a1=2 2a(n+1)=2an+1a1 2a2 3a3 ...nan

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-05 10:01 标签： a0 a1 2a2 3a3
数列{an}中,a1=1,且a(n+1)=2an+1.设bn=an+1_百度知道
数列{an}中,a1=1,且a(n+1)=2an+1.设bn=an+1
（1）求证:数列{bn}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式（3）设Cn=(n+1)/(an+1) (n∈N*)，求数列{Cn}的前n项的和Tn
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解：（1）∵a(n+1)=2an+1∴a(n+1)+1=2(an+1)∴[a(n+1)+1]/（an+1）=2∵bn=an+1a1=1,b1=2,∴bn是等比数列（2）∵bn公比是2∴bn=2^n∵bn=an+1∴an=2^n-1（3）∵Cn=(n+1)/(an+1)Cn=(n+1)/2^n∴Tn=2/2+3/2^2+4/2^3+...+n/2^(n-1)+ (n+1)/2^n①∵1/2Tn=2/2^2+3/2^3+4/2^4+...+n/2^n+(n+1)/2^(n+1)②①-②得：1/2Tn=1+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=1+[1/4(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)]-(n+1)/2^(n+1)
=1+1/2-1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=3/2-1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=3/2-[（n+3）/2^(n+1)]∴Tn=3-[(n+3)/2^n]算得匆忙，楼主可以自己算哈第3问用错位相减法
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(1)证明：因为bn=an+1且a(n+1)=2an+1，所以b(n+1)-1=2bn-1,所以b(n+1)=2bn，因为n是从1开始的所以不必验证b1,所以bn是一个以b1=2,q=2的等比数列，bn=2^n.(2)因为bn=an+1=2^n,所以an=2^n-1;(3)Cn=(n+1)/(an+1)=(n+1)/bn=(n+1)/2^n=n/2^n+1/2^n.Tn=c1+c2+c2+……+cn=(1/2+2/2^2+……+n/2^n)+n/(2+4+……+2^n)令Sn=1/2+2/2^2+……+n/2^n则有2Sn=1+2/2+3/2^2+……+n/2^(n-1）所以sn=1+1/2+……1/2^(n-1)-n/2^n所以Tn=3-[(n+3)/2^n]
解答：（1）b(n+1)/bn=(2an+1+1)/(an+1)=2所以：{bn}为等比数列，且公比为2（2）b1=a1+1=1+1=2所以：bn=b1*q^(n-1)=2^n所以：an=bn-1=(2^n)-1
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出门在外也不愁数列{an}满足a1=1，an^2=(2an+1)a(n+1),令bn=lg(1+1/an),求证{bn}为等比数列_百度知道
数列{an}满足a1=1，an^2=(2an+1)a(n+1),令bn=lg(1+1/an),求证{bn}为等比数列
求{an}通项公式求证 ∑（ai/(1+ai)）&7/8
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an^2=(2an+1)a(n+1),a(n+1)=an²/(2an+1)
(1)a(n+1)+1=an²/(2an+1)+1=(an+1)²/(2an+1)
(2)(2)÷(1)
[a(n+1)+1]/a(n+1)=[(an+1)/an]²依次顺推)(an+1)/an={[a(n-1)+1]/a(n-1)}²=.....=[(a1+1)/a1]^2^(n-1)=2^[2^(n-1)]即1+1/an=2^[2^(n-1)]
(1)所以bn=lg2^[2^(n-1)]=2^(n-1)*ln2
b(n-1)=2^(n-2)*ln2bn/b(n-1)=2ln2所以{bn}是公比为2ln2的等比数列由(1) 得通项公式an=1/{1-2^[2^(n-1)]}an/(an+1)=1/2^[2^(n-1)]∑（ai/(1+ai)）=1/2+1/2^2+1/2^4+1/2^8+....+1/2^[2^(n-1)]=3/4+(1/2^3)[1/2+1/2^3+.....+1/2^[2^(n-1)-3]&3/4+(1/2^3)[1/2+1/2^3+1/2^5+...+1/2^(2n-7)]=3/4+(1/8)[1-1/4^(n-3)]/(1-1/4)=3/4+(1/6)[1-1/4^(n-3)]n=4时，上式最小所以∑（ai/(1+ai)）&3/4+(1/6)*(1-1/4)=7/8希望能帮到你O(∩_∩)O
“&3/4+(1/2^3)[1/2+1/2^3+1/2^5+...+1/2^(2n-7)]”最后为什么是 2n-7=3/4+(1/6)[1-1/4^(n-3)]n=4时，上式最小
n为什么大于3
总共n-1项，去掉2项还剩n-3项奇数第n项=2n-1第n-3项=2(n-3)-1=2n-7通常数列n≥1这里是n-3≥1
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谢谢 lqbin198，也谢谢石中空，但只能选一个最佳答案
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由(a(n))^2=(2a(n)+1)*a(n+1)可得(a(n)+1)^2 = (2a(n)+1)*(a(n+1) +1), 两式相除可得(a(n)+1)^2 /(a(n))^2 = (a(n+1) +1)/a(n+1), 所以2b(n)=b(n+1), 即{b(n)}是公比为2的等比数列。
因为b(1)=lg(1+1/a(1))=lg2, 所以lg(1+1/a(n))=b(n)=lg2 * 2^(n-1), 即a(n)=1/(2^(2^(n-1)) -1).
因为a(i)/(1+a(i))=1/2^(2^(n-1)), 另一方面当k≥3时，用二项式展开2^(k-1)=(1+1)^(k-1)可得
2^(k-1)=(1+1)^(k-1) = 1 + k-1 + ... + 1≥1+k-1+1=k+1,所以当k≥3时, a(i)/(1+a(i)) ≤1/2^(k+1), 而a(1)/(1+a(1))=1/2, a(2)/(1+a(2))=1/4, 所以
∑(ai/(1+ai)) = a(1)/(1+a(1)) + a(2)/(1+a(2)) + a(3)/(1+a(3)) +....
≤1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + ... + 1/2^(n+1) = 7/8 - 1/2^(n+1) &7/8.
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出门在外也不愁已知数列an满足a1=3,a(n+1)=2an+1的通项公式详推_百度知道
已知数列an满足a1=3,a(n+1)=2an+1的通项公式详推
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a(n+1)=2an+1a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)[a(n+1)+1]/[an+1]=2∴数列{an+1}是等比数列，公比q=2∴an+1=(a1+1)q^(n-1)
=(3+1)2^(n-1)
=2^2*2^(n-1)
=2^(n+1)an=2^(n+1)-1
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原来是这样，感谢！
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a1=3=2^(1+1)-1a2=2a1+1=2x3+1=6+1=7=2^(2+1)-1a3=2a2+1=2(2a1+1)+1=4a1+2+1=4a1+3=4x3+3=12+3=15=2^(3+1)-1a4=2a3+1=2(4a1+3)+1=8a1+6+1=8a1+7=8x3+7=24+7=31=2^(4+1)-1......an=2^(n+1)-1
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a(n+1)=2an+1. &
a(n+1)+1=2an+1+1 & a(n+1)+1=2(an+1) & [a(n+1)+1]/an+1=2a1=3，a1+1=4不为0，故{an+1}是个等比数列,记为An，首项A1=a1+1=4，公比为q=2，An=A1xq(n-1）=4x2（n-1）=2x2x2（n-1)=2(n+1)。所以an+1=2（n+1）即an=2（n+1)-1 本人现在大二，英语专业，两年没碰数学，如果有误请谅解
通项公式的相关知识
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出门在外也不愁已知数列an中a1=1/2点（n,2an+1-an）在直线y=x上其n=1,2,3……（n,2an+1-an）中的an+1为角标
已知数列an中a1=1/2点（n,2an+1-an）在直线y=x上其n=1,2,3……（n,2an+1-an）中的an+1为角标
（1）令bn=an+1-an-1求证数列bn为等比数列(bn=an+1-an-1中的an+1为角标）（2）求数列an的通项
（n、2a(n+1)-an)在直线y=x上,那么n=2a(n+1)-an，那么n+1=2a(n+2)-a（n+1），两式相减，那么1=2a(n+2)-3a（n+1）+an，配凑一下得到2b（n+1）=bn，这就证明咯，bn求出来咯。Tn就出来咯。吧n=2a(n+1)-an两边同时除以2的n次方，叠加求和得an，然后求Sn，用中项公式列式，求解
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