设a为实数,函数f（x）=x2+|x-a|+1,x∈R （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）求f（x）的最小值． 与这道题的方法和思路类似的一道题~\(≧▽≦)/~
a为实数,函数f（x）=x^2+|x-a|+1,x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．分析：第一问考查函数的奇偶性,用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数； 第二问是求最值的题目,先判断函数的单调性再求最值．（1）当a=0时,函数f（-x）=（-x)^2+|-x|+1=f（x）此时,f（x）为偶函数当a≠0时,f（a）=a^2+1,f（-a）=a^2+2|a|+1,f（a）≠f（-a）,f（a）≠-f（-a）此时f（x）既不是奇函数,也不是偶函数（2）①当x≤a时,f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/ 2 )^2+a+3 4当a≤1/ 2 ,则函数f（x）在（-∞,a]上单调递减,从而函数f（x）在（-∞,a]上的最小值为f（a）=a^2+1．若a＞1 /2 ,则函数f（x）在（-∞,a]上的最小值为f(1 /2 )=3 /4 +a,且f(1 /2 )≤f(a)．②当x≥a时,函数f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/ 2 )^2-a+3/4 若a≤-1/2 ,则函数f（x）在（-∞,a]上的最小值为f(-1/ 2 )=3/ 4 -a,且f(-1/ 2 )≤f(a)若a＞-1/2 ,则函数f（x）在[a,+∞）上单调递增,从而函数f（x）在[a,+∞）上的最小值为f（a）=a^2+1．综上,当a≤-1/2 时,函数f（x）的最小值为3/4 -a当-1/2 ＜a≤1 2 时,函数f（x）的最小值为a^2+1当a＞1 2 时,函数f（x）的最小值为3/4 +a． ok?
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设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：(1)当a=0时，f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，∴f(-a)≠f(a)，f(-a)≠-f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)①当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1=+a，若，则函数f(x)在(-∞，a]上单调递减，∴函数f(x)在(-∞，a]上单调递减， ∴函数f(x)在(-∞，a]上的最小值为f(a)=a2+1；若，函数f(x)在(-∞，a]上的最小值为，且； ②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=-a+，若，则函数f(x)在[a，+∞)上最小值为，且；若，则函数f(x)在[a，+∞)上单调递减，∴函数f(x)在[a，+∞)上的最小值是f(a)=a2+1；综上，当a≤时，函数f(x)的最小值是；当时，函数f(x)的最小值是a2+1；当时，函数f(x)的最小值是。
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据魔方格专家权威分析，试题“设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，(1)讨论f(x)的奇偶性；(2..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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(2006重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x．(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析表达式．
主讲：曹浩
(1)因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[x(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2．又由f(2)＝3，得f(3－22＋2)＝3－22＋2，即f(1)＝1．若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a．(2)因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，所以对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0．在上式中令x＝x0，有，又因为f(x0)＝x0，所以，故x0＝0或x0＝1．若x0＝0，则f(x)－x2＋x＝0，即f(x)＝x2－x．但方程x2－x＝x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0．若x0＝1，则有f(x)－x2＋x＝1，即f(x)＝x2－x＋1．易验证该函数满足题设条件．综上，所求函数为f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．
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＞＞＞设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R。（1）求f（x）的单调区间与极值..
设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R。（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当a&ln2-1且x&0时，ex&x2-2ax+1。
题型：解答题难度：中档来源：模拟题
解：（1）由f（x）=ex-2x+2a，x∈R知f'（x）=ex-2，x∈R令f'（x）=0，得x=ln2于是，当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：&故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞）f（x）在x=ln2处取得极小值极小值为f（ln2）=2-2ln2+2a。（2）证明：设g（x）=ex-x2+20ax-1，x∈R，于是g'（x）=ex-2x+2a．x∈R由（1）知当a&ln2-1时，g'（x）取最小值为g'（ln2）= 2（1-ln2+a）&0于是对任意x∈R，都有g'（x）&0，所以g（x）在R内单调递增，于是，当a&ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）&g（0），而g（0）=0从而对任意x∈（0，+∞），都有g（x）&0即ex-x2+2ax-1&0，故ex&x2-2ax+1。
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据魔方格专家权威分析，试题“设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R。（1）求f（x）的单调区间与极值..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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