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已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=-103时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：天津
（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．当a=-103时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．令f'（x）=0，解得x1=0，x2=12，x3=2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）在(0，12)，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），(12，2)内是减函数．（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．解些不等式，得-83≤a≤83．这时，f（0）=b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是[-83，83]．（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a2-64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，当且仅当f(1)≤1f(-1)≤1，即b≤-2-ab≤-2+a，在a∈[-2，2]上恒成立．所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=-103时，讨..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=-103时，讨..”考查相似的试题有：
459408562617802520403930397022450325若奇函数f(x)在（-∞,0]上单调递增,则不等式f(lgx)+f(1)＞0的解集是_百度作业帮
若奇函数f(x)在（-∞,0]上单调递增,则不等式f(lgx)+f(1)＞0的解集是
若奇函数f(x)在（-∞,0]上单调递增,则不等式f(lgx)+f(1)＞0的解集是
因为f(x)为奇函数所以有f(x)=-f(-x)不等式f(lgx)+f(1)＞0等价于f(lgx)>-f(1）=f(-1)因为f(x)在(-∞,0]上单调递增又f(x)为奇函数所以f(x)在R上单调递增不等式等价于lgx>-1所以,不等式f(lgx)+f(1)＞0的解集是x>1/10
奇函数f(x)在（-∞，0]上单调递增所以函数在定义域上是单调递增的f(lgx)+f(1)＞0f(1)>-f(lgx)=f(-lgx)=f[lg(1/x)]得lg(1/x)<1得1/x<10所以 x>1/10若函数f（x）=log（10^x+1)+ax是偶函数，g（x）=(4^x-b）&#47;2^x是奇函数，则a+b为_百度知道
若函数f（x）=log（10^x+1)+ax是偶函数，g（x）=(4^x-b）&#47;2^x是奇函数，则a+b为
同乘以什么，奇函数f（-x）=-f（x）然后代进去求;（10^-x+1)要怎么求，（10^x+1)&#47，不过我知道偶函数是f(-x)=f（x）;2^x+(4^-x-b）&#47;2^-x=0怎么求？麻烦写出详细步骤，还有(4^x-b）&#47
提问者采纳
(10^x+1)]=lg [(1+10^x)/10^x]=-x所以2a=-1a=-1/10^x(10^x+1)]=lg [1/2g（x）=(4^x-b）/2+1=1/2^x是奇函数则g(-x)=(4^-x-b)/2^-x=(1-b*4^x)/2^x所以1-b*4^x=b-4^x(1-b)*4^x=b-1所以b=1故a+b=-1/2^x=-g(x)=-(4^x-b)&#47f（x）=lg（10^x+1)+ax是偶函数f(-x)=lg (10^-x+1)-ax=f(x)=lg(10^x+1)+ax2ax=lg [(10^-x+1)&#47
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懂了，谢谢你
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出门在外也不愁若函数y=f(x+1/2)为奇函数，且g(x)=f(x)+1，则f(1-x)+f(x)=?&br/&&br/&已知函数f(x)=x^3-tx^2+3x,若对任意的a∈[1,2],b∈(2,3]，函数f(x)在区间（a,b）上单调递减，则实数t的取值范围是？&br/&&br/&需要详解，越详细越好，帮帮高三党~
若函数y=f(x+1/2)为奇函数，且g(x)=f(x)+1，则f(1-x)+f(x)=?已知函数f(x)=x^3-tx^2+3x,若对任意的a∈[1,2],b∈(2,3]，函数f(x)在区间（a,b）上单调递减，则实数t的取值范围是？需要详解，越详细越好，帮帮高三党~
解：设h(x)=f(x+1/2)，则h(x)为奇函数，故h(-z)=-h(z)，即f(-z+1/2)=-h(z+1/2)令z=1/2-x代入上式得到：f(x)=-f(1-x)，所以就有：& & & & & & &f(1-x)+f(x)=0。若函数f(x)=x^3-tx^2+3x，则f'(x)=3x^2-2tx+3=3(x-t/3)^2+3-t^2/3由于对任意的a∈[1,2],b∈(2,3]，函数f(x)在区间(a,b)内单调递减，故f'(x)&=0于是当1&t/3&3时，有f'(1)&=0，且f'(3)&=0，解得5&=t&9当t/3&=3时，有f'(1)&=0，解得t&=9当t/3&1时，有f'(3)&=0，此时t无解综合上述三种情况就得到t&=5.所以实数t的取值范围是：t&=5.
为什么要令z=1/2-x？
当1&t/3&3时
当t/3&=3时
当t/3&1时为什么要这要取值？
这是分类讨论的思想与需要，分类时要做到不重复不遗漏。
的感言：真心佩服你，谢谢！ 相关知识
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＞＞＞设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2..
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围．
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（Ⅰ）当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，则f（x）=-f（-x）=2x3-5ax2+4a2x-b．当x=0时，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；∴f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b，(-1≤x＜0)2x3-5ax2+4a2x-b，(0＜x≤1)f(0)=0；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f′（x）=6x2-10ax+4a2=2（3x-2a）（x-a）=6（x-2a3）（x-a）．①当23＜2a3＜1，即1＜a＜32时，当x∈（0，2a3）时，f′（x）＞0，当x∈（2a3，1]时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，2a3）单调递增，在（2a3，1]上单调递减，∴g（a）=f（2a3）=2827a3-b．②当1≤2a3≤2，即32≤a≤3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1]单调递增．∴g（a）=f（1）=4a2-5a+2-b，∴g（a）=2827a3-b，(1＜a＜32)4a2-5a+2-b，(32≤a≤3)（Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．①当1＜a≤32时，g′（a）=289a2＞0，此时g（a）在（1，32）上是增函数，则g（a）＜2827(32)3-b=72-b．∴72-b≤0，解得b≥72；②当32≤a≤3时，g′（a）=8a-5＞0，此时，g（a）在[32，3]上是增函数，g（a）的最大值是g（3）=23-b．∴23-b≤0，解得b≥23．由①、②得实数b的取值范围是b≥23．
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据魔方格专家权威分析，试题“设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的最值与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
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&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2..”考查相似的试题有：
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