已知数列an是等差数列{an}与{bn}有如下关系：...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-04 01:20 标签： 已知数列 an 满足a1 1
【考点】；；．【专题】综合题．【分析】根据n=n+1an-1，a+1=an+n可得bn+1=n+1+1an+1-1=n+1an-1)2=b2n＞0，迭代可得数{n}的项公式；利用当n≥时，n+1-1=an-132n-1+1≤110(an-1)，可得3-1≤110(a2-1)，4-1≤110(a3-1)，…，n-1≤110(an-1-1)，以式子累和得n-a1-a2-(n-)≤110[Sn-1-a1-n-2)]，进而利用放缩法证nn+．【解答】解：bn=n+1an-1．当且仅当n=2时等号且2=12(a1+1a1)=54∴10[Sn-a1-a2-（-2）]n-1a-（-2）故3-1≤110(a2-1)，4-1≤110(a3-1)，…，n-1≤110(an-1-1)∴b+1=n+1+1an+1-1=n+1an-1)2=b2n＞0∴n≤252+9-32n-1+132n-1-1∵an+=an+n），∴n=b2n-1=…=32n-1以式子累和得n-a1-a2-(n-)≤110[Sn-1-a1-(n-2]Sn＜n+．得证【点评】本数列递推为载，数列的通项公式考查等式的证明，考放缩法的运用，有难度．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：刘长柏老师　难度：0.46真题：1组卷：4
解析质量好中差
&&&&，V2.20178已知数列｛an｝,｛bn｝满足关系a1=2a,an+1=1/2(an+a＾2/an),bn=（an+a）/（an-a）(n∈N*,a>0)(1)求证：数列{lgbn}是等比数列； (2)证明：an－a/an+1-a=3^2n-1+1(3)设Sn是数列{an}的前n项和,当n≥2时,Sn与(n＋43)a是否有确定的大小关系?若有,请加以证明,若没有,请说明理由．
(1)a1=2a,b1=(a1+a)/(a1-a)=3,b=[(1/2)(an+a^2/an)+a]/[(1/2)(an+a^2/an)-a]=[(an+a)/(an-a)]^2=bn^2,∴lg(b)=2lgbn,∴数列{lgbn}是等比数列.(2)lgbn=(lgb1)*2^(n-1)=lg3*2^(n-1),∴(an+a)/(an-a)=bn=10^[lg3*2^(n-1)]=3^[2^(n-1)],∴{3^[2^(n-1)]-1}an=a{3^[2^(n-1)]+1},∴an=a{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)]-1},∴(an-a)/(a-a)=（{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)]-1}-1）/{[3^(2^n)+1]/[3^(2^n)-1]-1}注意：3^(2^n)={3^[2^(n-1)]}^2,分子,分母都乘以[3^(2^n)-1],得3^[2^(n-1)]+1.(3)an=a{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)]-1}=a(1+2/{3^[2^(n-1)]-1})=a(1+1/{3^[2^(n-2)]-1}-1/{3^[2^(n-2)]+1}),∴n>=2时Sn=a(n+1+1/2-1/4+1/8-1/10+……+1/{3^[2^(n-2)]-1}-1/{3^[2^(n-2)]+1})
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