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已知函数f(x)=x+2a2x-alnx&&(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）因为f（x）=x+2a2x-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-2a2x2-ax=x2-ax-2a2x2=(x+a)(x-2a)x2，①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．（2）当a=1时，f（x）=x+2x-lnx(x＞0)．由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=3-ln2．因为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）min≥g（x）恒成立，即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，即2b≥x+1x对于任意x∈[1，e]恒成立，因为函数y=x+1x的导数y′=1-1x2≥0在[1，e]上恒成立，所以函数y=x+1x在[1，e]上单调递增，所以(x+1x)max=e+1e，所以2b≥e+1e，所以b≥e2+12e，故实数b的取值范围为[e2+12e，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（..”考查相似的试题有：
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（高二数学）16． 中，角，，所对的边分别为，，，且满足，的面积为．
（1）求角的大小；&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）若，求边长．
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站长：朱建新（本小题满分7分）设函数f(x)=|x－4|+|x－3|,（Ⅰ）求f(x)的最小值m（Ⅱ）当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.(Ⅰ)法1:f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1,故函数f(x)的最小值为1.m=1.…………4分法2:.------------------1分x≥4时,f(x)≥1;x&3时,f(x)&1,3≤x&4时,f(x)=1,----------------3分故函数f(x)的最小值为1.m=1.…………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分故a2+b2+c2≥-…………6分当且仅当时取等号…………7分[福州3月质检]福建省福州市2014届高三毕业班质检数学（理）试题解析
(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1,故函数f(x)的最小值为1.? m=1. …………4分 法2:.------------------1分x≥4时,f(x)≥1;x&3时,f(x)&1,3≤x&4时,f(x)=1,----------------3分故函数f(x)的最小值为1.? m=1. …………4分 (Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分故a2+b2+c2≥-…………6分当且仅当时取等号…………7分相关试题& 利用导数研究函数的单调性知识点 & “已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/...”习题详情
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已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．（Ⅰ）&当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=14时，（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．（ii）&对于任意x1，x2∈（1，2]都有|f(x1)-f(x2)|≤λ|1x1-1x2|，求λ的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-泗阳县模拟
分析与解答
习题“已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/x-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=1/4时，（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（...”的分析与解答如下所示：
（I）由已知中函数的意义域为R+，由已知中的函数解析式，求出导函数的解析式，分a=0，a=12，0＜a＜12，12＜a＜1，a≥1五种情况分别讨论，最后综合讨论结果，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）（i）由（I）的结论，我们可得当a=14时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，则f（x1）≥g（x2），可转化为f(x1)≥f(1)=-12≥f（x2），由g（x）=x2-2bx+4，我们易由函数恒成立问题的处理方法，求出满足条件的实数b取值范围．（ii）&由（I）中结论函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数y=1x在（1，2]是减函数，则|f(x1)-f(x2)|≤λ|1x1-1x2|等价于f(x2)-f(x1)≤λ(1x1-1x2)，构造函数h(x)=f(x)+λx，可得函数h（x）是减函数，根据h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可构造关于λ的不等式，解不等式即可得到答案．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′(x)=1x-a-1-ax2=-ax2+x+a-1x2，所以当a=0时，f′(x)=x-1x2，令f′(x)=x-1x2＞0得x＞1，所以此时函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）是减函数；-----------------------------（2分）当a=12时，f′(x)=-x2+2x+a-12x2=-(x-1)22x2≤0，所以此时函数f（x）在（0，+∞）是减函数；当0＜a＜12时，令f′(x)=-ax2+x+a-1x2＞0，解得1＜x＜1a-1，此时函数f（x）在(1，1a-1)是增函数，在(0，1)和(1a-1，+∞)上是减函数；----------------------------------------------（4分）当12＜a＜1，令f′(x)=-ax2+x+a-1x2＞0，解得1a-1＜x＜1，此时函数f（x）在(1a-1，1)是增函数，在(0，1a-1)和(1，+∞)上是减函数；-----------------------------------------（6分）当a≥1，由于1a-1≤0，令f′(x)=-ax2+x+a-1x2＞0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）上是减函数．--------------------------------------------（8分）（Ⅱ）&（i）当a=14时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2），有f(x1)≥f(1)=-12，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-12≥g(x2)，x2∈[1，2]，即存在x∈[1，2]，使g(x)=x2-2bx+4≤-12，即2bx≥x2+92，即2b≥x+92x∈[174，112]，所以2b≥174，解得b≥178，即实数b取值范围是[178，+∞)．--------------------（12分）（ii）不妨设1＜x1≤x2≤2，由函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数y=1x在（1，2]是减函数，∴|f(x1)-f(x2)|≤λ|1x1-1x2|等价于f(x2)-f(x1)≤λ(1x1-1x2)，所以f(x2)+λ1x2≤f(x1)+λ1x1设h(x)=f(x)+λx=lnx-14x+34x+λx是减函数，所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即34+λ≥x-14x2=-14(x-2)2+1，解得λ≥14．---------（16分）
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，其中（1）的关键是对a值进行分类讨论，而（2）的关键是构造函数h(x)=f(x)+λx，进而根据函数h（x）是减函数，则h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，构造关于λ的不等式．
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已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/x-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=1/4时，（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2...
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经过分析，习题“已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/x-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=1/4时，（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（...”主要考察你对“利用导数研究函数的单调性”
等考点的理解。
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利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性．
与“已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/x-1（a∈R）．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=1/4时，（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（...”相似的题目：
已知函数f(x)=ax+1x+2在区间（-2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围组成的集合为（　　）(-∞，12)(12，+∞)(-∞，-12)(-12，+∞)
定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对一切x∈R都有f′（x）＜4，则不等式f（x）＞4x-3的解集是&&&&．
已知函数f（x）=alnx+12x2-2x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是&&&&．
“已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/...”的最新评论
该知识点好题
1设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）
2函数y=12x2-lnx的单调递减区间为（　　）
3已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（　　）
该知识点易错题
1（2011o安徽）函数f（x）=axn（1-x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（　　）
2设p：f（x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x2-4x+3m不存在零点则p是q的（　　）
3若0＜x＜π2，则2x与3sinx的大小关系（　　）
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选修4-5：不等式选讲&& 设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f(x)≥4a+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：洛阳模拟
（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）f(x)≥4a+1对任意的实数x恒成立|x+1|+|x-4|-1≥a+4a对任意的实数x恒成立a+4a≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+4a≥2ao4a=4，当且仅当a=4a即a=2时上式取等号，此时a+4a≤4成立．综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪{2}．
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据魔方格专家权威分析，试题“选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a．（1）当a=1时，求函数..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
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