【已知定义在R上的函数y=fx满足f(2+x)=f(2-x)，且fx是偶函数，当x∈[0,2]时,fx=2x-1,求x∈[-4,0]时fx的表达】-突袭网
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解决方案1：0]于是f(2+x)＝2x-1令2+x＝tx＝t-2f(t)＝2（t-2）-1 ＝2t-5所以x∈[-4,0]时f(x)=2x-1令x∈[-4,2]时,0]则2+x∈[-2,f(x)=2x-1f(x)是偶函数则f(-x)=f(x)x∈[-2x∈[0已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=3，f′（x）-1＜0，则不等式f（x2）＜x2+1的解集为．
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（2011）=．
20、已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时、f（x）＞-1；（I）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；（II）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1-x）＞4．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，f（x+1）=-f（x），且当0＜x＜时，f（x）=lgx；设，则（　　）
A、a＜b＜cB、b＜a＜cC、c＜a＜bD、c＜b＜a
&一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BBADDCAC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）（9）2　　（10）,8　　（11）（-∞,-1）∪（-1,1）　　（12）16, （13）　　（14）204,53三、解答题（本大题共6小题,共80分.）（15）（共12分）解：（Ⅰ）由已知可得f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx…………………………1分=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx=cos2x+3sinxcosx-2sin2x=（1+cos2x）+sin2x+（cos2x-1）=（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）－…………………6分由-&2x+&+得： -&x&+…………………8分即函数f（x）的单调递增区间为（-,+）（k∈Z）.…………9分（Ⅱ）由（Ⅰ）有f（x）=sin（2x+）－,∴f（x）max=.…10分所求x的集合.…………………………………12分（16）（共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME. ……………………………………1分∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点.∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线.∴ME∥SB. ……………………………………………………………………2分又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM,………………………………………3分∴SB∥平面ACM.
……………………………………………………………4分（Ⅱ）解：取AD中点F，则MF∥SA.作FQ⊥AC于Q,连结MQ.
……………5分∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD.∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影.∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC.∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角.……………………………………7分设SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=SA=,FQ=DE=,∴tanFQM==.∴二面角D-AC-M的大小为arctan.……………………………………9分（Ⅲ）证明：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴AM⊥DC.…10分又∵SA=AD,M是SD的中点，∴AM⊥SD.∴AM⊥平面SDC.………………………………………………………11分∴SC⊥AM.由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………14分方法二：解：（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz,5分由SA=AB,故设AB=AD=AS=1,则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，）.∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0，0，1）.设平面ACM的法向量为n=（x，y，z），=（1，1，0），=（，0，），………………7分令x=1，则n=（1，-1，-1）.………………………………………………………8分∴cos&，n&===.∴二面角D-AC-M的大小为arccos.…………………………………………9分（Ⅲ）∵=，=（-1，-1，1），…………………………………………10分∴?==0.∴⊥.…………………………………………………………………………12分又∵SC⊥AN且AN∩AM=A，∴SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN. ……………………………………………………………14分（17）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A，……1分P（A）=（0.3）3（0.7）=0.0756………………………………………………4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为0.0756.（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B，………………5分P（B）=1-（0.6）4=1-0.4………………………………………………8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为0.8704.（Ⅲ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅”的事件为C，………9分因为有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30%.所以P（C）=（0.3）2（0.7）2=0.2646………………………………………12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30%，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：（Ⅰ）设抛物线S的方程为y2=2px.
…………………………………………………1分由可得2y2+py-20p=0.……………………………………………………3分由Δ&0，有p&0，或p&-160.设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=,∴x1+x2=（5-）+（5-）=10-=10+…………………………………5分设A（x3，y3），由△ABC的重心为F（，0），则，，∴x3=-10，y3=.∵点A在抛物线S上，∴=2p（）.∴p=8.…………………………6分∴抛物线S的方程为y2=16x. …………………………………………………………7分（Ⅱ）当动直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y=kx+b，显然k≠0，b≠0. ………………………………………8分设P（xp，yp），Q（xQ，xQ），∵OP⊥OQ，∴kOP?kOQ=-1.∴?=-1，∴xPxQ+yPyQ=0.
…………………………………………………10分将y=kx+b代入抛物线方程，得ky2-16y+16b=0，∴yPyQ=.从而xPxQ==，∴=0.∵k≠0，b≠0，∴b=-16k，∴动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）.此时动直线PQ过定点（16，0）.…………………………………………………12分当直线PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又OP⊥OQ，∴△POQ为等腰直角三角形.由得到P（16，16），Q（16，-16）.此时直线PQ亦过点（16，0）.……………………………………………………13分综上所述，动直线PQ过定点M（16，0）.………………………………………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a&0），∴（x）=3ax2+2bx-a2（a&0）………1分依题意有，∴.……………………………2分解得∴f（x）=6x3-9x2-36x.…………………………………………………4分（Ⅱ）∵=3ax2+2bx-a2（a&0）依题意，x1，x2为方程=0的两个根，且|x1|+|x2|=，∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8.∴∴b2=3a2=（6-a）.∵b2≥0，∴0&a≤6.……………………………………………………………………6分设p（a）=3a2（6-a），则（a）=-9a2+36a.由（a）&0得0&a&4，由（a）&0得a&4.即函数p（a）在区间（0，4）上是增函数，在区间［4，6］上是减函数，∴当a=4时，p（a）有极大值为96，∴p（a）在（0，6］上的最大值是96.∴b的最大值为4.…………………………………………………………………9分（Ⅲ）证明：∵x1，x2是方程的两根，∴＝3a（x-x1）（x-x2）.………………………………………………………10分∵x1?x2=-，x2=a，∴x1=-.∴|g（x）|=|3a（x+）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|∵x1&x&x2，即-&x&a.∴||=a（x+）（-3x+3a+1）…………………………………………………12分∴||=-3a（x+）（x-）=-3a++a2+≤+a2+=.……………………………………………………14分∴||≤成立.（20）（共14分）解：（Ⅰ）令x=1，y=0∴f（1）f（0）＝f（1）+f（1）.∵f（1）=，∴f（0）=2…………………………………………………………1分令x=0，∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）∴f（y）=f（-y），对任意实数y总成立，∴f（x）为偶函数.……………………3分（Ⅱ）令x=y=1，得f（1）f（1）=f（2）+f（0）.∴=f（2）+2.∴f（2）=.∴a1=2f（2）-f（1）==6.…………………………………………………5分令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）.∴f（n+2）=f（n+1）-f（n）.…………………………………………………6分∴an+1=2f（n+2）-f（n+1）=2［f（n+1）-f（n）］-f（n+1）=4f（n+1）-2f（n）=2［f（n+1）-f（n）］=2an（n≥1）.………………8分∴{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列.…………………………………9分（Ⅲ）结论:f（x1）&f（x2）.证明：设y≠0，∵y≠0时，f（y）&2，∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）&2f（x），即f（x+y）-f（x）&f（x）-f（x-y）.∴对于k∈N，总有f［（k+1）y］-f（ky）&f（ky）-f［（k-1）y］成立.∴f［（k+1）y］-f（ky）&f（ky）-f［（k-1）y］&f［（k-1）y］-f［（k-2）y］&…&f（y）-f（0）&0.∴对于k∈N总有f［（k+1）y］&f（ky）成立.∴对于m，n∈N，若n&m，则有f（ny）&…&f（my）成立.∵x1，x2∈Q，所以可设|x1|=，|x2|=，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数,则|x1|=,|x2|=.令y=，t=q1p2，s=p1q2，则t，s∈N.∵|x1|&|x2|，∴t&s.∴f（ty）&f（sy），即f（|x1|）&f（|x2|）.∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x1|）=f（x1），f（|x2|）=f（x2）;∴f（x1）&f（x2）.…………………………………………………………14分&说明：其他正确解法按相应步骤给分.&
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，对任意x、y满足f（x-y）=f（x）og（y）-g（x）of（y），且f（-2）=f（1）≠0，则g（1）+g（-1）=（　　）A. -1B. 1C. 2D. -2
浮生若梦°供壣
令x=y=0，代入已知等式得f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0，得f（0）=0，再令y=0，x=1，代入已知等式得f（1）=f（1）g（0）-g（1）f（0），可得f（1）[1-g（0）]=g（1）f（0）=0，结合f（1）≠0得1-g（0）=0，g（0）=1再令x=0，代入已知等式得f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y），将f（0）=0，g（0）=1代入上式，得f（-y）=-f（y），∴函数f（x）为奇函数．再令x=1，y=-1代入已知等式，得f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）∵f（-1）=-f（1），∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]又∵f（2）=-f（-2）=-f（1）∴-f（1）=f（1）[g（-1）+g（1）]，即f（1）[g（-1）+g（1）+1]=0∵f（1）≠0，∴g（-1）+g（1）+1=0得g（1）+g（-1）=-1故选A
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先采用赋值法，求出f（0）=0，g（0）=1，然后在已知等式中取x为0，即可证出函数f（x）是奇函数，最后取x=1，y=-1代入已知等式，结合前面求出的数据，变形整理可得f（1）[g（-1）+g（1）+1]=0，结合已知条件可得g（1）+g（-1）=-1．
本题考点：
抽象函数及其应用；函数的值．
考点点评：
本题以一个特殊函数为例，叫我们求一对互为相反数的自变量所对应的函数值的和，考查了函数的奇偶性和赋值法在抽象函数中的应用等知识，属于基础题．抽象函数性质的探究，赋值是一个主要的手段
令x=y=1得f(0)=0令x=1,y=0,得f(1)=f(1)g(0)-g(1)f(0)=f(1)g(0)，因为f(1)≠0则g(0)=1令x=0,y=1,得f(-1)=f(0)g(1)-g(0)f(1)=-g(0)f(1)=-f(1)令x=-1,y=1,得f(-2)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)]，得g(1)+g(-1)=-1
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＞＞＞定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..
定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy& ②f(0)=0，f(π2)=1．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）求f（x）；（3）求f（x）+cosx+f（x）ocosx的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．（2）令y=π2，得f(x+π2)+f(x-π2)=2f(x)cosπ2=0令x=π2，y=x，得f(x+π2)+f(π2-x)=2f(π2)cosx=2cosx由（1），f（x）是奇函数，f(x-π2)+f(π2-x)=0两式相加：2f(x+π2)=2cosx∴f(x)=cos(π2-x)=sinx（3）即求y=sinα+cosα+sinαocosα的最大值设sinα+cosα=t=2sin(x+π4)，则t∈[-2，2]，且t2=（sinα+cosα）2=1+2sinαocosα，即sinαocosα=t2-12∴y=t+t2-12=12t2+t-12，t∈[-2，2]∴t=2时，ymax=2+12
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据魔方格专家权威分析，试题“定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，二次函数的性质及应用，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性二次函数的性质及应用函数解析式的求解及其常用方法
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
发现相似题
与“定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..”考查相似的试题有：
556320864498552862556375627245519192定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则（i）f（2）=______；（ii）f（-2）=______．
（i）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy令x=y=1∵f（1）=2，∴f（1+1）=f（2）=f（1）+f（1）+2=6（ii）令x=y=0则f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0令x=2，y=-2则f（0）=f（2）+f（-2）-8=6+f（-2）-8=0解得f（-2）=2故答案为：6，2
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根据关系式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0求出f（0），再令x=y=1，求出f（2），x=2，y=-2，可求出f（-2的值．
本题考点：
抽象函数及其应用．
考点点评：
本题主要考查已知函数的关系式求函数值的问题．这里经常取一些特殊点代入，要注意特殊点的选取技巧．
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