知识点梳理
1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：&&（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似&&（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似&&（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似&&（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似&直角三角形相似判定定理&&（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理&&（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：&&(1)相似三角形的对应角相等.&&(2)相似三角形的对应边成比例.&&(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.&&(4)相似三角形的周长比等于相似比.&&(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.&（6）相似三角形的传递性。
【的性质】①&对应点到旋转中心的距离相等；②&对应点与旋转中心所连的夹角等于旋转角；③&旋转前、后的图形．
【比例的性质】①&基本性质&如果&a:b=c:d&或&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}&，那么&ad=bc．②&合比性质&如果&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}，那么&{\frac{a±b}{b}}={\frac{c±d}{d}}．③&等比性质&如果&{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}=…={\frac{m}{n}}\left({b+d+…+n≠0}\right)，那么&{\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}}={\frac{a}{b}}．【黄金分割】点&C&把&AB&分成两条线段&AC&和&BC，如果较长的线段是全线段和较短线段的比例中项，即&{\frac{AB}{AC}}={\frac{AC}{BC}}，这样的线段分割叫做黄金分割，其中点&C&叫做线段&AB&的黄金分割点．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“直角三角板ABC中，∠A=30&，BC=1．将其绕直...”，相似的试题还有：
直角三角板ABC中，∠A=30&，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0&＜α＜120&且α≠90&)，得到Rt△A′B′C，(1)如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；(2)在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0&＜α＜90&时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；②当时，求AD的长．
直角三角板ABC中，∠A=30&，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0&＜α＜120&且α≠90&)，得到Rt△A′B′C，(1)如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；(2)在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0&＜α＜90&时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；②当时，求AD的长．
直角三角板ABC中，∠A=30&，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0&＜α＜120&且α≠90&)，得到Rt△A′B′C，(1)如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；(2)在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0&＜α＜90&时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；②当时，求AD的长．当前位置：
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已知直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，∠C=90°，求它的内切圆的半径r．小明同学求得的结果是r=12（a+b-c）；小莉同学求得的结果是r=aba+b+c．你认为他们解答的结果都正确吗？如果你认为他们的解答都是正确的，请帮助他们写出解答的过程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
都正确，．理由是：连接OA、OB、OC、OE、OF、OD，∵⊙O切BC于E，切AB于D，切AC于F，∴BE=BD，AD=AF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=90°，∵∠ACB=90°，OE=OF，∴四边形CEOF是正方形，∴OE=OF=CE=CF=r，∴BE=BD=a-r，AD=AF=b-r，∵AB=c，∴b-r+a-r=c，∴r=12（a+b-c）；∴小明求得的结果正确；由三角形的面积公式得：S△ACB=S△BOC+S△AOC+S△AOB，∴12ab=12ar+12br+12cr，∴r=aba+b+c，∴小莉求得的结果正确．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，∠C=90°，求它的内切圆..”主要考查你对&&三角形的内心、外心、中心、重心&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。 4、重心：重心是三角形三边中线的交点。 三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。三角形的重心的性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3& 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3& 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。三角形旁心的性质:1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
发现相似题
与“已知直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，∠C=90°，求它的内切圆..”考查相似的试题有：
900793896552892718358756391620391385AAA只能证相似,不能证全等,所以AD不一定等于CE.
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id: '2081942',
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size: '1000,60',
display: 'inlay-fix'C分析：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，先证明RT△ACB≌RT△BFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案．解答：解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，则可得OM是梯形ACFD的中位线，∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CAB=∠FBD，在RT△ACB和RT△BFD中，∵，∴RT△ACB≌RT△BFD，∴AC=BF，BC=DF，设AC=x，则OM==，CM==，在RT△OCM中，OM2+CM2=OC2，即2（）2=18，解得：x=4，即AC的长度为4．故选C．点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大．
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科目：初中数学
6、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．
科目：初中数学
已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，，那么AB=．
科目：初中数学
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．（1）设AQ=x，△APQ面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，求AQ的长；（3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．
科目：初中数学
在直角三角形ABC中，∠C=90°，三内角∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a=15，c=25，则b=20．
科目：初中数学
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
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如图6，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为
B．①③④ C．①②④
10．如图6，在△ABC中，&ACB=90&，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且&ECF=45&，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG&MH=，其中正确结论为
A．①②③&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．①③④
C．①②④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．①②③④
考点：相似形综合题．.
分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF&BF=AC&BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG&MH=AE&BF=AE&BF=AC&BC=，依此即可作出判断．
解答：解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB==，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB&BC，&MBC=90&，
∴&MGC=90&=&C=&MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵&FCE=45&=&ABC，&A=&ACF=45&，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，&ACB=90&，
∴&A=&5=45&．
将△ACF顺时针旋转90&至△BCD，
则CF=CD，&1=&4，&A=&6=45&；BD=AF；
∵&2=45&，
∴&1+&3=&3+&4=45&，
∴&DCE=&2．
在△ECF和△ECD中，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵&5=45&，
∴&BDE=90&，
∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；
④∵&7=&1+&A=&1+45&=&1+&2=&ACE，
∵&A=&5=45&，
∴△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AF&BF=AC&BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴=；=，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG&MH=AE&BF=AE&BF=AC&BC=，
故④正确．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
第Ⅱ卷（非选择题& 共90分）
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