访了多名考生，他们均表示时间足够，“把会做的都做了，而不会做的时间再多也不会。”去年理科数学广东卷把数列知识放在大题中，几乎难倒了一批考生。但今年理科数学全国卷把数列知识放在选择题，难度降低。培正中学考生钱同学说，“做完后，整个人还是有点懵，好难呀。客观来说今年理科数学全国卷的难度总体上跟华附模拟卷差不多，比衡水中学模拟题难。”“难度比以往确实上升。计算量又大，概率题都把我绕晕了，时间特别紧。”另一位来自华附的汤同学评价今年理科数学时，表情凝重，连连摇头，只意味深长地说了一句“一言难尽”。专家点评：比广东卷难度提高了不少立尚教育高考研究院数学名师马健伦表示，根据全国卷难度而言，今年理科数学和文科数学都不算太难，但较以前广东卷难度而言，难度提高了不少。理科数学题遵循了往届全国卷命题原则，尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题考查了函数图像、三角函数、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理(理科)、数列等知识点，大部分属于常规题型和难度，是学生在高三平时的训练中常见的类型。同时，在立体几何、线性规划等题目上进行了一些创新，线性规划考查了应用类型，立体几何常见的球没单独考查，而是在三视图中考查。文科数学在立体几何、线性规划等题目上进行了一些创新，线性规划考查了应用类型，立体几何常见的球没有单独考查，而是在三视图中考查。此外，还考查了相对冷门的直线与圆，而大题命题则相对稳定，数列考查了等差等比数列，立体几何考查了相对冷门的投影问题，证明中点，求体积，立体几何这道大题对学生而言难度是比较大。卓越教育高考改革研究委员会有关专家表示，广东考生要想取得好的成绩，一定要加强基础知识的理解运用，并做好综合性强的题目的训练。今年高考语文全国卷的整体命题风格与难度保持稳定，与2015年相比没有大的波动。如果考生之前认真研究过2015年的试题及答案，再做2016年的题目应该是得心应手。——卓越教育高中语文组负责人梁晓珺对于广东考生来说，要在新课标卷的高考中取得好的成绩，一定要继续加强基础知识的理解运用，并且增强自己计算能力，并做好综合性强的题目的训练。——卓越教育高考改革研究委员会有关专家老师群发短信让家长安慰孩子“下午的数学题很难，据有经验的老师估计，全省平均分会非常低，这给我们孩子们的打击比较大，请各位家长今晚务必安慰自己的孩子，考一科丢一科，我难人亦难，调整好心态，准备明天的考试，考好后两科是王道。明天考试过程中务必保证基础题的得分，务必不留空白。”高考第一天结束后，广州第七中学有老师群发短信让家长安慰孩子，让家长请告知孩子，“不为题易而喜，不为题难而忧”，只有平和的心态才能让人最放松，从而发挥出人的最大潜能。
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48小时点击排行生男生女数学概率问题？
有个问题困扰了我10年，从刚上初中就开始想这个问题到现在也没明白。假定自古以来一个家庭只能生一个孩子，那么生男生女的概率各是50%，结果生下来结果要么是男孩，要么是女孩。那一个家庭连续300代都生男孩（或女孩）的概率是0.5的300次方，微乎其微。可是如果300代以后去调查一个学校的孩子，发现所有男孩子从爸爸追溯上去，这家300代，3000代以来生的全是男孩。而女孩子的妈妈、外婆也同理，说明外婆的妈妈的妈妈的妈妈。。。。。。全都生的是女孩。这是为什么啊！
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你假定自古以来两个人只生一个孩子,那人类繁殖不到300代就灭绝了.
设常数c:=2^300（约2.）请考虑一下人口基数，根据“假定自古以来一个家庭只能生一个孩子”，那么要使300代以后这个学校有一个男学生，300代以前至少需要多少个人呢？答案是c个人。（要使301代有1个人，那么300代至少要一对父母，2个人，那么299代至少要2对父母，即4个人。……第1代就要有2^300=c个人。）好，第一代要有2^300个人才能根据假设使得300代后的这个学校里有一个人。而2^300比现在的世界人口数不知道高到哪里去了。-为什么这个逻辑在现在看来很奇怪。1. 因为不是每个家庭都只生一个孩子啊混蛋。（如果每个家庭都只生一个孩子，而且家庭都从一而终，那么人类早灭绝了。）2. 家庭不是永久组建的，是可以分解与重构的。（那么两对父母就有可能生两个小孩子。）3. 我真的不是在黑计划生育请相信我。。。
有什么奇怪的，你只看到了一个人有妈妈的妈妈的妈妈的妈妈的妈妈觉得连续五代是女孩这么罕见的事都发生了，却没看到这个人还有爸爸的爸爸的爸爸的爸爸的爸爸、爸爸的爸爸的爸爸的爸爸的妈妈、 爸爸的爸爸的爸爸的妈妈的爸爸、爸爸的爸爸的爸爸的妈妈的妈妈、爸爸的爸爸的妈妈的爸爸的爸爸、爸爸的爸爸的妈妈的爸爸的妈妈、爸爸的爸爸的妈妈的妈妈的爸爸、爸爸的爸爸的妈妈的妈妈的妈妈、爸爸的妈妈的爸爸的爸爸的爸爸、 爸爸的妈妈的爸爸的爸爸的妈妈、 爸爸的妈妈的爸爸的妈妈的爸爸、爸爸的妈妈的爸爸的妈妈的妈妈、爸爸的妈妈的妈妈的爸爸的爸爸、爸爸的妈妈的妈妈的爸爸的妈妈、爸爸的妈妈的妈妈的妈妈的爸爸、爸爸的妈妈的妈妈的妈妈的妈妈、妈妈的爸爸的爸爸的爸爸的爸爸、妈妈的爸爸的爸爸的爸爸的妈妈、 妈妈的爸爸的爸爸的妈妈的爸爸、妈妈的爸爸的爸爸的妈妈的妈妈、妈妈的爸爸的妈妈的爸爸的爸爸、妈妈的爸爸的妈妈的爸爸的妈妈、妈妈的爸爸的妈妈的妈妈的爸爸、妈妈的爸爸的妈妈的妈妈的妈妈、妈妈的妈妈的爸爸的爸爸的爸爸、 妈妈的妈妈的爸爸的爸爸的妈妈、 妈妈的妈妈的爸爸的妈妈的爸爸、妈妈的妈妈的爸爸的妈妈的妈妈、妈妈的妈妈的妈妈的爸爸的爸爸、妈妈的妈妈的妈妈的爸爸的妈妈、妈妈的妈妈的妈妈的妈妈的爸爸，他们都没有连续五代是女孩。
我觉得你不能把日常生活中的“家庭”这个概念这么无限推广而不感到奇怪。现在生活中小两口结婚买个房，就已经是一个单独的家庭了，没什么连续几代生什么的问题。传统父权社会里更没有一个家庭连续几代只生女孩的问题，一代生女孩就叫绝后了，女儿那是嫁到别人家去的。另外传统父权社会的这个家族定义里，倒是一定会发生每代都有男孩出生的奇怪现象，但是好像大家也不觉得奇怪啊。所以你对“家庭”的定义既不符合传统也不符合现代生活，从一个不合理的定义出发得到怎么样奇怪的结论都很正常啊……就好比我把我的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚的亲戚都算作我家人，然后跟题主说，啊我家有多少多少人在中南海工作，你也觉得我很奇怪对吧。当然还有一个方面是假设不合理，连续三百代每代只生一个是要出大事的。在这个假设下，初始人口得远多于一摩尔。我们知道，当你讨论一个宏观物体的数量却用了摩尔作为单位的时候，是会出大事的（）。
因为古代一个家庭一般生七八个甚至十几个孩子。而且生了男的才叫做传香火，因为可以传姓氏。而且有族谱的人家基本上都是大户。每个男丁都有责任给家族传宗接代（生个儿子）。所以族谱里才都有男的。
哈哈。这是我也没事想着玩的一个事儿。我的模型和题主描述的差不多。我想的是，我的爸爸是男的，我爷爷是男的，我爷爷的爸爸是男的，那么往上推若干代我的男性祖宗，他有儿子，儿子又生儿子，代代都生男；另一方面，我妈妈是女的，我姥姥是女的，往上推若干代到我的一位女性祖宗，她生了女儿，她女儿生了女儿，代代都生女。对于一位男性祖先，假设只有一个孩子他生儿子的概率确实是0.5，而代代生儿子概率确实是0.5^n，女性祖先代代生女的也一样。但有两个问题：其一，尽管对于某个家庭而言这个概率确实小到微乎其微，但对于全人类而言，男女总是大致各占一半，永远有人生男，有人生女。而生男的，确实他男性祖先一直有男性后代，而生女的女性祖先有女性后代。我不能解释一个家庭的偶然，但可以明白全人类的必然；其二，题主的假设并不成立，如果每个家庭只有一个孩子，那么人类将代代半衰，没几代就灭绝了。所以，我们的男性祖先必然找到女性祖先，剩下儿子或女儿（也是祖先）。儿子找到别的女性，女儿找到别的男性，生下儿子或女儿。♂还是♀出现是随机，但或♂或♀确是必然。这个过程中，再考虑某位祖先。决定了他们后辈性别的是他和他妻子。而决定他的是他父亲和他母亲，决定他妻子的是他妻子的父亲和母亲。决定他母亲的是他的姥姥和姥爷，决定他父亲的是他的爷爷和奶奶…这个过程是一个相当复杂的网，复杂到我没法想象。简单说，就是我们有那么多的祖先，都是直系传下来的。所以五百年前谁和谁一家是完全有可能，歪楼了。回来说，就是从上往下看，从某一支，如男～男～男…讲，代代生♂或是♀是偶然，但从你自己往回推，没什么好奇怪的。这如果不必然，那么就该全球搞基或拉拉了o(╯□╰)o话说我还是没说明白，因为本来就没啥答案。只是在解释自己和题主类似的困惑。
这里大部分的答案都弄错方向了。其实很简单，原因主要是题主的逻辑不太对。题主的这个逻辑只适合从祖先往后人推的的情况，这时候的结果是没问题的。但是反过来就不行了。相信题主假设的范围应该只限于男女一起生孩子的情况。而这种情况就导致了一个直接结论就是任何一个孩子都必然有一个父亲和一个母亲。而题主的逻辑又是往回推的。所以就像这样。我是男的我有一个爸爸，他是男的我爸爸有一个爸爸，他是男的我爸爸的爸爸有一个爸爸，他是男的…我爸爸的爸爸…有一个爸爸，他是男的所以我们家每一代生的都是男孩。但是问题在于题主忽略了长辈中的那些女性分支。举个最简单的例子同样按照刚才的那个方法可以得出另一个结论我是男的我有一个妈妈，她是女的我妈妈有一个妈妈，她是女的我妈妈的妈妈有一个妈妈，她是女的…我妈妈的妈妈…有一个妈妈，她是女的所以我们家每一代都是女孩，唯独到我这一代生了男孩。这整个关系网其实是每层人数除以2的倒金字塔型结构。题主关注的只是这个金字塔中最特别的两条链。但是性别的转变可以发生在任何一个点上。
单纯从数学概率上来说，连续300代都是男孩的概率微乎其微，接近0。但生男生女其实还有一些生物学上的因素，对于每个个体可能并不是0.5的概率。当然，人类作为一个种群，生男生女的概率是0.5.
有这么一个故事，不知道真假。。。有个人给1024个陌生人写信，号称自己能预测某个知名赛事的胜负，给他们的预测：一半是胜，一半是负。当结果公布后，他又给寄送了对的那一半人继续预测下一个赛事的胜负。0， 10241， 512
第1次之后还能收到邮件的人数2， 2563， 1284， 645， 326， 167， 8
第7次之后还能收到邮件的人数8， 49， 2最后这2个人会对来信者仅为天人，神预测啊，9次预测，全中啊！！明白了吗？
顺着楼主的逻辑，在假设成立的条件下，会得出这样的结论是因为不符合要求的个体被筛选掉了。假如第一代的时候每个人的姓氏都不一样，生的儿女都随父姓。那么到了第二代就有一半的姓氏消失了，被楼主筛选掉了，第三代又有一半姓氏消失啦，，最后每一个能够保留下来的姓氏祖上都是生男生男生男。。。嘛，哪一条链有一个生女这条链就被筛选掉啦。这个问题类比抛100次硬币的话，就是正正反，出现反就重新计数，正正正反，重来，正正正正正反，重来。。。
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玩大富翁时，距离目标只有7步，那么我有多少机会掷到了。不给我一些低B的答案，这题绝不是想的那样简单。
09-11-28 &匿名提问
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。例如,掷一硬币,可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短参差不齐;等等。这些都是随机现象。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,随机试验的每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率（出现次数与投掷次数之比）随着投掷次数的增加逐渐稳定于1/2。又如,多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因之其分布状况呈现“中间大、两头小”及某种程度的对称性(即近似于正态分布)。大数律及中心极限定理就是描述和论证这些规律性的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。例如，某一电话交换台从一确定时刻起到其后的每一时刻为止所收到的呼唤次数便是一随机过程。又如，微小粒子在液体中因受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也是一随机过程。研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。概率论还是数理统计学的理论基础。 　　发展简史 　概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。16世纪，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷两个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家b.帕斯卡、p. de.费马及荷兰数学家c.惠更斯基于排列组合的方法(见组合数学)研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”（即“得分问题”，见概率）、“输光问题”等等。其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数律；该定理断言:设事件a的概率p(a)=p(0&p&1),若ηn表示前n次独立重复试验中事件a出现的次数,从而σn/n为事件a出现的频率，则当n→∞时， 式中ε为任一正实数。这一结果发表于他死后8年(1713)出版的遗著《推测术》(ars conjectandi)中。这里所说的事件的概率,应理解为事件发生的机会的一个测度,即公理化概率测度(详见后)。1716年前后,a.棣莫弗对p =1/2情形,用他导出的关于n!的渐近公式(，即所谓斯特林公式)进一步证明了  渐近地服从正态分布（德国数学家c.f.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，所以也称为高斯分布）。棣莫弗的这一结果后来被法国数学家p.-s.拉普拉斯推广到一般的p(0&p&1)的情形，后世称之为棣莫弗-拉普拉斯极限定理,这是概率论中第二个基本极限定理（见中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》(1812年出版,后又再版6次)。在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率，见概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。拉普拉斯非常重视概率论的实际应用,对人口统计学尤其感兴趣。继拉普拉斯以后,概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数律及棣莫弗－拉普拉斯极限定理。在这方面，俄国数学家∏.Л.切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数律。次年，又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理；但其证明不严格，后来由a.a.马尔可夫于1898年补证。1901年Α.М.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理。他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。继李亚普诺夫之后，Α.Я.辛钦、Α.Η.柯尔莫哥洛夫、p.莱维及w.费勒等人在随机变量序列的极限理论方面作出了重要贡献。到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论已臻完备。在此期间,由于实际问题的需要,特别是受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。1905年a.爱因斯坦和r.斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。他们用不同的概率模型求得了运动质点的转移密度。但直到1923年，n.维纳才利用三角级数首次给出了布朗运动的严格数学定义，并证明了布朗运动轨道的连续性。1907年马尔可夫在研究相依随机变量序列时，提出了现今称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）的概念；而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫在1931年所奠定。稍后一些时候，辛钦研究了平稳过程的相关理论(1934)。所有这些关于随机过程的研究，都是基于分析方法，即将概率问题化为微分方程或泛函分析等问题来解决。从1938年开始，莱维系统深入地研究了布朗运动，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直觉性，将逻辑与直觉结合起来，倡导了研究随机过程的一种新方法，即概率方法。这种方法的特点是着眼于随机过程的轨道性质。莱维对概率论的另一重要贡献是建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本经典著作。现代概率论的另外两个代表人物是j.l.杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动的随机积分理论。 　　在概率发展史中特别值得一提的是柯尔莫哥洛夫在1933年建立了概率论的公理化体系。 　　概率论公理化体系的建立 　早在拉普拉斯给出概率的古典定义之前，人们就提出了几何概率的概念，这是研究有无穷多个可能结果的随机现象问题的，著名的布丰（曾译蒲丰）投针问题(1777)就是几何概率的一个早期例子。19世纪，几何概率逐步发展起来。但到19世纪末，出现了一些自相矛盾的结果。以著名的贝特朗悖论为例：在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率。此问题可以有三种不同的解答：①由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。设所有交点是等可能的，则所求概率为 1/2 ； ②由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间,其长才合乎要求。设所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 ；③弦被其中点位置惟一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。设中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4 。这个问题之所以有不同解答,是因为当一随机试验有无穷多个可能结果时，有时很难客观地规定“等可能”这一概念。这反映了几何概率的逻辑基础是不够严密的。几何概率这类问题说明了拉普拉斯关于概率的古典定义带有很大的局限性。当严密的概率公理化系统建立后，几何概率才能健康地发展且有广泛的应用。 　　虽然到了19世纪下半叶，概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮流。1900年,d.希尔伯特在世界数学家大会上公开提出了建立概率论公理化体系的问题,最先从事这方面研究的是（j.-）h.庞加莱、波莱尔及伯恩斯坦。关于概率论与测度论有联系这一重要思想就出自波莱尔。伯恩斯坦于1917年构造了概率论的第一个公理化体系。20年代以后，相继出现了 j.m.凯恩斯及r.von米泽斯等人的工作。凯恩斯主张把任何命题都看作是事件。例如,“明天将下雨”，“土星上有生命”,“某出土文物是某年代的产品”,等等。他把一事件的概率看作是人们根据经验对该事件的可信程度，而与随机试验没有直接联系，因此，通常称为主观概率。从凯恩斯起，对主观概率提出了几种公理体系，但没有一种堪称权威。也许，主观概率的最大影响不在概率论领域自身，而在数理统计学中近年来出现的贝叶斯统计学派。和主观概率学派相对立的是以米泽斯为代表的概率的频率理论学派。米泽斯把一事件的概率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的极限，并把此极限的存在性作为他的第一条公理。他的第二条公理是，对随机选取的子试验序列，事件出现的频率的极限也存在并且极限值相等。 　　严格说来，这第二条公理没有确切的数学含义。因此，这种所谓公理化在数学上是不可取的。此外，象某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，在米泽斯理论中是无法定义的。这种频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性，易为实际工作者和物理学家所接受。但随着科学的进步，它又已逐渐被绝大多数物理学家所抛弃。 　　20世纪初完成的勒贝格测度（见测度论）和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。人们通过对概率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究，发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度有相同的性质。到了30年代，随着大数律研究的深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。例如强、弱大数律中的收敛性(见概率论中的收敛)与测度论中的几乎处处收敛及依测度收敛完全类似。在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它们是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之处。这一公理体系一经提出，便迅速获得举世的公认。它的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。 　　现代概率论的内容 　由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了迅速的发展。 　　目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅和随机微分方程，点过程等。此外，包括组合概率（用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率问题）、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，至今仍有人在继续研究，并有新的发展。 　　极限理论是研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性有关的问题的理论。20世纪30年代以后，有关随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计力学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。 　　自1951年m.唐斯克提出不变原理（见随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的一个中心课题。ю.Β.普罗霍洛夫及a.b.斯科罗霍德在这方面作出了最主要的贡献。1964年v.斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域,使许多经典结果的证明得到简化和统一处理,并且还导致一些新的结果。 　　人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松过程，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。 　　在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。 　　20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透到马尔可夫过程的研究中，它与随机微分方程结合在一起，已成为目前处理多维扩散过程的工具。此外，马尔可夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔可夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。最近十多年发展起来的吉布斯随机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理的需要而提出的。 　　许多自然的和生产过程中的随机现象表现出某种平稳性。一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳性。严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳性。关于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完满地解决了有应用意义的预测问题。许多应用问题还要求根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均(arma)模型以及一些非线性模型。 　　鞅是另一类重要的随机过程。从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年，p.a.迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增过程之差的问题。在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，使鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而加以简化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分推广到对一般鞅乃至半鞅的随机积分；因而，更一般的随机微分方程的研究也随之发展。随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔可夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。鞅论还对本学科以外的位势理论、调和分析及复变函数论等提供了有用的工具。 　　点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合上的随机点数目的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年，c.帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观点作了整理和发展。 　　在60年代以前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。以后，由于大量实际问题的需要以及随机测度论和现代鞅论的推动，进一步把实轴上的点过程（即计数过程）推广到一般的可分完备度量空间上，在内容和方法上都有根本性的进展。 　　应用 　概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。概率论作为数理统计学的理论基础是尽人皆知的。下面简略介绍一下概率论本身在各方面的应用情况。 　　在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象,在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。 　　化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。 　　随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生尅模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。 　　许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。排队过程一般不是马尔可夫型的。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。 　　在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到概率论方法。
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