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高一数学必修四(B版)预习学案
山东省实验中学高一数学必修四知识预习材料第一章三角函数编辑：高一数学组山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》目第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 第 11 节 第 12 节 第 13 节 第 14 节 第 15 节 角的概念的推广 角度制和弧度制录单位圆和三角函数线 任意角的三角函数定义 同角三角函数的基本关系式 正弦、余弦的诱导公式 正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 正切函数的图象和性质 已知三角函数值求角 两角和与差的正弦、余弦和正切 二倍角的正弦、余弦和正切 半角的正弦、余弦和正切 降幂、升幂和合一公式 积化和差、和差化积公式成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第一节一、角的概念推广：角的概念的推广终边相同的 角 第一象 限 象 第二象 限 限 角 第三象 限 第四象 限 x轴 y轴 轴 线 角 坐标轴 在 y=x 上 在 y=-x 上 关于 x 轴 关于 y 轴 关于原 对 点 称 角 关于 y=x 关于 y=-x 互相垂 直区 域 角 阴 影 部 分对称不对称成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》思考：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 90° 的角是锐角吗？0° ～90° 的角是锐角吗？ 例 1 请用集合表示下列各角．① 例 2 用集合表示： （1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在 轴右侧的角的集合． ～ 间的角②第一象限角 ③锐角 ④小于 角．例 3、如图，终边落在 OA 位置时的角的集合是? ?； ；终边落在 OB 位置，且在 [?360 ,360 ] 内的角的集合是 终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 ．例 4 将下列各角表示为 α＋ｋ? 360° （ｋ∈Ζ，0°≤α＜360° ）的形式，并判断角在第几 象限，找出在 [?360 ,720 ] 内的角。? ?（1）；（2）；（3）．练习： 1、与120° 角终边相同的角是（ ） A.-600° +k? 360° ,k∈Z B.-120° +k? 360° ,k∈Z C.120° +(2k+1)? 180° ,k∈Z D.660° +k? 360° ,k∈Z2、下列命题中正确的是（ ） A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k? 360° (k∈Z),则α与β终边相同 3、角α=45° +k? 180° ,k∈Z的终边落在（ ） A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 4、已知下列各角(1)787° ,(2)-957° ,(3)-289° ,(4)1711° ,其中在第一象限的角是 A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(1)、(3) D.(2)、(4) 5、在[360° ,1620° ]中与21°16′终边相同的角有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6、已知 ? 是锐角，那么 2? 是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 小于 180 ? 的正角 D. 不大于直角的正角 7、已知 ? 是钝角，那么 ? / 2 是（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C. 第一与第二象限 D. 不小于直角的正角 8、一角为 30 度，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 ? ? ? ? 9、设 A ? {? | ? ? k ? 360 ? 45 , k ? Z } , B ? {? | ? ? k ? 360 ? 225 , k ? Z } , ? ? ? C ? {? | ? ? k ? 180 ? 45 , k ? Z } , D ? {? | ? ? k ? 360 ? 135 ? , k ? Z } , E ? {? | ? ? k ? 360 ? ? 45 ? 或? ? k ? 360 ? ? 225 ? , k ? Z } ，则相等的角集合为_ _． 10、 设 E={小于 90 度的角}， F={锐角}， G={第一象限的角}，M ? {小于 90 度但不小于 0 度的角} ， 那么有 （ A． B． C． （ ） D． 11、分别写出：①终边落在 轴负半轴上的角的集合； ②终边落在 轴上的角的集合；）③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》12、在与 530 度终边相同的角中，求满足下列条件的角 （1）最大的负角 （2）最小的正角 （3） (?720 ,360 )? ?时钟问题专题： 方法：1 分钟的时间内，时针旋转了 0.5 ，分针转了 6 ，看看两个角相差多少。 1、 从 7 点整开始，在经过多少分钟，时针正好和分针重合？ 2、6 时整，分针和时针正好在一条直线上，至少经过多少分钟，两针正好垂直？ 3、在 4 点和 5 点之间，时针和分针在什么时刻位于同一条直线？ 4、 在钟面上，1 时 50 分的时刻，时针和分针的夹角是多少度？（指小于或等于 180 度的角） 5、 现在的钟面时间是 4 时，经过多少时间，时针和分钟到 4 的距离第一次相等？ 练习： 1、 从 5 点钟开始，在经过多少分钟，时针正好和分针重合？ 2、 从 7 点整开始，经过多少分钟，两针正好垂直？ 3、 吃过晚饭，方宇一家出去散步，他们出门前钟面显示 7 点多钟，他们回来后钟面显示也是 7 点多钟，且两次 钟面上时针与分针都恰好位于同一条直线上，请问：他们散步用了多长的时间？ 4、 现在是 8 点整，再过多少时间，时针与分针将第一次在一条直线上？ 5、 现在是 12 点整，时针正好和分针重合，至少再经过多少分钟，时针与分针再次重合？ 6、 6、4 时整，时针与分针的夹角是多少度？（指小于或等于 180 度的角） 7、 在钟面上，8 时 25 分的时刻，时针与分针的夹角是多少度？（指小于或等于 180 度的角） 8、6 点多少分时，时针与分针到 6 的距离第一次相等？ 9、8 点到 9 点之间，在什么时刻时针与分针之间的夹角是 60 度？ 10、9 点 26 分，时钟的分针与时针的夹角（指小于或等于 180 度的角）是多少度？ ************************************************************************************************? ?※三角函数背景介绍※三角学起源于对三角形边角关系的定量考察， 这始于古希腊一批天文学家对天文的测量。 比如希腊人阿利斯 塔克（公元前 310～前 230）提出“日心说”：太阳处于宇宙的中心，而地球绕太阳旋转，同时自转。这一观点早 于哥白尼 1700 多年，因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”。他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》 ， 0 其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为 87 。如图所示，设日地距离为 a，月地距离为 b，因月亮上弦 时∠EMS=900，故∠S=30。阿利斯塔克用一种比较复杂的几何方法算得 1 ? b ? sin 3? ? 1 ，由此他断言日地距 20 a 18 离介于月地距离的 18 倍与 20 倍之间。虽然这一结果与现代测量的数值（约 389 倍）相差甚远，但测不准的原因 ， 是由于目测误差引起的， 他的方法正确简明， 为后人继续使用。 （上弦时日、 月间的角距离为 89051 ， 而不是 870） 。 因此在相当长一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、 几何和天文知识。鉴于此种原因，作为独立得数学分支的三角学诞生之前，它的贡献者主要是一些天文学家，如 梅内劳斯、托勒密等。这两个人在数学上的成就也很大，如果大家有看课外书的话，可能会知道以这两人命名的 定理， 这在初等几何中是非常有名的。 有机会再向大家介绍。 三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢？ 1631 年，三角学输入中国。明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的。徐光启的工作使中国开 始接受欧洲科学知识，对我国的天文学和数学的发展有重大影响。成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第二节角度制和弧度制的区别和联系角度制 定义 单位 1 单位的含 义 进位制 弧长公式 面积公式 联系换算 相互转化： 终边相同的 角 第一象 限 象 第二象 限 限 角 第三象 限 第四象 限 x轴 y轴 轴 线 角 坐标轴 在 y=x 上 在 y=-x 上 关于 x 轴 关于 y 轴 关于原 对 点 称 角 关于 y=x 关于 y=-x 互相垂 直 区 域 角 对称 阴 影角度制和弧度制弧度制成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》部 分 不对称应用一、角度值和弧度制的相互转化 例 1、将下列角度化成弧度 (1) 10° (2) 30° (3)－75° (4) －300°例 2、将下列弧度化成角度 (1)??(2) ?? 12(3)3? 2(4) ??3(5)? 4例 3、把 ? 1480 写成 ? ? 2k? (k ? Z ) 的形式例 3、下列终边相同的角是（22）3A. k? ? ? 与 k? , k ? Z B. k? ? ? 与 k? , k ? Z C. k? ? ? 与 2k? ? ? , k ? Z D. (2k ? 1)? 与 (4k ? 1)? , k ? Z366例 4、集合 A ? {? | ? ? n? , n ? Z } ? {? | ? ? 2n? ? 2? , n ? Z } ，集合 B ? {? | ? ? 2n? , n ? Z } ? {? | ? ? n? ? ? , n ? Z } ，2 332则 A 与 B 的关系如何？? 3? ? 例 5、已知： ? 2k? ? ? ? ? 2k? ,2k? ? ? ? ? 2k? .其中 k ? Z .求 ? ? ? 的范围. 4 4 4应用二、弧长公式和面积公式 例 1、已知一扇形的中心角是 ? ，所在圆的半径是 R . ? （1）若 ? ? 60 , R ? 10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. （2）若扇形的周长是一定值 C (C ? 0) ，当 ? 为多少弧度时，该扇形有最大面积.例 2、2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，这个圆心角所对的扇形面积的数值是（）A.1 sin 1B.1 C. 1 D. tan1 sin 2 1 1 ? cos 2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》练习： 1、已知扇形 OAB 的圆心角 ? 为 120 ，半径 r ? 6 ，求弧长 AB 及扇形面积。?2、已知扇形的周长为 30cm，求扇形的半径和中心角各为多少时，扇形的面积最大，并求最大值。3、扇形 OAB 的面积是 4cm ，它的周长是 8cm ，求扇形的中心角及弦 AB 的长。24、已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长为多少？拓展：如图，已知一长为 3 dm，宽 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板 挡住，使木块底面与桌面成 30° 的角.问点 A 走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积.【思维拓展】 在角度制中，一度的角是圆周角的1 360，在弧度制中，一个弧度的角是周角的1 2?，我们就可以按照这种统一的方式定义任意的角度度量体制，实际上，在军事上就常用一种密位制，在这种度量体制中，1 密位的角定义 为圆周角的1 6000，因而 360° =6000 密位,2π 弧度=6000 密位．在某些国家中，还有所谓的百分度制，即规定 1 百1 100分度的角为圆周角的．度量体制的换算依赖于单位的定义，在角的度量体制中，往往将最常见的周角作为定义度量单位的标准， 因此， 在思考角的不同度量体制之间的换算关系的时候， 抓住了这一特点， 一切便迎刃而解． 对于为什么要引进弧度制的问题，似乎并没有一个非常明确的答案．据说弧度制是由瑞士数学家欧拉成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》（Leonhardo-Euler，1707 年~1783 年）首先使用的，后来逐渐被越来越多的数学家认可．人们之所以使用弧度 制，其中原因之一可能就在于使用弧度制可以简化很多公式。第三节一、定义三角函数定义tan? ?sin? ?cos? ? sec? ?0o 15 o 30 o 45 o 60 ocot? ?角度 弧度csc? ?75 o 90 o 180 o 270 o 360 osinx cosx tanx说明： ? ? 90 ? k ? 180 (k ? Z ) 时， tan? 没有意义。? ?一、直接求解 例 1、已知角 ? 终边经过点 P(2,? 2 ) ，求六个三角函数的值。例 2、已知角 ? 终边经过点 P(2t ,3t ) ，求六个三角函数的值。例 2、已知角 ? 终边经过点 P( x,? 2 ), ( x ? 0) 且 cos? ? 3 x ，求 sin? ? cot? 的值.6二、各象限的符号：一全二正弦，三切四余弦 1、设 ? 为第二象限角，若 cos ? ? ? cos ? ，则 ? 是第_____象限角.2 222、若 tan? ? 0 ，则 sin? ? cos? ，则 ? 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1 3、若 sin ? ? cos? ? 0. cos? ? cos? 则点 P(tan? , ) 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 cos? 4、函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x 的值域是（ ） A. {?2,4} B. {4,2,0,?2} C. {?2,0,4} D. {?4,?2,0,4}sin x cos x tan x cot x成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》5、若 ? ? Ⅳ,试判断 sin(cos? ) 、 cos(sin? ) 的符号.三、求解特殊三角函数的值 例 1、求下列三角函数值 （1） cos(?1050 )?（2） tan19 ? 3（3） sin(?31 ?) 4例 2、求解下列的值 （1） cos25 15 ? ? tan(? ? ) 3 4（2） sin 810 ? tan 765 ? tan1125 ? cos360? ? ??成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第四节正弦线 余弦线单位圆和三角函数线正切线一、比较大小 例 1、如果 0 ? ? ? ? ??2，则 sin ? ___ sin ? ， cos? ___ cos ? ， tan? ___ tan ?思考：在二、三、四象限呢？ 例 2、已知 ? ? (0, ? ) ，求证： sin ? ? ? ? tan? .（提示：用三角函数线证明）2例 3 比较下列两个值的大小(1) sin1cos1tan1(2) sin 400 ?sin(?330 ? )tan 50 ?cot?4例 4、当 ? ? 3rad 时，利用三角函数线分析 P(sin ? ? cos? , sin ? ? cos? ) 在哪个象限上？二、求解不等式 例 1、写出满足下列条件的角 ? 的范围 （1） sin? ? cos? ? 0 （2） sin ? ? cos? ；(3) sin x ?1 2(4) cos x ?1 2（5） tan x ?3（6） sin? ? cos? ? 0（7） sin ? ? 3 cos? ? 0成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》（8）已知 ? ? (0,2? ) 且 sin? ? tan? ? cot? ，那么 ? 的取值范围是（ ）A. (? , ? )4 2B. (? ,5? ? ) ? (0, ) 4 4C. ( 5? , 3? )4 2D. ( ? , 3? )2 4例 2、求下列函数的定义域(1) y ? 1 ? 2 sin x(2) y ?1 tan 2 x ? 3(3) y ? lg(tan x ? 1) ? cos x三、证明等式(1) sin 2 ? ? cos2 ? ? 1tan ? ?sin ? cos?（4）画图像成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学必修四知识点第五节同角关系基本公式： （1）倒数关系： sin ? ? csc? ? 1， cos? ? sec? ? 1 ， tan ? ? cot ? ? 1 ． （2）商数关系：sin ? cos ? ． ? tan ? ， cot ? ? cos ? sin ? 2 2 2 2 2 2 （3）平方关系： sin ? ? cos ? ? 1 ， 1 ? tan ? ? sec ? ， 1 ? cot ? ? csc ? ．12 ，并且 ? 是第二象限角，求 cos ? , tan ? ,cot ? ． 13例 1． （1）已知 sin ? ?（2）已知 sin? ? m ，α 为第三象限的角，求 α 的其它三角函数的值。（3）已知 cos ? ? ?4 ，求 sin ? , tan ? ． 5（4）已知 sin ? ? cos? ?1 ，且 0? ? ? ? 180 ? ，求 tan? 的值 5例 2、化简 (1)1 ? sin 2 440?(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α(3)tan ?＋cot ? sec ?(4)2cot ? csc ?－12＋1 cos ? 1＋tan ?2，α∈(? ，π) 2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》(5)1－2sin 3cos3(6) 化简 1 ? 2sin 40 cos 40 ．? ?（7）1－cos ? ，α∈(0，π) 1＋cos ?（8）若 β∈［0，2π)，且 1－cos2β ＋ 1－sin2β ＝sinβ－cosβ，求 β 的取值范围.化简三角函数式，化简的一般要求是： （1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三 角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来； （4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形 时，常将式子中的“1”作巧妙的变形 例 3、已知 sinα、cosα 是关于 x 的方程 x2－ax＋a＝0 的两个根， （1）求 a 的值（2）求 tan? ? cot? 的值。练习：已知关于 x 的方程 2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin? , cos? ,? ? ?0,2? ? ，求2（1） sin? ? cos? 的值； （2） m 的值； （3）方程的两根及此时 ? 的值． 1 ? cot? 1 ? tan?例 4、已知 tan? ? 2 ，求 ① ?sin ? ? cos? ?2② sin ? cos?③4 sin ? ? 2 cos? 5 sin ? ? 3 cos?④ 3 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 2 cos2 ?⑤1 ? cos4 ? ? sin 4 ? 1 ? cos6 ? ? sin 6 ?成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》例 5、已知 sin ? ? cos? ? a ，求 ① sin? cos? ? ③ sin ? ? cos ? ?3 3② sin ? ? cos? ?④ tan? ? cot? ? 例 6、 证明下列三角恒等式： (1)⑤ tan ? ? cot ? ?2 2tan ?－cot ? ＝sinα＋cosα sec ?－csc ?(2) (cscα－sinα)( secα－cosα)＝1 tan ?＋cot ?(3)cos ? 1＋sin ? ＝ 1－sin ? cos ?(4) 已知 cot2α＝2cot2β＋1，求证 cos2β＝2cos2α－1(5) 已知 tanα＋sinα＝a，tanα－sinα＝b，求证：(a2－b2)2＝16ab（6）求证:2(cos ? ? sin? ) cos? sin? . ? ? 1 ? sin? ? cos? 1 ? sin? 1 ? cos?总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有： （1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子； （3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》[知识小结] １．同角三角函数的八个关系式 ２．题型⑴求值①知一求五；②知一求代数式（齐次） ；③知一个式子值求另一个式子值；④知一个式子值求另 一个函数值⑵化简⑶证明 ３． sin? ? cos? 与 sin ? cos? 之间的关系 练习： 1、①已知 tan? ? 2 ，求 2 sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? 的值②已知 sin x ? 3 cos x ，求 sin x cos x 的值③已知 cot? ? 2 ，求31 的值 cos2 ? 5 sin ? cos? ? 3 sin 2 ?④ sin ? ? cos? ?2 ，求 sin? ? cos? 的值⑤ sin ? ? sin ? ? 1，求 cos ? ? cos ? 及 cos ? ? cos ? ? cos ? 的值2 2 4 2 6 8⑥ sin 1? ? sin 2? ? sin 3? ? ? ? sin 89? ? ___2 2 2 22、求函数 f ?x ? ? cos x ? 4 sin x ? 1 的最大值和最小值23、求函数 f ?x ? ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值和最小值成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第六节2? ? ?象 限 三 角 函 数 线诱导公式? ??(奇变偶不变，符号看象限)??? ??sin cos tan 终 边 关 系?2 ???2??3? ?? 23? ?? 2象 限 三 角 函 数 线sin cos tan 终 边 关 系 一、直接求值 例 1、求下列三角函数的值(1) sin(?10 ?) 329 (2) cos( ? ) 6(3) tan(?885 ? )(4) sin17 ? 6成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》练习：求下列各式的值 （1） 3 sin(?1200 ? ) cos(35 3 ? ) ? cos(575 ? ) tan(? ? ) 3 4（2） cos?5? cos2? 3? 4? ? cos ? cos 5 5 5（3） tan10 ? tan170 ? sin1866 ? sin(?660 )? ? ? ?二、化简求值 例１ 已知 ? 是第三象限角，且 f (? ) ?sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? cot(?? ? ? ) sin(?? ? ? ) 3? ) 2（１）化简 f (? ) ;（２）若 cos( ??3? 1 ? （３）若 ? ? ?1860 ，求 f (? ) 的值． ) ? ，求 f (? ) 的值； 2 5例 2、设 f ? x ? ?2 cos3 x ? sin 2 ?2? ? x ? ? cos?2? ? x ? ? 3 ? ，求 f ( ) 的值． 2 2 ? 2 cos ?? ? x ? ? cos?? x ? 3练习：成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》5 cos(4? ? ? ) sin(? ? ? ? ) tan(? ? 3? ) 2 １．化简： 7 sin(?? ? ? ) sin(? ? ? ) 2２．已知 cos?3 5? ?? ? ? 5? ? ?? ? ? ，求 cos? ? ? ? ， cos(? ??) ． 3 6 ?6 ? ? 6 ?３．化简 cos(5n ? 1 5n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ), (n ? Z ) ． 5 54、已知 sin(? ? 3? ) ? 2 cos( ? ? 4? ) ，求 sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值． 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 25、已知 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 (0 ? ? ? ? ) 求 sin(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 的值.4二、变形形式： 例 1、若锐角 ? 的终边上一点 A 的坐标为 (2 sin 3,?2 cos3) ，求角 ? 的弧度数．例 2、已知 sin(? ? ? ) ? 1 求证： sin(2? ? ? ) ? sin(2? ? 3? ) ? 0 .成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》例 3、是否存在 ? , ? , ? ? (? ? , ? ), ? ? (0, ? ) ，使等式 sin(3? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ， 3 cos(?? ) ? ? 2 cos(? ? ? ) 2 2 2 同时成立．若存在，求出 ? ? 的值；若不存在，请说明理由．综合练习： 1． cos(? 35? ) 的值是（ 3 ） A. ?3 2B.3 2C.1 2D. ? 121 1 2．已知 sin(? ? ? ) ? ? ，则 cos? 的值为（ ） A. ? 2 2３．设 f ( x) 是定义域为 R ，最小正周期为B.1 2C.3 2D. ?3 2? 3? ? 的函数，若 f ( x) ? ?cos x (? ? x ? 0) 则 f (? 15? ) 的值等于（ ） ? 2 2 4 ?? sin x (0 ? x ? ? )A. 1B.2 2C. 0D. ?2 24 ．已知函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ，其中 a, b, ? , ? 都是非零实数，又知 f (2001) ? ?1 ，则 f (2004) ? _____________ 5、已知 sin ? ? 1 , cos( ? ? ? ) ? 1 ,求 sin(2? ? ? ) 的值. 3sin( ? ? ? ) ? 3 cos( ? ? ?) 8 7 7 6、若 tan( ? ? ? ) ? a ，求 7 20 22 sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ?) 7 715137、若 f (n) ? cos( ? ?n 2?4)( n ? N * ) ，求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2008 )8、如果f (sin x) ? cos 2 x ，那么 f (cos x) 为多少？成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第七节-6 ? -5 ? -4 ?正弦函数、余弦函数的图象和性质1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x -?-3 ?-2 ?正弦函数的图像：f?x? = sin?x?-1正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：____________一、定义域： 例 1\求下列函数的定义域： (1)y＝1+1 sin x(2)y＝ cos x二、值域： 例 1 求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合，并说出最大值是什么 (1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R王新敞奎屯 新疆练习： 1、直接写出下列函数的定义域、值域： 1? y=1 1 ? sin x2? y= ? 2 cos x2、求下列函数的最值：1? y=sin(3x+? )-1 42? y=sin2x-4sinx+53? y=3 ? cos x 3 ? cos x例 3、在 0≤x≤? 条件下，求 y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x 的最大值和最小值 2例 4 换元法：求 f(x)＝sin4x＋2sin3xcosx＋sin2xcos2x＋2sinxcos3x＋cos4x 的最大值和最小值成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》三、单调性： 例 3 求函数 y＝－cosx 的单调区间四、图像： 例 1 作下列函数的简图 (1)y=sinx，x∈[0，2π]， (2)y=cosx，x∈[0，2π]，(3)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(4)y=-cosx，x∈[0，2π]，五、解不等式 例 2 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的 x 的集合：(1) sin x ?1 2(2) cos x ?1 2六、对称性 函数 y＝sin（2x＋5? ）图象的一条对称轴方程是( 2)A x＝－王新敞奎屯 新疆? 2B x＝－王新敞奎屯 新疆? 4C、x＝5? ? D x＝ 4 8王新敞奎屯 新疆七、周期 例 4 求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+? ) 32? y=cos2x3? y=3sin(x ? + ) 2 5函数 y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为()A、0B、? －1 2C、πD、3? 2 ? 4 2求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除 熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点： 1．注意 sinx、cosx 自身的范围 例 5 求函数 y＝cos2x－3sinx 的最大值王新敞奎屯 新疆2．注意条件中角的范围 例 6 已知｜x｜≤? ，求函数 y＝cos2x＋sinx 的最小值 4成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第八节1、画出函数 y=2sinx x?R；y=函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象x?R；y=sin1 x，x?R 的图象 21 sinx，x?R 的图象 2、画出函数 y=sin2x 21． 振幅变换:y=Asinx， x?R(A&0 且 A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A&1)或缩短(0&A&1) 到原来的 A 倍得到的 它的值域[-A, A]最大值是 A, 最小值是-A．若 A&0 可先作 y=-Asinx 的图象 ，再以 x 轴为 对称轴翻折，A 称为振幅 2．周期变换:函数 y=sinωx, x?R (ω&0 且 ω?1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω&1)或伸长王新敞奎屯 新疆(0&ω&1)到原来的王新敞奎屯 新疆倍（纵坐标不变） ．若 ω&0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图 ω 决定了函数的周期 ? 3 相位变换: 函数 y＝sin(x＋ ? )，x∈R(其中 ? ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ? ＞0 时)或向 右(当 ? ＜0 时＝平行移动｜ ? ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)王新敞奎屯 新疆1王新敞奎屯新疆图像平移的规律： 作 y=sinx（长度为 2?的某闭区间）沿 x 轴平 移|φ |个单位 横坐标 伸长或缩短?h横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短得 y=sinω x 沿 x 轴平 移|? |个单位 ?得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短得 y=Asin(ω x+φ )的图象，先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上王新敞奎屯 新疆? 例 1、画出函数 y＝3sin(2x＋ 95?y 评述：由 y＝sinx 的图象变换出 y＝sin(ωx＋ ? )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活? )，x∈R 的简图 3x 进行图象变换 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换例 2、已知如图是函数 y＝2sin(ωx＋ ? )其中｜ ? ｜＜5 3oA、ω＝ ， ? ＝ 得 y=sin(x+ φ )6 1110?B、ω＝10 ? ， ? ＝－ 11 6? 的图象，那么 2C、ω＝2， ? ＝例 3、已知函数 y＝Asin(ωx＋ ? )，在同一周期内，当 x＝ －2，则该函数的解析式为( A、y＝2sin(3x－ 课堂练习： 1、判断正误①y＝Asinωx 的最大值是 A，最小值是－A( ) B、y＝2sin(3x＋? 4? 时函数取得最大值 2，当 x＝ 时函数取得最小值 9 9x ? x ? ＋ ) D、y＝2sin( － ) 3 6 3 6 2?( )? 6D、ω＝2， ? ＝－? 6? ) 6? ) 6C、y＝2sin()②y＝Asinωx 的周期是 )?③y＝－3sin4x 的振幅是 3，最大值为 3，最小值是－3 (2、用图象变换的方法在同一坐标系内由 y＝sinx 的图象画出函数 y＝－成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌1 sin(－2x)的图象 2山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》3、下列变换中，正确的是 A、将 y＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)即可得到 y＝sinx 的图象 B、将 y＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的 0.5 倍(纵坐标不变)即可得到 y＝sinx 的图象 C、将 y＝－sin2x 图象上的横坐标变为原来的 0.5 倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到 y＝sinx 的图象 D、将 y＝－3sin2x 图象上横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来 1 倍且变为相反数，即得到 y＝sinx 的图象 3 4、如果 y＝cosx 是增函数，且 y＝sinx 是减函数，那么 x 的终边在( A、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 5、在［－π，π］上既是增函数，又是奇函数的是( ) A、y＝sin ) Ｄ、第四象限1 x 2? 2k? ,Ｂ、y＝cos1 x 2Ｃ、y＝－sin )1 x 4Ｄ、y＝sin2x6、函数 y＝sin（－2x）的单调减区间是(3? ? 2k? ], k ? Z 2 2 ? 3? B.[ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 2 4 A.[7、函数 y＝log2sinx 的单调减区间是?C.[? ? 2k? ,3? ? 2k? ], k ? Z D.[-?4? k? ,?4? k? ], k ? Z8、函数 f（x）＝cos2x＋2 的递增区间是9、若 f（x）＝x2＋bx＋ｃ对任意实数 x 都有 f（1＋x）＝f（1－x） ，则 f（cos1）与 f（cos 2 ）的大小关系是? )是由 y＝sinx 向____平移____个单位得到的 4 ? (2)y＝sin(x－ )是由 y＝sinx 向___平移____个单位得到的 4 ? ? (3)y＝sin(x－ )是由 y＝sin(x＋ )向___平移____个单位得到的 4 4 ? ? 11、若将某函数的图象向右平移 以后所得到的图象的函数式是 y＝sin(x＋ )，则原来的函数表达式为（ ） 2 4 3? ? ? ? ? A y＝sin(x＋ ) B y＝sin(x＋ ) C y＝sin(x－ ) D y＝sin(x＋ )－ 4 2 4 4 4 ? 12、把函数 y＝cos(3x＋ )的图象适当变动就可以得到 y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( ) 4 ? ? ? ? A、向右平移 B 向左平移 C 向右平移 D 向左平移 4 4 12 12 ? 13、将函数 y＝f(x)的图象沿 x 轴向右平移 ，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的 2 倍，得到的 310、 (1)y＝sin(x＋王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆曲线与 y＝sinx 的图象相同，则 y＝f(x)是( ) A、y＝sin(2x＋? ) 3B、y＝sin(2x－? ) 3C、y＝sin(2x＋14、 若函数 f(x)＝sin2x＋acos2x 的图象关于直线 x＝－? 对称， 则 a＝__ 82? ) 3D、y＝sin(2x－ _2? ) 315、右图为 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的一段，求其解析式。 16、 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直 线x ??8。（Ⅰ）求 ? ； （Ⅱ）求函数 y ? f ( x) 的单调增区间； （Ⅲ）画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第九节正切函数的图象和性质正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是 AT．正切函数 y ? tan x 正切函数的性质： 1．定义域： 2．值域： 3．周期性： 4．奇偶性： 5．单调性：x ? R ，且 x ??2? k? ?k ? z ? 的图象，称“正切曲线”例 1 用图象解不等式 tan x ?3例 2 求函数 y ? tan? 3 x ?? ???? 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 3?例 3 作出函数 y ?tan x 1 ? tan x2, x ? ?0,2? ? 且 x ?? 3? , 的简图 2 2例 4、求下列函数的定义域 1、 y ?cot x tan x ? 12、 y ?cot x ? csc x例 5、如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+B (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式例 6、 a 为何值时，方程 sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a 有实数解成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》例 7、 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室 (如图所示)， ABCD 是一块边长为 50 m 的正方形地皮， 扇形 CEF 是运动场的一部分，其半径为 40 m，矩形 AGHM 就是拟建的健身室，其中 G、M 分别在 AB 和 AD 上， 设矩形 AGHM 的面积为 S，∠HCF=θ，请将 S 表示为 θ 的函数，并指出当点 H 在何处时，该健身室的面积最大， 最大面积是多少？王新敞奎屯 新疆课堂练习： 1．利用单位圆中的三角函数线： （1）证明当 0＜x＜? ? ? 时 tanx＞x， （2）解方程 tanx＝x， （－ ＜x＜ ） ． 2 2 22、求函数 y＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象课后作业 1、函数 y＝ log 1 tan x 的定义域是(2)? ? ）B 、 ｛x｜2kπ＜x≤2kπ＋ ，k∈Z ? 4 4 ? ? ? C、 ｛x｜kπ＜x≤kπ＋ ，k∈Z ? D、 ｛x｜kπ－ ＜x≤kπ＋ ，k∈Z 4 2 4A、 ｛x｜0＜x≤ 2、求函数 y＝ cot x sin x 的定义域王新敞奎屯 新疆?3、如果 α、β∈( A、α＜β? ，π)且 tanα＜cotβ，那么必有( 2B、β＜α C、α＋β＜)3? 2D、α＋β＞4、函数 y＝lg(tanx)的增函数区间是( C、(2kπ－)A、(kπ－? ? ，2kπ＋ )(k∈Z) 2 2? ? ，kπ＋ )(k∈Z) 2 23? 2B、(kπ，kπ＋? )(k∈Z) 2D、(kπ，kπ＋π)(k∈Z)5、试讨论函数 y＝logatanx 的单调性成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第十节知值求角已知角 x 的一个三角函数值求角 x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个 范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角 x1. 第三步，如果函数值为负数，则可根据 x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角， 那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 x1＋π 或－x1＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 引例：已知 sin?? 2 2，如果 ? 为锐角， ? =；如果 ? 为三角形的内角，则 ? =；如果 ? 为 ?0,2? ? 范围内的角，则 ? = __________ ；如果 ? 为第二象限的角，则 ? = __________ ； 如果 ? 为任意角，则 ? = __________ 。1 的 x 的取值范围是( ) 2 ? ? 5? ? 2? 5? A.［0， ］ B.［ ， ］C.［ ， ］ D.［ ，π］ 6 3 6 6 6 6 1 ? 1 ［例 2］求不等式 cosx＜ 的解集. ［例 3］求不等式 sin(2x＋ )≥－ 的解集. 2 2 6［例 1］在［0，2π］上满足 sinx≥［例 4］求不等式 2cos(x ? － )＞ 2 的解集. 2 4［例 5］求函数 y＝log2［ 3 －2sin(3x＋? )］的定义域. 3练习：1、已知 sin? A. arcsin1 ? ? ,? ? ?0,2? ? 则 ? 为（ 3）1 31 1 B arcsin 或 arcsin(? 1 ) C ? ? arcsin 1 或 2? ? arcsin 1 D ? ? arcsin 1 或 ? ? arcsin 3 3 3 3 3 32、 sin? ? ?1 ，且 ? ? ( ?? ,? ? ) ，则 ? 可以表示成（ ） 3 21 3（B） ? ? ? arcsin(? 1 )（A） ? arcsin(? )23（C） ? ? ? arcsin(? )1 3（D） ? ? ? arcsin(?1 ) 33.适合sinx=1 ,x∈R的角x的集合是 44A.{x|x=arcsin 1 +2kπ,k∈Z}B.{x|x=(π-arcsin4.若cosx=0,则角x等于（1 1 1 )+2kπ,k∈Z}C.{x|x=(-1)karcsin +kπ,k∈Z}D.{x|x=± arcsin +2kπ,k∈Z} 4 4 4B.）A.kπ,(k∈Z)? ? +kπ,(k∈Z)C. +2kπ,(k∈Z) 2 2D.-? +2kπ,(k∈Z) 2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》5、若tanx=0,则角x等于（） A.kπ,(k∈Z)B.? +kπ,(k∈Z) 2B.C.? +2kπ,(k∈Z) 2D.D.-? +2kπ,(k∈Z) 26、已知cosx=-3 ,π&x&2π,则x等于（ 2）A.7? 64? 3C.11? 65? 31 1 ? 1 1 1 ,x∈(-π,- )的x值是（ ）A.arccos(- ) B.π-arccos C.-arccos(- ) D.-arccos 3 3 3 3 3 2 3 ? ? 8.若tanα=8,且 ? ∈( , ),则α等于（ ）A.arctan8 B.arctan8-π C.π-arctan8 D.π+arctan8 2 27、适合cosx=9.若sin x&cos x,则x的取值范围是（2 2）1 5 A. {x | 2k? ? 3 ? ? x ? 2k? ? 1 ? , k ? Z} B. {x | 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z} 4 4 4 4C. {x | k? ?二、填空?4? x ? k? ??4, k ? Z} D. {x | k? ??3 ? x ? k? ? ? , k ? Z} 4 42 21.若sin2x＝－ 3 ，且0＜x＜2π，则x=2.2.若sin（x－π）＝－且－2π＜x＜0，则x=. .3.满足sinx＝? 的x集合为______________ 42.4.若tan（3π－x）＝－ 3 ，则x=________5.满足tanx＝ 2 的x的集合为___________________6.若sinα＝sin? ，α∈R，则α＝ 7(2) tan(2 x ?2.7.求适合下列条件的角x (1) sin 2 x ? ?3 (0 ? x ? 2? ) 2?3) ?18.已知 ?? [0,2? ], sin ?和 cos? 分别是方程 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 的两个根，求 ? .反三角函数（了解内容）1、下列函数中，存在反函数的是（ ） （C） y ? sin x ( x ? ? ? , 3? ? ） （D） y ? sin x( x ? ? 2? , 3? ? ?3 2? ?3 2 ? ? ? ? ? D 以上答案都不对 （A） y ? sin x( x ? ? ? , 0 ） （B） y ? sin x ( x ? ? ? , 3? ? ） ?4 4 ? ? ? 2、 cos? arccos??? ??? 的值为（? 3?）A ? 3B 1 2C cos 1 23、 下列各反三角函数式中 arccos 5? , arcsin(log 4), arcsin( 2 ? 1) 2 , arcsin(tan ? ) ， 有意义的式子的个数为 （ 3 4 3 4、将） A 0 B 1 C 2 D3x ? arcsina(| a |? 1) 用反余弦表示为（）2A x ? arccos 1 ? aBx2 ? arccos(? 1 ? a 2 ) C x ? ? arccos 1 ? a 2 D x ? ? arccos 1 ? a成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》第 11 节公式：两角和与差的余、正弦公式sin( ? ? ? ) ?sin( ? ? ? ) =cos(? ? ? ) ?cos(? ? ? ) ?注意：例 1 求值： （1） cos ? =12（2） cos105? = （4） sin 5? =（3） sin 15? ? 例 2 化简 （1） sin13 ? cos17 ? ? cos13 ? sin17 ? = （2）?cos70?cos20?+sin110?sin20?=12（3） cos(? ? 35?) cos( 25? ? ? ) ? cos(55? ? ? ) sin( 25? ? ? ) = （4） cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? 4 4例3已知3 12 ? 3? ? ? ?? ? ， cos(? ? ? ) ? ， sin(? ? ? ) ? ? ，求 sin2?的值 5 13 2 4例 4 利用和（差）角公式化简 （１）1 3 cos x ? sin x = 2 2（２） 3 sin x ? cos x =例 5 已知点 P ( x,y ) ，与原点的距离保持不变，逆时针旋转? 角到点 P ' ( x ' , y ' ) ，求证： ? x ' ? x cos ? ? y sin ? 练习：1．在 ?ABC 中 （１）若 sin A ?? ' ? y ? x sin ? ? y cos ?3 5 3 12 （２）若 sin A ? , cos B ? ，求 cos C ． , cos B ? ，求 cosC ； 5 13 5 13?? ?? 2．已知 cos? ? 3 ， ? ? ? ? 0, ? ，则 sin? ?? ? ? = 5 6? ? 2? ?成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》3．求值（1） 2 sin 50? ? sin10? 1 ? 3 tan10?????2 sin 2 80? ；（2） 2 cos10? ? sin 20? sin 70?(3)sin 7 ? ? cos 15? sin 8? cos 7 ? ? sin 15? sin 8?(4) sin( x ??3) ? 2 sin( x ??3) ? 3 sin(2? ) 34．已知 sin(?+?) =1 1 ，sin(???) = ，求 tan ? 的值. 2 10 tan ?5.已知 8 cos(2? ? ? ) ? 5 cos ? =0，求 tan(? ? ? ) tan? 的值6．已知 sin ? ? sin ? ? ? , cos? ? cos ? ?1 31 ，求 cos( ? ? ? ) 的值． 27. ? , ? 都是锐角，且 sin ? ? 5 , sin ? ? 10 , 求? ? ? 的值5 108.已知三个电流瞬时值的函数式为 I1 ? 5 sin ?t , I 2 ? 6 sin( ?t ? 60?) ， I 3 ? 10 sin( ?t ? 60?) ，求它们合成后的电流瞬时 值的函数式。成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室第十二节公式： tan( ? ? ? ) ?两角和与差的正切tan(? ? ? ) ?tan ? ? tan ? ?tan? ? tan ? ? tan? ? tan ? ?例 1 求值： （1）tan15?，tan75?，cot15? （2）tan17 ? ? tan 43 ? 1 ? tan17 ? tan 43 ?（3）1 ? tan 75? 1 ? tan 75?例 2 已知 ? 、 ? 为锐角，且 sin ? ?3 1 ， tan ? ? ，求 ? ? ? ． 5 7例 3 （1）计算 tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40? ? ??（2）证明：已知 A ? B ? k? ??4, k ? Z ，求证 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2练习： 1 在△ ABC 中，tanA＝王新敞奎屯 新疆1 ，tanB＝－2，则 C＝ 3王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆2 在△ ABC 中，若 1-cotA? cotB＜0,则△ ABＣ一定是( ) A 等边三角形 B 直角三角形 Ｃ 锐角三角形 3.（1） tan20° tan30° ＋tan30° tan40° ＋tan40° tan20°王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆Ｄ 钝角三角形王新敞奎屯 新疆（2） (1＋tan1° )? （1＋tan2° ）? ? ? （1＋tan43° ）? （1＋tan44° ）成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室4.证明：在非直角 ?ABC 中，求证： （1） tan A tan B ? tan B tan C ? tan C tan A ? 1 ； 2 2 2 2 2 2（2） tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C .5.已知 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根，且? , ? ? ( ? , 3? ) ，试求 ? 2 2? ? 的值.成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室第 13 节公式：倍角公式注意：sin 2? = cos 2? tan 2? == = = =例 1 求值（1） 2 sin 67?30? cos67?30? （2） cos2?82? sin 2?8（3） 2 cos?122?1（4） 1 ? 2 sin 75?（5）2 tan 22 .5? 1 ? tan 2 22 .5?（6） cos( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) 4 4 （7） ? 1 ? 4 sin 2 15?33（8） tan ?? cot ?2（9） 1 ? 2 cos ? ? cos 2? 例 2 化简并求值： （1）cos20?cos40?cos80?（2）sin10° sin30° sin50° sin70°（3）1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ?（4） sin 50 (1 ? 3 tan10 )? ?成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室例 3 已知sin(?4? x) ?5 ? 求 cos 2 x 的值. , x ? (0, ), 13 4练习： 1.已知 ? 为锐角，且 sin ?： sin? 2 ? 2 ? ??2? 8： 5 ，则 cos? 的值为（） A.4 52B.8 25C.?212 25D.2．若 ? ? ? 5? , 7? ? ，则 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 的值为（ 3．若 270° ＜α＜360° ，则 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 等于 (2 2 24） A. 2 cos ?B. ? 2 cosC. ? 2 sin7 25 ?2D.2 sin?2) A.sin2? 2B.cos? 2C.－sin? 2D.－cos? 22 2 D. 3 34.已知 ? 是第三象限的角，且 sin ? ? cos ? ?45．sin6° cos24° sin78° cos48° 的值为( 6．已知 sin ? ? cos? ? 7.化简或求值（1） cos4) A.1 165 2 2 ，则 sin 2? ? （ ） A. 2 B. ? 2 9 3 3 1 1 1 B. ? C. D. 16 32 8） A. ?C. ?1? 3 ?0 ? ? ? ? ? ，则 cos2? 的值为（ 21 2B.1 2C. ?1 4D.1 4?2? sin 4?2(2)1 1 ? 1 ? tan? 1 ? tan?1 3 ? sin 10 ? cos10 ?(3)8.若 tan ? = 3，求 sin2? ? cos2? 的值王新敞奎屯新疆9.已知 tan? ?1 1 ? ， tan ? ? ， 0 ? ? , ? ? ，求 ? ? 2 ? 的值． 7 3 210.求证： sin ? ? cos ? cos( ? ?) ? sin (2 2? 3? ? ?) 的值是与?无关的定值 6成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室第 14 节sin半角公式?2?cos?2tan?2?例 1 用半角公式求 cos ? ， sin 15? 以及 tan15? 的值 12例 2 已知 sin? ? cos? =1 ? ， ? ? ? ? 2? ，求 tan 2 2例 3 求值： (tan 5? ? cot 5?) ? cos 70? . 1 ? sin 70?例 4 求证sin 4 x cos 2 x cos x x ? ? ? tan . 1 ? cos 4 x 1 ? cos 2 x 1 ? cos x 21 5? ? 10 ， ＜θ＜3π,则 sin 的值等于( ) A. ? 10 B. 5 2 2 5 5 ? ? 1? a 1? a 2 设 5π＜θ＜6π 且 cos ＝a,则 sin 等于( ) A. ? 1 ? a B. ? C. ? 2 4 2 2 2练习：1 如果｜cosθ｜＝王新敞奎屯 新疆C. ?D. ?15 51? a 2D.15 5王新敞奎屯新疆3 已知 tan76°≈4，则 tan7° 的值约为(王新敞奎屯 新疆) A. 17 ? 4B. 17 ? 4C.8 17王新敞奎屯 新疆D.8 155 已知 tanα、tanβ 是方程 7ｘ2－8ｘ＋1＝0 的两根，则 tan王新敞奎屯 新疆???2＝6 已知 cos2θ＝王新敞奎屯 新疆2 ，则 sin4θ＋cos4θ= 37．若5? 11? 4 ? ?? ? , sin 2? ? ? , 求tan 的值 2 4 5 2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室第十五节升幂、降幂、合一公式成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室第十六节公式： cos ?三角函数的积化和差与和差化积sin x ? sin y s inx ? s in y c o sx ? c o sy c o sx ? c o sycos ? s in? s in? sin ? cos ? cos ? sin ?例 1 把下列各式化为和差形式，能求值的求值. （1） cos ? cos 5?88（2） cos 1050cos15 0例 2 把下列各式化为积的形式 （1） cos 3?? cos ?（2） sin 2 ? ? sin 2 ? （3） sin 例 3 求值 （1） sin242? ? cos12? ? sin 54?20? ? cos 2 80? ? sin 20? cos 80? （2） sin 10? sin 30? sin 50? sin 70?（3） cos2? 4? 6? ? cos ? cos 7 7 7（4） cot 70? ? 4 cos70?（5）已知 cos? ? cos ? =1 1 ，sin? ? sin? = ? ，求 tan ? ? ? 及 sin(? + ?)的值 2 3 2例 5 已知 A ? B ? C ? 180?, 求证： sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos 2 A cos B cos C 2 2 2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室三角函数的图象和性质复习一、求定义域 1． y ? sin 2 x 2. ? logsin x ( 2 cos x ? 1) 3. y ? 2 ? log 1 x ? tan x24. y ?sin(cos x)5． y ? lg sin x ? cos x ?1 26.若函数 f ( x) 的定义域是[0，1 ]，求 y ? f (cos2 x) 的定义域. 4二、值域 1．求函数 y ? 3 sin(x ? 10 ) ? 4 cos(x ? 40 ) 的值域.? ?2．若方程 1 ? m ?1 ? sin x 在 x ? R 上有实数解,求实数 m 的取值范围. 3 ? cos x3．若函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2 sin 2 x 的最小值为 g (a). （1）写出函数 f ( x) 的表达式； （2）求使 g (a) ? 数 a 的值，并对此时的 a 求出函数 f ( x) 的最大值.1 的实 24．若 x ? [?? ?, ] ，求函数 f ( x) ? (1 ? sin x)(1 ? cos x) 的最大值与最小值. 6 25．已知 0 ? ? ??2，若 cos ? ? 2m sin? ? 2m ? 2 ? 0 对任意实数 ? 恒成立，求实数 m 应满足的条件.2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室练习： 1. 函数 y ? cos2 (?4? x) ? cos2 (?4? x) 的值域是（1 D. [? ,1] 2））A. [?1,0]B. [?1,1] C. [1,0]? 22.函数 y ? x ? sin x 在 [ , ?] 上的最大值是（A.?2B.?2?1C. ?D. 不确定3.函数 y ? sin 3x? | sin 3x | 值域是 _____________;周期为_____________. 4.若函数 f ( x) ? 2 sin wx(0 ? w ? 1) 在区间[0， 5.已知： sin x ?? ]上的最大值为 2 ，则 w =_______. 31 1 的最值 , tan x ? ?1 ，求函数 f ( x) ? 2 1 ? cos x三、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象 1．讨论函数 y ? log 2 sin(?3? 2 x) 的定义域、值域、单调性及周期．2．设 f ( x) ? sin(x ? a) ? cos(x ? a) 是偶函数，且 x ? k? , k ? Z ，则 f (2? ?2? ) =_____________. 33． 函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x)（1） 求 f ( x) 周期， 最大值， 对称轴， （ 2） 此函数图象做何平移可得 y ? sinx 的图像?４．求 y ?sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期；最值 2 ? 2 sin 2 x成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室练习： 1.若 f ( x) sin x 是周期为 ? 的奇函数,则 f ( x) 可以是( A. sin x B.C. sin 2 ) D.可以取得最小值 ? D. cos 2 )2. 函 数 f ( x) ? m sin(?x ? ? ), (? ? 0) 在 区 间 [a, b] 是 增 函 数 , 且 f (a) ? ?m , f (b) ? m , 则 函 数g ( x) ? m c o ? sx ( ? ? ) 在 [a, b] 上(A.是增函数; B.是减函数; C.可以取得最大值 3．下列函数中，满足周期为 1 且是奇函数的为是（ ）A. y ? 1 ? 2 sin 2 ?x? B. y ? sin(2 x ? ) 3C. y ? tan?2xD. y ? sin ?x ? cos?x4y4.下列函数中，以π 为最小正周期的偶函数，且在 (0, A．y=sinx B.y=sin2|x| C.y=3－cos2x?4) 上单调递增的函数是（D.y=cos x2）-2 o -4 6 x5.函数 y ? A sin(wx ? ? ) (?&0， | ? |? A． y ? ?4 sin(?2，x?R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ()) B． y ? 4 sin( x ? ) C． y ? ?4 sin( x ? ) D． y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 8 4 8 4 x ? x 6．要得到函数 y ? sin( ? ) 的图像，只需将函数 y ? sin 的图像（ ） 2 6 2 ? ? ? ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移 6 6 3 3 ? 7. 函数 y ? tan(3x ? ) 的图象的一个对称中心是（ ）A. (? ,0) B. ( ? ,0 ) C. ( ? ,0 ) 4 6 2? 8.函数 y ? 4 sin(2 x ? ) 的最小正周期为____,最小值为____,振幅为___,初相为________. 29. 给出以下命题 : ①存在实数 x, 使 sin x ? cos x ?7? ? 是偶函数 ;④若 cos? cos? ?2 y ? sin? x ? ? 2 ? ?3?x????????D. ( ? ,0 )123 ; ②若 α , β 是第一象限角 , 且 α & β 则 cos ? ? cos?; ③函数 2? 个单位, 4? 1, 则sin(? ? ?) ? 0; ⑤将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移.?? 得到的函数 y ? sin? ? 2 x ? ? 的图象.其中正确命题的序号是 4? ?10.函数 y ?cos 2 x ? sin 2 x 的最小正周期是_______; cos 2 x ? sin 2 x) 3 的周期为__________. ? cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3 sin 2 x ? sin(2 x ??函数 y ?11.函数 y ? 2 cos x 的单调递减区间为_______________. 12. 函数 f ( x) ? 2 sin wx(w ? 0) 在区间[? ,4]上单增，则 w 的取值范围是_______. 313．在同一个坐标系内，将 y ? 3 cos(2 x ? 14．设 f ( x) ? cos( x ? 的最小值是________.?4) 的图象向平移个单位可得到 y ? 3 sin 2 x 的图象.k 5?3)( k ? N ? ) ，若对于任意两个整数之间， f ( x) 至少取得最大值、最小值各一次，则 k成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室1 1 15.奇函数 y ? f ( x) 在定义域 (? , ) 上是减函数，并且满足 f (1 ? sin ? ) ? f (1 ? sin 2 ? ) ? 0 ，求 a 的取值范围. 2 216．下图是函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? （1）观察图像，直接写出 f ( x) 的表达式； （2）求 f ( x) 的最小值，以及取得最小值时的 x 的取值集合； （3）求 f ( x) 的单调递增区间.?2) 的部分图象.y 532 1? 5? 9ox17. 已知函数 f ( x) ? sin(wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? )是R上 的偶函数，其图象关于点 M（ 间 [0， ] 上是单调函数，求 ? 和 w 的值。?3? ， 0 ）对称，且在区 4218、水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为 h，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形 两腰及下底之和达到最小，此时下底角 ? 应是多大？?h成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室三角函数的图象和性质复习题（二） 一、选择题：?? 1. 函数 y ? 4 sin? ? 2 x ? ? 的图象（ ） ? 3?（A）关于直线 x ?? 对称 63?（B）关于 y 轴对称； （C）关于直线 x ? ?5? 对称， （D）关于原点对称。 12?? 2. 函数 y ? 3 cos? ? 2 x ? ? 的图象可以由 y ? 3 cos x 的图象作变换（ ）而得到。 ?（A）向左平移 ? 个单位，然后横坐标扩大到原来 2 倍（B）向右平移 ? 个单位，然后横坐标缩小到原来 1 ； （C）3 3 2横坐标扩大到原来 2 倍，然后向右平移 ? 个单位 (D)横坐标缩小到原来 1 倍，然后向左平移 ? 个单位。3 2 6?? 3. 要得到函数 y ? sin? ? 2 x ? ? 的图象，只要将函数 y ? sin 2 x 的图象（ ） ? 4?(A) 向左平移? ? ? ? ;(B)向右平移 (C) 向左平移 (D) 向右平移 . 4 4 8 8[-1, 1] (B) (-∞,+∞) (C)5. 函数 y ? log cos 1 cos x 的值域是( ) 6. 如果 x ??? ?,0 ?（D） ?0,???? , 那么函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x 的最小值是（ ） 42 ?1 2（B）（A）1? 2 2（C） ?2 ?1 2（D） ? 17. 函数 y ? lg sin??? ? ? 2 x ? 的递增区间是( ?4 ?? ?? ? ( B)? k? ? , k? ? ? 8 8? ?)3? ?? ? (C )? k? ? , k? ? ? (k ? Z) 8 8? ?3? ?? ? ( A)? k? ? , k? ? ? 8 8? ?（D） 以上答案都不正确8. 关于函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ? ? )( x ? R) ，有下列命题：3（1）由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，可得 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍（2） y ? f ( x) 的表达式可改写为 y ? 4 cos(2 x ? ? )6（3） y ? f ( x) 的图象关于点 ( ? 其中正确的命题的序号是 9. 函数 y ? tan(3x ? A） (? ,0)?6,0) 对称（4） y ? f ( x) 是周期为 ? 的奇函数?4) 的图象的一个对称中心是（6）B）( ? ,0 )C）( ? ,0 )2D）( ? ,0 )1210.函数 y ? m cos ax ? 1(m ? 0, a ? 0) 的（ A） 最大值 m ，最小正周期）2? aB）最大值 1 ? m ，最小正周期2? aC) 最小值 ? m ，最小正周期2? 2? D）最小值 1 ? m ，最小正周期 a a）个单位即得到余弦函数的图象. ( A)成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌11、正弦函数的图象向右平移（? 3? (B) ? (C) 2 2?D?4山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室12、函数 y ? sin x ? | sin x | 值域是 ()(A)[－1，0] (B) ) ( A)[0,1](C) [－1，1](D) [－2，0]013、函数 y ? x ? sin x 在 [ , ?] 上的最大值是( 14、 cos x ? 0, x ? [0,2?]的解集为（）? 2? (B) 2? ?1 2(C)?(D) 不确定( A) {x | 0 ? x ?15、函数 y ?? ? 3? ? 3? } （B） {x | ? x ? 2?} （C） {x | ? x ? 2?}( D){x | ? x ? } 2 2 2 2 2cos(sin x)的定义域是 ( )? ? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z } ( B) {x | 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z} 4 4 2 2 (B){ x | 2k? ? x ? (2k ? 1)?, k ? Z } (D) R ( A){x | 2k? ?16、函数 y ? log 0.5 (3 sin x ? 1) 的值域为： ( A) (-?,0] 17、下列函数中，其图象关于原点对称的是（ ）(B) [-1, ??) (C) [-2,0](D)[-2,1]( A) y ? ? | sin x |18、 函数 f ( x) ? sin（B） y ? ? x sin | x |（C） y ? sin(? | x |)（D） y ? sin | x |x ? 5? x ? 5? ，则（ ） , g ( x) ? cos 2 2（A） f ( x)与g ( x)皆为奇函数 ； （B） f ( x)与g ( x)皆 为 偶 函 数 （C）f ( x) 是奇函数，g ( x) 是偶函数， （D）f ( x)是 偶函数， g ( x) 是奇函数 19、如图是函数 y ? 2 sin(?x ? ?) (| ? |?( A)? ?10 ? 10 ? ,? ? ( B)? ? , ? ? ? ; 11 6 11 6? ) 的图象，那么（ ） 2(C )? ? 2, ? ?二、填空题：?6; ( D) ? ? 2, ? ? ??620. 函数 y ? a sin x ? b的最大值为 1最小值为 ? 7则a ? 21. 函数 y ?，b ? ；2 cos x ? 1 的值域为 2 ? cos x22. 如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? 23. 已知 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 在同一周期内有最高点 ? 24. 函数 y ? 3 sin(?x ? 3) 的振幅是 ；周期是? 对称，那么 a ? 8?? ? ? 7? ? ,3 ?, 最低点 ? ,?5 ? ,则函数的解析式是 ? 12 ? ? 12 ?；初相是 .25、.给出以下命题:①存在实数 x, 使 sin x ? cos x ?3 ; ②若α ,β 是第一象限角,且α &β 则 cos ? ? cos?; ③函数 2 7? ? 是偶函数 ; ④若 cos? cos? ? 1, 则sin( ?2 ? ? ?) ? 0; ⑤将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? 个单位 , y ? sin? x ? ??3 2 ?4成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室?? 得到的函数 y ? sin? ? 2 x ? ? 的图象.其中正确命题的序号是 4? ?. .26. 函数 y ? (2 ? cos x)(5 ? cos x) 的最大值为 三、解答题： 27.设 ?,最小值为?6?x??4, 求函数y ? log 2 (1 ? sin x) ? log 2 (1 ? sin x) 的最大值和最小值.28. 求 y ?2 cos x ? 1 的定义域. lg(tan x ? 1)29. 求函数 y ? 11 ? 8 cos x ? 2 sin x的最值 ，并指出当 x 为何值时，y 取得最值。230. 已知： sin x ?1 1 的最值. , tan x ? ?1 ，求函数 f ( x) ? 2 1 ? cos x31. 求函数 y ? log 1 ? (sin x) ? 3 sin x ? 2 ?的单调区间 .2 3成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室三角函数复习提纲Ⅰ、角 一、角的概念推广： 二、弧度制的引入 角度制 定义 单位 1 单位的含 义 进位制 弧长公式 面积公式 联系换算 三、特殊角的记法 角度制 终边相同的 角 象 第一象 限 限 角 第二象 限 第三象 限 第四象 限 x轴 y轴 轴 坐标轴 线 角 在 y=x 上 在 y=-x 上 关于 x 轴 关于 y 轴 关于原 对 点 称 关于 y=x 角 关于 y=-x 互相垂 直 弧度制 弧度制成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室区 域 角 阴 影 部 分对称不对称四、象限角： α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 α/2 2α α/3 3α π+α π-α π/2-α π/2+αⅡ 三角函数定义、公式一、三角函数定义 正弦函数 定义 余弦函数 正切函数 备注三角函 数线 象限 符号 二、基本函数值 角度 弧度 0o 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 90 o 180 o 270 o 360 osinx cosx tanx三、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： 平方关系： 商数关系： 五、诱导公式：基本方法：奇变偶不变，符号看象限2? ? ?象限??? ??? ???2???2??3? ?? 23? ?? 2成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室sin cos tan 终边关系成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室Ⅲ三角函数的图像与性质一、图像性质 正弦函数 解析式 正弦型函数 余弦函数 正切函数图 像定义域 值 域 单增 单 调 性单减正值区间负值区间奇偶性最 最大 值 点 最小 对 轴 称 性 中心周期性特殊点成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室三角函数部分复习提纲参考答案§1-1 角度制和弧度制一、角的概念推广：二、弧度制的引入 角度制 定义 单位1 单位的含义 以角度为角的单位的制度 度（°）不可省略 周角的 360 度分之一 六十进位l? n?R 180弧度制以弧度为角的单位的制度 弧度（rad）可省略 长度等于半径的弧所对的圆心角度数 十进位进位制 弧长公式 面积公式 联系换算 三、特殊角的记法l ?| ? | ?RS? 1 1 l ? R ? | ? | R2 2 2S?n?R 2 360180 ? ， ? n? 180 n ? ? 360 ? ? 2?rad ， 180 ? ? ?rad ， 1? ? ( )rad ， 1rad ? ( ) n ?( )rad ，nrad ? ( ) 180 ? 180 ?角度制终边相同的角 象 限 角 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴 轴 线 角 y轴 坐标轴 在 y=x 上 在 y=-x 上 关于 x 轴 关于 y 轴 对 称 角 关于原点 关于 y=x 关于 y=-x 互相垂直 区 域 角 阴 影 部 分弧度制M ? {? | ? ? 360 ? ? k ? ? , k ? Z }{? | 360 ? ? k ? 0 ? ? ? ? 360 ? ? k ? 90 ? , k ? Z } {? | 360 ? ? k ? 90 ? ? ? ? 360 ? ? k ? 180 ? , k ? Z }{? | 360 ? k ? 180 ? ? ? 360 ? k ? 270 , k ? Z }? ? ? ?M ? {? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z}{? | 2? ? k ? 0 ? ? ? 2? ? k ? ? / 2, k ? Z} {? | 2? ? k ? ? / 2 ? ? ? 2? ? k ? ? , k ? Z} {? | 2? ? k ? ? ? ? ? 2? ? k ? 3? / 2, k ? Z}{? | 2? ? k ? 3? / 2 ? ? ? 2? ? k ? 2? , k ? Z}{? | 360 ? k ? 270 ? ? ? 360 ? k ? 360 , k ? Z } 或 {? | 360 ? ? k ? 90 ? ? ? ? 360 ? ? k , k ? Z } {? | ? ? 180 ? ? k , k ? Z }? ? ? ?或 {? | 2? ? k ? ? / 2 ? ? ? 2? ? k , k ? Z}? ? {? | ? ? 180 ? k ? 90 , k ? Z }? ?? ? {? | ? ? k? , k ? Z} ? ? {? | ? ? k? ? ? / 2, k ? Z}{? | ? ? k? / 2, k ? Z} {? | ? ? k? ? ? / 4, k ? Z} {? | ? ? k? ? (3? / 4), k ? Z}{? | ? ? 90 ? ? k , k ? Z }{? | ? ? 180 ? k ? 45 , k ? Z }? ?{? | ? ? 180 ? ? k ? 135 ? , k ? Z }? ? ? ? 360 ? k , k ? Z?? ? ? ? 2k? , k ? Z? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z? ? ? ? 2k? ? ? / 2, k ? Z? ? ? ? 360 ? ? k ? 180 ? , k ? Z? ? ? ? 360 ? ? k ? 180 ? , k ? Z? ? ? ? 360 ? k ? 90 , k ? Z? ?? ? ? ? 360 ? ? k ? 90 ? , k ? Z? ? ? ? 2k? ? ? / 2, k ? Z ? ? ? ? 2k? ? ? / 2, k ? Z?2 , k ? Z}{? | 1 ? 1 ? k? ? ? ? ? k? ? , k ? Z } 2 6 2 3? ? ? ? 360 ? k ? 90 , k ? Z? ?对称{? | k? ??4? ? ? k? ?{? | 2k? ?? ?4? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ?? ?2, k ? Z} ? , k ? Z}不对称{? | 2k? ?2? 5? ? ? ? 2k? ? , k ? Z} 3 6{? | 2k? ?24成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室四、象限角： α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 α /2一、三 一、三 二、四 二、四2α一、二 y 正 三、四 y 负 一、二 y 正 三、四 y 负α /3一二三 一二四 一三四 二三四3α一二三 x 负 y 正 一二四 x 正 y 正 一三四 x 正 y 负 二三四 x 负 y 负π +α三 四 一 二π -α二 一 四 三π /2-α一 四 三 二π /2+α二 三 四 一§1-2 三角函数的基本运算一、三角函数定义 正弦函数 定义sin ? ? y , r ? x2 ? y2 r余弦函数cos? ? x , r ? x2 ? y 2 r正切函数备注用来计算三 角函数值 求解角的范 围、求解函数 值等 诱导公式、函 数值符号tan ? ?y x三角函 数线与 y 轴平行 正：一、二 y 正 负：三、四 y 负与 x 轴平行 正：一、四 x 正 负：二、三 x 负直线 x=1 部分 正：一、三 负：二、四象限 符号 二、基本函数值 角度 弧度 0o 0 0 1 015 o? 126? 2 4 6? 2 430 o? 61 23 245 o? 42 2 2 260 o75 o5? 126? 2 4 6? 2 490 o? 2180 o?270 o3? 2360 o2??33 2sinx cosx tanx1 0不存在0 -1 0-1 0不存在0 1 01 22? 33 3132? 3三、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sec? ?1 ， 1 1 ， cos ? ? cot ? ? cos? sin ? tan ?平方关系： sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ， sec2 ? ? tan2 ? ? 1 ， csc2 ? ? cot2 ? ? 1 商数关系： tan ? ? sin ? ， cot ? ? cos? cos? sin ? 五、诱导公式：基本方法：奇变偶不变，符号看象限2? ? ?象限 sin cos tan终边关系??四? ??三? ??二?2???2??3? ?? 23? ?? 2一二一四三sin ? cos? tan?相同? sin? cos? ? tan?x 轴对称? sin? ? cos? tan?原点对称sin ? ? cos? ? tan?y 轴对称cos? ? sin? ? cot?垂直cos? sin ? cot?y=x 对称? cos? sin ? ? cot?垂直? cos? ? sin? cot?y=-x 对称成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室5）三角恒等变形成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室§1-3三角函数的图像与性质正弦函数 正弦型函数 余弦函数 正切函数一、图像性质解析式 定义域 值 域y ? sin xR[?1,1]y ? A sin(?x ? ? )R[ ? A, A]y ? cos xR[?1,1]y ? tan x{x | x ? k? ? } 2?R图像单 调 性单增[2k? ? [2k? ??2 2,2k? ? ,2k? ??2][2k? ? ? 2k? ? ? ? ? , ? ? ] ? 2? ? ? 2? ?2k? ? ? 2k? 3? ? ? ? , ? ? ] ? 2? ? ? 2? ?[2k? ,2k? ? ? ] [2k? ? ? ,2k? ](k? ??2, k? ??2)单减?3? ] 2[无) (k? , k? ? ) 2 (k? ?正值区间(2k? ,2k? ? ? )(2k? ? ? ,2k? )[2k? ? 2k? ? ? ? , ? ? ] ? ? ? ? ? 2k? ? ? 2k? ? ? ? , ? ] ? ? ? ? ?(2k? ? (2k? ??2 2,2k? ? ,2k? ??2?负值区间[?3? ) 2?2, k? )① 函数 y = sin (x＋φ)是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z? ．② 函数 y = sin (x＋φ)是偶函数 ? ? ? k? ? ? ?k ? Z? ．奇偶性2③ 函数 y =cos (x＋φ)是奇函数 ? ? ? k? ? ? 2④ ?k ? Z? ．函数 y = cos (x＋φ)是偶函数 ? ? ? k?(2k? ,1)(k ? Z ) (2k? ? ? ,1)(k ? Z )x ? k? , k ? Z?k ? Z? ．最 最大 值 点 最小(2k? ? (2k? ??2,1)( k ? Z ) ,1)( k ? Z )(2k? ? ? ? ? , A)(k ? Z ) ? 2? ?无 无 无( k? ,0), k ? Z 2?2(2k? ? ? ? ? ,? A)(k ? Z ) ? 2? ?对 轴 称 性 中心x ? k? ??2,k ? Zx?k??k???2?,k ? Z(k? ,0), k ? Z(?,0), k ? Z2? |? |(k? ??2,0), k ? Z2π周期性2ππ①相邻两个最大值点相距一个周期 ②相邻两个最小值点相距一个周期③相邻两个最值点相距半个周期 ④相邻两个零点相距半个周期⑤最值点和相邻零点相距四分之一个周期⑥ y ? A sin(?x ? ? ) 的周期 2? / | ? | ⑦ y ?| A sin(?x ? ? ) | 的周期 ? ⑧ y ?| A sin(?x ? ? ) ? b | 的周期 2? ⑨ y ?| A sin(?x ? ? ) | ?b 的周期 ? |? | |? | |? |(0,0), (?2,1), (? ,0)(0,1), ( (?2,0), (? ,?1)特殊点(3? ,?1), ( 2? ,0) 23? ,0), (2? ,1) 2(??4,?1), (0,0), (?4,1)二、图像变化（由复杂的做简单的可以方向作出）y ? sin x y ? sin x纵不变 横变 1 / ? 移动 | ? | 左加右减y ? sin ?x移动 | ? / ? | 左加右减 纵不变y ? sin(?x ? ? )y ? sin(?x ? ? )横不变 纵变 A 倍 横不变 纵变 A 倍y ? A sin(?x ? ? )y ? sin(x ? ? )横变 1 / ?y ? A sin(?x ? ? )成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室三角函数部分相关题型一、角度制和弧度制 1、将角化为[0，2π ]内的角和 2kπ 的形式，求终边相同的角； 2、判断三角函数值的符号和判断角所在的象限。 二、三角函数的定义与运算 1、用同角的三角函数关系式、诱导公式做相关的求解、化简、证明题目； 2、比较各三角函数值的大小； 3、运用三角恒等变化解三角形，化简、求解、证明相应题目； 4、化一公式在解函数求解、值域中的应用； 5、已知三角函数值求角。 三、三角函数的性质和图像 1、三角函数的图像、三角函数线及其应用； 2、正（余）弦型函数图像变换：伸缩、平移、翻转、对称等； 3、求三角函数的性质：定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调区间、对称轴、对称中心； 4、正弦型函数的性质及解析式的求法； 5、三角函数应用题。§2-2 三角函数题型的思路方法一、三角函数恒等变形的基本策略 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2θ +sin2θ =tanx?cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x （3）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。 （4）基本公式的应用，如同角三角函数的相关关系式、诱导公式等 二、证明三角等式的思路和方法 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数形结合法等。 三、证明三角不等式的方法 比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函 数线及判别法等。 四、已知函数值求角思路 1、确定函数象限； 2、求角度是锐角的时候的解 ? 0 （函数值为负值，求绝对值对应的锐角值） 3、写[0，2π ]范围内的角度值：成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌山东省实验中学高一数学组必修四教学材料――《三角函数》小虎子工作室第一象限： ? 0 ；第二象限： ? ? ? 0 ；第三象限： ? ? ? 0 ；第四象限： 2? ? ? 0 4、求终边相同的角的集合，加 2k?§2-3 做三角函数类型题时的注意点一、三角函数式化简的目标： 项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可 能不带根号，能求出值的求出值． 二、三角变换的一般思维与方法： 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角、切割化弦，互余互化、常数代换等．及“1”的各种代换：1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? cos ? ? sec? ? sin? ? ? ? cos 0 ? tan ? 2 sin 等． 2 4 6三、正弦型函数的性质求解： 熟悉正弦函数的图像―→根据图像熟悉性质―→整体求解正弦型函数性质 四、图像平移伸缩变换时先伸缩后平移和先平移后伸缩的不同点 五、三角函数恒等式的灵活运用。§2-4 三角函数的相关性质说明一、三角函数的奇偶性 ① 函数 y = sin (x＋φ)是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z? ． ② 函数 y = sin (x＋φ)是偶函数 ? ? ? k? ? ? ③ 函数 y =cos (x＋φ)是奇函数 ? ? ? k? ? ? ④ 函数 y = cos (x＋φ)是偶函数 ? ? ? k? 二、三角函数的周期性 ①相邻两个最大值点相距一个周期 ③相邻两个最值点相距半个周期 ②相邻两个最小值点相距一个周期 ④相邻两个零点相距半个周期|? |2?k ? Z? ．2?k ? Z? ．?k ? Z? ．⑤最值点和相邻的零点相距四分之一个周期 ⑥ y ? A sin(?x ? ? ) 的周期 2? ⑦ y ?| A sin(?x ? ? ) | 的周期 ? ⑧ y ?| A sin(?x ? ? ) ? b | 的周期 2??|? ||? ||? |⑨ y ?| A sin(?x ? ? ) | ?b 的周期成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌
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