高中数学,指数函数运算性质_百度作业帮
高中数学,指数函数运算性质x∧（3／2）=x，（√x）∧3=x，√（x∧3）=x，这三题写得对不对？？？我觉得√（x∧3）更该等于|x|，到底哪个队？？
你这么写应该都对- -.不考虑复数的情况下 对X开根号必然是X>0.这样右边加不加绝对值就无所谓了~反正都是正数、考虑复数的情况就不一样了~得出的结果就要加绝对值.
您可能关注的推广2.1.1 指数与指数幂的运算练习题及答案解析免费下载|试题|试卷|必修1|新课标人教版
按教材浏览：
当前位置：>>>>>2.1.1 指数与指数幂的运算练习题及答案解析下载详细
2.1.1 指数与指数幂的运算练习题及答案解析下载
2.1.1 指数与指数幂的运算练习题及答案解析
新课标人教版
☆☆☆☆☆
本站所有资源永久免费下载,不用注册!点击顶部的教材,可以浏览相应教材的最新资源.点击上面"进入下载地址列表"链接,进入下载地址.
本站课件、试题、教案等免费下载。大多是rar压缩包，解压缩后是ppt、doc、swf、exe等<param name="movie" value="banner.swf"
数学教研组
最近更新：
高中数学新课程的远程培训:对数运算 第一讲
高中数学新课程的远程培训:对数运算 第一讲
时间： 9:06:05&&
浏览次数：1349
嘉宾&单位&职称王尚志&首都师范大学&教授&&张思明&北大附中&特级教师李大永&首师大附中&高级教师吕宝珠&北京四中&高级教师&&&&主持人：各位老师大家好！欢迎大家继续参加高中数学新课程的远程培训，我们这一讲是整个课程的第五讲，我们选择的专题是以对数运算为载体，来讨论如何进行运算的教学，首先我先来介绍一下到场的各位嘉宾。最右端的这位是我们大家都熟悉的首都师范大学教授、博士生导师王尚志老师，我这边这位是北京四中的吕宝珠老师，我身边这位是首都师范大学附属中学的李大永老师，欢迎各位参与我们讲课的活动，刚才介绍了这一讲我们主要是要说对数运算，首先请王老师为我们破一下题，为什么我们要以对数运算为载体来选择这个内容。以对数运算的教学作为载体，&& 王老师：就像我们讨论单调性一样，那是函数的一个重要内容，运算是我们高中数学中需要关注的另外一个主线的内容，那么在高中的课程中我们会学习很多新的运算，过去我们没有见过的运算，比如说指数运算，对数运算，三角恒等变形--我们也可以把它理解成为一个运算，另外还有对数运算、复数运算等等，那么在诸多的运算中需要关注哪些东西呢？我想有三件事是需要关注的：第一个就是运算的对象算什么；第二个是运算的法则根据什么，必须满足什么；第三个就是如何来运用运算去解决一些问题。那么我们选择了其中一个比较对学生学习和教学上有一定难度的对数运算，作为我们的一个突破口，因为对于指数运算，相比对数运算来说，它的运算法则更容易理解一点，简单的说就是5个a相乘再乘上6个a相乘一定等于11个a相乘，所以我们就有 ，或者等于 ，学生一般都有这个直观，但是对于对数来说有一定困难，所以我们就想以对数运算作为载体来看我们怎么样处理好这样的一个技能课的教学，帮助学生更好的理解对数运算的法则，并且能够逐步的在以后的课程中帮助学生用好对数运算去解决某些问题，这可能是我们的一个考虑。&&& 第二点就是技能课的教学问题。这也是我们需要突破的一个地方，我们通常有概念课、技能课、证明课等等，那么这种技能课怎么上，怎么上的有效率，这是我们设计的一个基本思考。
主持人：王老师对于我们选择这个内容做了一些分析。为了使老师们对这个内容的教学设计，有一个比较具体的理解，或者说有一个直接的感受，我们特别邀请了吕宝珠老师、李大永老师，对我们这个内容的教学设计，谈一谈他们的思考，先请吕老师来谈一谈。&&&&& 吕老师：首先我从数学的角度来谈一下对数运算的教学。从数学角度分析对数我想应该有以下几个方面的考虑：第一个方面是从教学内容的顺序上来讲，学生学习对数函数和指数函数是在学习了函数的概念和性质以后进行的，所以这部分内容应该说是函数概念和性质的一个深化，所以这部分内容的教学对于学生理解好函数的概念，以及他们的性质具有提高和巩固的作用。所以，这部分内容在数学上来讲应该比较重要。&&& 第二个内容是从对数函数来讲和指数函数来讲，它们是一个非常重要的基本初等函数，为什么说它们是基本初等函数呢？可以从两个方面来考虑。首先从现实生活来看，我们经常碰到的国民经济增长、人口的增长、细胞分裂、放射性物质的衰变等等这些问题，都需要用指数函数和对数函数这样的函数模型来刻画。第二个是从数学的角度来讲，特别是从大学数学后继课程的学习来看，在大学里面有很多复杂的函数可以用指数函数和对数函数近似的表达，特别是在大学数学里面微分方程的很多解也是表达成指数函数的组合。所以从它们的应用和后继课程的学习来看，对数函数和指数函数具有基础性，也是非常重要的，所以我们认为它们是非常重要的基本初等函数。&&& 第三个方面是从指数和对数运算来讲，对数不仅是一个重要的概念而且也是一个运算，从概念上来讲学生在认知上，特别是对数函数的符号认识上可能会存在一定的问题，因为对数函数跟我们以前学的运算表达不太一样，因为这个里面首先是用英文字母来表达，其次把这个运算符号置于那两个数字的前面，所以学生从这个符号再到理解它的数学意义，可能会存在一定的认知障碍。另外从运算上来讲，对数是一种非常重要的非线性运算，我们以前学习的数学运算主要都是线性运算，学了对数以后实际上为我们学生学习运算引入了新的对象，它是非线性的，比如说我们常知道它的运算性质就是积的对数等于对数的和，这个还可以从映射的角度看。在今后的数学学习过程当中我们还会遇到这个非线性运算，比如说我们后面学习三角函数还会遇到，如两角和的正弦。所以这是我们训练学生运算的一个非常重要的载体。
主持人：那么宝珠从数学上做了一些分析，这是帮助我们确定内容的一个基础思考，做教材设计的时候需要有这样的一些思考。王老师，从大学角度来看，对数函数或者说对数运算它的重要性还有哪些方面？王老师：我觉得对数的重要性，第一反映了一种变化的趋势，对数需要从两个角度来看，一个是把它当作一个运算对象来看，一个是把它当作一个函数对象来看，这两个角度略有一些差异但是又有密切的联系，作为一个函数来说对数应该是一个反映一类变化规律的基本函数，就是它增长速度比较慢，指数增长速度比较快，我们通常所说的幂函数是位于指数和对数之间的一个增长，所以从增长规律来说它是一类非常重要的函数。&&& 另外一种是刚才宝珠在介绍的时候谈到了，在我们将来处理一些微分方程积分方程时，将来对数函数和指数函数都是表示微分方程、积分方程可解的基本函数。所以它是比较重要的。&&& 那么从运算的角度来说，就像宝珠刚才介绍的，以前学过的大部分运算，像数的运算，多样式的运算，大部分都是线性运算。从高中开始，指数运算、对数运算、三角恒等变形，我们如果把它看作运算这些都是非线性的。所以我们在高中阶段会提供包括对数运算在内的比较丰富的一些数学内容。
主持人：那么我也想说在教学设计的过程中，因为这段内容刚才吕老师提到对学生有很多新的难点，因为这个运算不熟悉，看着都特别别扭，所以做好这段教学很重要的就是要结合学生考虑，这段内容学生到底困难在哪？我们特别想听听李老师对这段内容的分析。
李老师：我想从以下几个方面来说。第一个就是学生的学习运算的习惯。学生在学习运算的时候习惯上比较重视那种操作性的方法，而忽视了操作的依据也就是算理，从而这种习惯就造成了他学习方式上带来了更侧重于机械记忆这种操作形式，而这样的一种方式同时又带来了一个后果，就是容易遗忘或者说混淆那些运算的法则，而学生在自己对这个问题的归因的时候往往是一种错误的归因，结果把它归因成忘了、没记住，我忘性比较大。而这种错误的归因进一步加深了我要更好的记忆这个公式。这是一个问题，就是学习习惯造成的。&&& 第二个方面应该说模仿是人学习的一个天性。小时候学的很多事情都是靠模仿学来的，这个是人的思维相似的规律性造成的，事物的发展和事物的某些条件在具有相似条件下，往往有时候我们的结果有一些相似性。那么，学生模仿学习本身我觉得可以分为两种，一种是学生比较天然的模仿，还处于自然状态就是偏感性，那么偏感性的特点就是他有一定盲目性，而且对自己模仿的后果是缺少批判的。还有一种是经过学习更侧重于理性，就是偏理性的学习。这样他的学习他的模仿实际上有一定的能动性在里面，对自己模仿的结果有一定的批判性。这个模仿学习的发生的条件我想一般的学生，特别是处于一种未知状态的时候，或者在面对情况不确定的情况下，另外再加上他有一个比较强的动机--我要完成这件事情，这样就促成他模仿，而这种模仿，往往是一种偏感性的模仿，像学生在遇到一个新的运算，比如他开始学习根式运算的时候， ，和的开方运算他可能就进行分别开方然后再相加，就可能出现这种情况。那么这个是很自然的把开方运算和加法运算的分配律从乘法与加法的分配律迁移过来，但是他又缺少对这个的判断。这是一个方面。&&& 第三个方面，我觉得对对数学习的一个认知基础，刚刚吕老师也提到学生对对数符号的理解，学生往往感觉比较困难。而对数符号的学习我觉得学生在已学的知识当中还是可以找到让他对比参照的。比如说根式运算，我们就引入了其中的一个符号，把数字装在符号下来表示取得了他的算术根，还有像幂的运算， 也是一个运算形式，还有在初中三角里面，就是在直角三角形里面也定义了三角的运算，那么这个三角运算前面也是一个符号，比如正弦余弦是用不同的英文字母来表示的，这个时候我觉得在教学当中要注重它跟对数符号的相同性，就是它们都是有两层含义，这个符号本身一方面代表了运算是什么，另一方面代表了这个运算的结果，我想如果在教学设计当中让学生回忆、对比这些东西，来理解对数是会有帮助的。
王老师：我想大永提的这个是非常值得注意的，因为对数这个符号还有一层含义是映射，是a为底把N这个数映进去变成另外一个数，这是一个映射的概念，另外他有运算形式，就是在 ，不像我们以前那个就等于分别做对数运算再做乘，他恰恰相反，他是分别取对数做加法，那么所有这些可能都是学生不习惯的一个东西，需要做一些比较深入的思考。对数和指数又有点不一样，指数稍微直观一点，对数就更不直观了，他需要这么一个转换的过程，这个对于学生的理解确实有一定的难度。
李老师：还有对对数运算的理解，因为这个对数本身跟指数是有着非常密切的联系，我想突出这个联系可以加强学生对运算的理解，比如说对数运算的加法和减法，那么对数加的和就是真数的相乘，反过来就是在幂当中，同底数幂相乘指数相加，就从这里来体现。&&& 第三个就是对数运算法则的理解。正是因为指数和对数的联系，我们学生学习对数法则的时候，如果沟通了这个联系以后，学生可能就从幂的运算上可以对应着对数的运算，而对幂的运算学生是比较熟悉的，它是乘法运算一个自然扩大，就是乘方，就是N个相同的数相乘。因为有一个相对具体的这种整数的乘法作为一个思维的起点，他可以参照，可以对照它去想这个运算是什么。这样我想是它可以成为对学习对数运算法则的一个在思维上的一个固着点。&&& 第四个方面就是说高一学生的思维能力特点方面，已经有一部分学生具备一定的抽象研究推理能力，同时也仍然有相当多的同学，他的抽象推理能力较弱，习惯于具体直观基础上一种理解认识与合情推理。这一点上我们做了一次调查，是在前些日子做过一次调查，在对数学完已经隔了10个月左右，我们发现一个问题，就是在对数的运算法则记不清的时候，你去做什么，你怎么样让自己去想起来。那么像学生差异就出现了，在我们好一点的班级里大约有40%的同学能达到说拿指数来回忆。那么有30%的同学是查书，是属于机械记忆型的。还有剩下的同学普遍反应拿特值，还有很小的比例3%左右是运算的特点来回忆，因为当时课堂教学都强调这几点，但是学生关注的是不一样的。那么程度差一点的班级只有20%想到用指数去重新推导对数运算，有40%―50%是处于拿特值去试，就拿一个具体的东西去试。因为他记得是加跟乘是一对，但是他弄不清是从哪儿头到哪儿头，因此他就拿具体数来试这个法则是什么，从这儿可以看出在高一学生特别是基础生源相对弱一点的学校来讲，大部分学生还是停留在要依赖于具体来进行推理。这在教学设计的时候可能好一点班级我们可以让他通过幂的运算法则找到对数运算的法则，而对于程度弱一点的学生，就可以通过具体的数值，让他归纳来发现对数运算法则。
王老师：大永说的这一点我觉得是值得我们老师思考的，指数运算也好、指数函数也好，包括对数，在高中阶段我们是相对严格的，我们说指数函数的定义并不是非常严格，我们由正整数到整数是严格的，从正整数到有理数我们就一晃过去了，再到实数我们就承认了。当然对于它的运算法则也是这样，这个时候这里就有逻辑推理和所谓我们通常所说的归纳推理、合情推理，就是说 ，用这件事儿来记忆指数函数的规律是比较好记的，那么现在到对数这儿有点难度了，就是需要有几种不同的处理方式，刚才大永分析的，一种就是用指数运算加上对数的概念来理解对数的运算法则，这个是需要老师在教学中要注意的，这是一个比较严格的过程，这个可能也是学生接收起来有一定困难的过程。那么大永刚才又提出那么还有一些办法，就是用一些特例来加深学生对这些问题的认识，来区分对数运算和我们前面学过其他运算性质的不一样，比如说 实际上是什么。就是有一些特殊的东西恐怕要学生脑子里要有点印象，就是它是等于这样一个数的对数--以2为底 的对数，这样通过一些具体的东西他把这些运算的法则记住了。所以我觉得大永的分析还是很好的，可以供老师作为一个参考。
主持人：我们看了两个老师做的前期分析，下面我们给老师们看两个具体教学设计的案例。&
主持人：为了使老师们对对数运算的教学设计有一个直观的感受，我们特地安排了两个具体教学设计的样子给大家介绍一下，首先请北京市三里屯中学的骈红老师来做第一个教学设计的说明。
骈红：关于这节课，我们组里老师讨论了一下，因为大家都讲过，在讨论当中大家也觉得有一些传统教学中的弊病，比如说教学重心往往在法则的证明上，学生不了解知识发展的过程，就是很生硬的给了学生，忽视了结论来源的教学，最后结果是学生在作题当中往往出错，老师只能在作业和考试当中去纠正这些错误，但是在后期的学习当中就成了很大的障碍，因此我们认为教学应该从本质上探讨一下对数运算法则，让学生不仅仅是记忆公式，而是更重要理解这个法则的特点，才能在使用的时候不容易出错。&&& 那么在教学当中我们觉得应该通过具体实例验证，证明注意它的展现类比、联想、观察、验证、推理证明这个过程，注意公式的条件，然后才能灵活的运用它来进行运算。&&& 我们根据这些制定了一个教学方案，第一个教学目标是理解和掌握对数运算法则，准确运用对数法则进行运算，并掌握化简求值的技能，让学生经历对数运算探究与推导过程，培养学生的类比、分析、归纳能力。三通过运算性质的学习培养学生严谨的思维品质。重点是对数运算法则的推导和应用，难点是对数运算法则的探究与证明，那么我们设计了第一个教学方案，几个老师觉得我们应该具体的写出几个对数，然后由学生来计算，发现这个运算规律进行推导，但是这个方案的弊病感觉还是生硬，还是老师牵着学生走，学生学习还是很被动。那么老师出题学生是按老师的意图得出结果的，经过思考我们研究了第二个方案。&&& 第二个方案是老师设计一张表格，数据由学生自己定，观察发现运算的法则然后进行推导，我们给了这张表。里面的M、N、m、n，像幂指数a，因为都是让学生来自己定的，然后让他自己来做。这个表格的数据是由学生来计算的，可以用图形计算器来做，实现了个别化的学习，改变了一个班同做一道题的状况，增强了学生的学习兴趣，使学生的学习由被动变主动。但是也存在了一个问题，因为从学生的现实情况来说一节课完成是很困难的，教学时间肯定不够，经过大家进一步的讨论我们推出了第三个方案，这张表格能不能在课前完成，就是在上一节课结束的时候就根据他所学的知识提出了这张表格，那么他能去计算，本身课上课下应该是一个教学整体，课上学生只是汇报，探究对数运算法则推导和应用。方案三的优点是有充分时间让学生思考与讨论，而且学生可以在同伴的学习中学习数学，同伴相互启发相互促进，把教学设计成学生的活动。&&& 那么具体在这个教学设计当中我们就加了一项课前任务准备。老师把学生分成若干小组，营造了学习的氛围，然后由教师印好表格，然后明确任务。作业我们是这么来留的，我们类比指数，研究对数有哪些运算法则，研究两个数的对数和、差、积、商与这两个数的和、差、积、商之间的关系，要求学生自己选一些数值计算，并且观察数值的结果，自己要归纳出一个结论。那么在教学流程当中我们有5个环节，在教学当堂课的时候，第一步是创设情景研探新知，学生小组进行汇报结果然后相互评价相互讨论。第二环节是理论证明、揭示课题，对你的结果进行一些验证、证明。第三个环节是质疑答辩，发展思维。这个性质我们推出来了，它有没有限制条件，进行一下探究。&&& 第四个环节是板演例题巩固新知，学生运用刚才得到的结果进行一些运算。第五个归纳小结，课后作业，学生谈一些本节的收获，重点应该注意的知识和方法。我们是这么来设计的一个教学方案。
主持人：骈红老师设计一个很有特色的环节就是预留任务，然后学生分组进行充分的教学实验，然后在课堂要归纳一些结果进行发展进行论证，最后还有巩固。这个环节其实一会儿我们要请两位老师对这个环节发表一点评论，为了使大家强化这个过程，我们给大家也看一个北京市八一中学的王明辉老师在区里的一节公开课上做的专题，因为这个课是一个整课，我们就做了一个片断，片断的过程跟骈老师有很多很相象的地方,我们一起来看一下。插视频&&& 在这个过程我们看到王明辉老师也是充分利用了课堂的环境，他把复习光滑过度到这个内容，先出了很多基本对数值的计算，学生在做完这个计算结果的时候没说什么，然后大家从这些结果里观察出什么来，然后学生每一个组负责观察一个内容，最后归纳出了这几条对数运算的法则。我觉得从这两个老师的设计里面，想听听两位老师对运算的教学我们应该怎么样调动，或者应该关注哪些环节调动学生的学习积极性。王老师、李老师你们谈谈。& 李老师：因为在对数教学这部分，向来是学生学习的一个比较难的点。刚才两位老师的课，比较有特色的就是在前面的引入上，充分调动了学生自主的参与来发现运算。他们共同特点都是由具体的对数运算，包括用这种工具来归纳、猜测，这个我觉得从现在高中学生的运算能力、特点来看，还是有相当的普适性，就是大部分学生是适合用这种方式来学习的。那么在我自己教学当中我们也是有这样的一种经历，因为我们是市重点校，学生的层次也会好一点。在这个当中我也做过另外一种尝试，就是直接沟通它与指数运算，就是幂的运算和对数运算之间的联系，从这一点做出发点来发现运算。但是这个在我们的实验班里还是比较容易的，第一个我是给他一个指数、对数的联系，那个指数在那块儿就叫对数了，然后把幂的运算列在这边，然后黑板这边让学生去猜，基本上大约有20%、30%的学生是可以达到的，达到以后引导学生去证明。这样的设计我觉得在教学上我们老谈关注学生，以学生为主体，我觉得这点对某一部分学生是好课，可能 对另一部分学生未必是最好的。就是我们对学生来讲还是要充分建立在学生的学情分析上，这样通过我们的教学使学生在原有的认知基础上得到一个提高，这才是真正教学的意义。&& 王老师：我觉得这两个课确实非常有特点，拿骈老师这个课来说，实际上无论是大永上的课还是骈老师上的课，就是优秀学生，在本质上来说都是借助于指数运算和对数的概念，建立他们之间的联系，只是由于学生水平不一样，有的可以做得抽象一点，有的可以做得具体，但是我们的目的都是一样，无论如何应该让学生知道指数运算的规律是什么。因为我们指数运算并不一定是严格证明的，但是他有很好的背景他能很好的掌握指数运算的基本规律，这是我们的一个教学出发点，那么骈老师设计的时候，就把对指数运算的复习，借助于对数运算的概念加上学生的操作这三者整合起来，通过具体到抽象归纳思维的过程，那么让学生去感悟、去探索、去发现这里的规律，在此基础上再引导学生做一个理性的思考。我觉得这样的一个设计是非常好的。另外一个八一中学的老师也是类似的。&&& 另外我感觉我们的教学要把学生激发起来，那么在这个方面骈老师也好、王老师也好做了大量的思考。因为我们要激发起我们学生的思维热情、学习热情、参与热情，这是作为一个老师需要考虑的。所以他们在这方面是可以提供给大家作为借鉴的。&&& 第二个给我印象非常深的，就是我们在上课，但是上课只是我们最重要的教学环节。课前、课后仍然是学生重要的学习环节。那么我们怎么样把这些环节打通了，让我们整个的效益提高，在这方面我觉得骈老师和王老师做了非常好的思考，就相当于我们在留作业的时候丰富了我们作业的内容，使作业不仅仅是解题。这样就把课内外整个教与学的活动有机的整合起来。我觉得这一点是值得我们大家借鉴的，希望我们的老师能把学生的学、教育整个的有机结合起来，来提高我们的效率。我觉得这个可能就是这两位老师给我们提供最重要的一个借鉴。
主持人：这节课由于时间的关系我们只是展示了这些老师一部分的分析，这些老师的课程、资源，包括他们写的文字版的，PPT版的资源可以在我们给大家提供资源包里看到更完整的过程，包括我们录的一些新的课，还有我们后面很多江西、江苏、陕西老师提供的资源，我们都可以在资源包里看到。那么这节课我们只是提供一种局部的，希望透过这些局部看到我们在考虑运算课的时候怎么样调动学生，怎么样更有效的提高教学效率，我们希望更多的老师参与我们的讨论。这节课就这里，下节课再见。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 版权所有：平度市第九中学&&&&&&&&&&&&& 地址:山东 青岛 平度市天津路999号&电话:9&青岛市公安局备案号：01 信息产业部备案号：指数教案_高一数学教案
资源分类：
学科中心：
&& 高一数学教案
-------------------------------------------------------------------------------
教学目标&&1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．&(1)&理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算．&(2)&能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．&(3)&能利用有理指数运算性质简化根式运算．&2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．&3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．教学建议教材分析&（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学难点&是根式的概念和分数指数幂的概念．&（2）由于分数指数幂的概念是借助&&次方根给出的，而&&次根式，&&次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且&&次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．&（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．教法建议&（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：&①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点．&②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出&&即谁的四次方根等于16．指出2和2是它的四次方根后再把指数换成&&，写成&&即谁的&&次方等于&&，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．&（2）在&&次方根的定义中并没有将&&次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对&&次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．&教学设计示例课题&&&&&根式教学目标&：&1．理解&&次方根和&&次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．&2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．&3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．教学重点难点：&重点是&&次方根的概念及其取值规律．&难点是&&次方根的概念及其运算根据的研究．教学用具：投影仪教学方法：启发探索式．教学过程&：一.&&&&复习引入&今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．&下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?&以&&为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，&&称为幂．&教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出&&及，同时追问这里&&的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念2．5指数(板书)&1.&&&&&&&关于整数指数幂的复习&(1)&&&&概念&既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：&&&(2)&&&&运算性质：&&;&&;&&．&复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．&2.&&&&&&&根式(板书)&我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．&如&&&如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即&&，求?&问题也就是：&谁的平方是16&，大家都能回答是4和4，这就是开方运算，且4和4&有个名字叫16的平方根．&再如&&&知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．&(根据情况教师可再适当举几个例子，如&&，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为&&和2，同时指出它们分别称为9的四次方根和8的立方根)&在以上几个式子会解释的基础上，提出&&即一个数的&&次方等于&&，求这个数，即开&&次方，那么这个数叫做&&的&&次方根．&(1)&&次方根的定义：如果一个数的&&次方等于&&(&&，那么这个数叫做&&的&&次方根．&&&(板书)&对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．&由学生翻译为：若&&(&&，则&&叫做&&的&&次方根．(把它补在定义的后面)&翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的&&的&&次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对&&的&&次方根的取值规律的研究．&(2)&&的&&次方根的取值规律：&(板书)&先让学生看到&&的&&次方根的个数是由&&的奇偶性决定的，所以应对&&分奇偶情况讨论&当&&为奇数时，再问学生&&的&&次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对&&的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按&&的正负分为三种情况．&Ⅰ当&&为奇数时&&，&&的&&次方根为一个正数;&&，&&的&&次方根为一个负数;&&，&&的&&次方根为零．&&&&&&(板书)&当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明&&为偶数时的结论，再由学生总结归纳&Ⅱ当&&为偶数时&&，&&的&&次方根为两个互为相反数的数;&&，&&的&&次方根不存在;&&，&&的&&次方根为零．&对于这个规律的总结，还可以先看&&的正负，再分&&的奇偶，换个角度加深理解．&有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述&&次方根了．&(3)&&&&&的&&次方根的符号表示&(板书)&可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当&&为奇数时，由于无论&&为何值，&&次方根都只有一个值，可用统一的符号&&表示，此时要求学生解释符号的含义：&&为正数，则&&为一个确定的正数，&&为负数，&则&&为一个确定的负数，&&为零，则&&为零．&当&&为偶数时，&&为正数时，有两个值，而&&只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成&&，其含义为&&为偶数时，正数的&&次方根有两个分别为&&和&&．&为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：&&一定表示一个正数吗?&&中的&&一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结．对于符号&&，当&&为偶数是，它有意义的条件是&&;当&&为奇数时，它有意义的条件时&&．&把&&称为根式，其中&&为根指数，&&叫做被开方数．(板书)&(4)&&&&根式运算的依据&(板书)&由于&&是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．&如&&应该得什么?有学生讲出理由，根据&&次方根的定义，可得Ⅰ&&=&&．(板书)&再问：&&应该得什么?也得&&吗?&若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如&&吗?&&吗?让学生能发现结果与&&有关，从而得到Ⅱ&&=&&．(板书)&为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．三．巩固练习&例1.&求值&(1)&&．&&&&&&(2)&&．&&&&&&(3)&&．&&&(4)&&．&(5)&&．(&&&要求学生口答，并说出简要步骤．四．小结&1．&&次方根与&&次根式的概念&2．二者的区别&3．运算依据五．作业&&&略六．板书设计&2．5指数&&&&&&&&&&&&&&&&(2)取值规律&&&&&&&&&&(4)运算依据1.&&&&&复习2.&&&&&根式&&&&&&&&&&&&&&&(3)符号表示&&&&&&&&&&&例1(1)定义指数&&&&&
All Rights Reserved