& 奇偶性与单调性的综合知识点 & “已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定...”习题详情
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已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+f（t）＜0．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+...”的分析与解答如下所示：
（1）函数是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，再结合f(12)=25联解，可得a、b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）设-1＜x1＜x2＜1，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，经过讨论可得f（x1）＜f（x2），由定义知f（x）是（-1，1）上的增函数．（3）根据f（x）是奇函数且在（-1，1）上是增函数，得原不等式可化为t2-1＜-t…①，再根据函数的定义域得-1＜t2-1＜1且-1＜t＜1…②，联解①②可得原不等式的解集．
解：（1）∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵f(12)=25，∴12a1+14=25，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：f(x)=x1+x2．（2）设-1＜x1＜x2＜1，则&f(x1)-f(x2)=x11+x21-x21+x22=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x21)(1+x22)∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在（-1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴f（t2-1）+f（t）＜0即为f（t2-1）＜-f（t）=f（-t），又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，∴f（t2-1）＜f（-t）即为t2-1＜-t，解之得：-1+√52＜t＜-1+√52…①又∵{-1＜t2-1＜1-1＜t＜1，解之得-1＜t＜1且t≠0…②对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，-1+√52)．所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，-1+√52)．
本题给出含有字母参数的分式函数，在已知奇偶性的前提下求函数的解析式，并且讨论的函数的单调性，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．
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已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t...
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经过分析，习题“已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+...”主要考察你对“奇偶性与单调性的综合”
等考点的理解。
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奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】【解题方法点拨】【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
与“已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+...”相似的题目：
定义域[-1，1]上的偶函数f（x），当x∈[0，1]时为减函数，求不等式f(12-x)＜f(x)的解集．
若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（-3）=0，则使得x[f（x）+f（-x）]＜0的x的取值范围是&&&&．
函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时是增函数，则不等式f(2x+12)＜0的解集为&&&&．
“已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是（　　）
2已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（-1）+g（1）=2，f（1）+g（-1）=4，则g（1）等于（　　）
3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是单调递减的是（　　）
该知识点易错题
1已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是（　　）
2定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（　　）
3已知函f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，判断f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断．
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提问编号39210
已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义域在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/51)求函数f(x)的解析式(2)用函数单调性定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数(3)解不等式f(t-1)+f(t)&f(0)
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＞＞＞已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，..
已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，都有f （x1·x2）=f（x1）+f（x2），且当x&1时，f（x）&0，f（2）=1。（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式：f（2x2-1）&2。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1）再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0， 于是有f（-x）=f（x） ∴f（x）是偶函数；&（2）设0&x1&x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-由于0&x1&x2∴从而故f（x1）-f（x2）&0，即f（x1）&f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）由于f（2）=1，所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），于是待解不等式可化为f（2x2-1）&f（4）结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|&4解得。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性、最值，绝对值不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性、最值绝对值不等式
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。绝对值不等式：
当a&0时，有；或x＜-a 。绝对值不等式的解法：
&&&&&&&&&& (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法去绝对值符号求解，也可以用图象法求解。
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