知识点梳理
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“（2004o沈阳）阅读下列解题过程：题目：已知方程x2+3x...”，相似的试题还有：
阅读下列解题过程：题目：已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，求\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}的值．解：∵△=32-4×1×1=5＞0∴α≠β(1)由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1(2)∴\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}=\frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}+\frac{\sqrt{β}}{\sqrt{α}}=\frac{α+β}{\sqrt{αβ}}=\frac{-3}{1}=-3(3)阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．
设2x2-5x+1=0的根为α、β，不解方程求：(1)α2+β2；&(2)(1-\frac{1}{α})(1-\frac{1}{β})的值．
请先阅读下面的解题过程，再完成后面的问题．已知方程x2+3x+1=0的两个实数根为α，β，求\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}的值．解：因为△=32-4×1=5＞0，所以α≠β．…①由根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1．…．②所以\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}=\frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}+\frac{\sqrt{β}}{\sqrt{α}}=\frac{α+β}{\sqrt{αβ}}=\frac{-3}{1}=-3．…③上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．当前位置：
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已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根，则（x1-2）（x2-2）=（&&& ）。
题型：填空题难度：中档来源：山东省中考真题
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据魔方格专家权威分析，试题“已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根，则（x1-2）（x2-2）=（）。-九年..”主要考查你对&&一元二次方程根与系数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：如果方程&的两个实数根是那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。一元二次方程根与系数关系的推论：1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p&， x1`x2=q2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0提示：①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
发现相似题
与“已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根，则（x1-2）（x2-2）=（）。-九年..”考查相似的试题有：
424123905041497150904876121002461008已知x1.x2是方程x2-3x-1=0的两根.则(x1+1)(x2+1)的值等于3． 题目和参考答案——精英家教网——
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23、已知x1，x2是方程x2-3x-1=0的两根，则（x1+1）（x2+1）的值等于．
分析：x1，x2是方程x2-3x-1=0的两根，所以x1+x2=3，x1&#，而（x1+1）（x2+1）=x1&#8226;x2+（x1+x2）+1，然后把前面的值代入即可求出其值．解答：解：∵x1，x2是方程x2-3x-1=0的两根，∴x1+x2=3，x1&#，∴（x1+1）（x2+1）=x1&#8226;x2+（x1+x2）+1=-1+3+1=3．则（x1+1）（x2+1）的值等于3．故填空答案：3．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．体现了数学转化思想在解题中的应用．
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科目：初中数学
已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个实数根，则x13+8x2+20=（　　）
A、1B、-1C、D、-
科目：初中数学
题型：阅读理解
阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-，x1x2=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x21+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=-6，x1x2=-3则x21+x22=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：（x1+x2）2的值．
科目：初中数学
已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则1+2的值为（　　）A．2B．C．-2D．-
科目：初中数学
（;包头）已知x1，x2是方程x2+5x+1=0的两个实数根．（1）试求A=x12x2+x1x22的值；（2）试确定x1和x2的符号．
科目：初中数学
已知x1、x2是方程x2+2x-7=0的两个实数根．求下列代数式的值：（1）12+x22；（2）12+3x22+4x2．
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请输入姓名
请输入手机号已知关于x的方程x2－3x＋a=0和x2－3x＋b=0(a≠b)的四个根组成首项为的等差数列，求a＋b的值.
由方程x2－3x＋a=0和x2－3x＋b=0(a≠b)可设两方程的根分别为x1，x2和x3，x4，由x1＋x2=3和x3＋x4=3所以，x1，x3，x4，x2(或x3，x1，x2，x4)组成等差数列，由首项x1=，x1＋x3＋x4＋x2=6，可求公差d=，所以四项为：，∴a＋b=
试题“已知关于x的方程x2－3x＋a=0和x2－3x＋b...”；主要考察你对
等知识点的理解。
（本小题满分10分）甲、乙、丙三个电子厂在广告中都声称，它们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质监部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）甲厂：4、5、5、7、4、9、13、12、15、16乙厂：6、8、8、6、9、10、12、15、14、8丙厂：4、6、7、4、4、9、13、16、16、15如果你是顾客，宜选购哪家电子厂的产品？说明理由.
某公司为了解顾客对自己商品的总体印象，采取随机抽样的方式，对购买了自己商品的年龄在16～65岁之间的400个顾客，进行了抽样调查．并根据每个年龄段抽查人数和该年龄段对商品总体印象感到满意的人数绘制了下面的图(1)和图(2).根据上图提供的信息回答下列问题：小题1:被抽查的顾客中，人数最多的年龄段是　　　　　岁；小题2:已知被抽查的400人中有83%的人对商品总体印象感到满意，请你求出31～40岁年龄段的满意人数，并补全图(2)小题3:比较31～40岁和41～50岁这两个年龄段对商品总体印象满意率的高低（四舍五入到1%）．注：某年龄段的满意率＝该年龄段满意人数该年龄段被抽查人数100％．
（9分）某中学开展“五比五创”演讲比赛活动，九(1)班准备根据根据平时练习成绩准备从张华、李明2名选手选出一名参加比赛，他们两人的五次平时成绩（满分20分）如下图所示。（1）根据下图，分别求出张华、李明的平均成绩和方差；（2）根据（1）的计算结果，分析张华、李明同学各自的优点，并决定让那位同学参加比赛？
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