正四面体外接球A-BCD，CB=CD,AD⊥B...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-07 03:31 标签： 正四面体外接球
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高二数学立体几何复习测试
高二理科数学寒假网络课程（三）--浙江省高考中的立体几何大题
浙江省高考理科数学在考察立体几何大题时，通常设置两个小问进行考察。考察的知识点形式多样。 例如：2013年：（1）证明线面平行 （2）已知二面角，求其他平面角的大小2012年：（1）证明线面平行 （2）求二面角的值2011年：（1）证明线线垂直 （2）存在性问题，求点的具体位置2010年：（1）求二面角的值 （2）翻折问题，求线段长度2009年：（1）证明线面平行 （2）证明点的存在性问题，求线段长度2008年：（1）证明线面平行 （2）已知二面角，求线段长度
(2013年浙江）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD
＝在线段AC上，且AQ＝3QC．(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
是AD的中点，P是BM的中点，点Q(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OP，OF，FQ，因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝14AD．因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP＝12DM.又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝14AD．从而OP∥FQ，且OP＝FQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，所以PQ∥平面BCD．(2)解：作CG⊥BD于点G，作CH⊥BM于点H，连结CH.因为AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，所以AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM?平面ABD，所以CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，所以GH⊥BM，CH⊥BM.所以∠CHG为二面角C－BM－D的平面角，即∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ.在Rt△BCD中，CD＝BDcos θ
＝θ，CG＝CDsin θ
＝θsin θ， BG＝BCsin θ
＝2θ. Rt△BDM
中，HG?BG?DM在BM?在Rt△CHG中，tan∠CHG
＝CGHG?3cos?sin??所以tan θ
从而θ＝60°.即∠BDC＝60°.方法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系由题意知A(0
0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．????????因为AQ?3QC，所以
Q??3?x3y,1??40402??.?因为M为AD的中点，故M(0
又P为BM的中点，故P?0,0,??1??， 2?????
?3?3x?y,0所以PQ＝??40440??.??????又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，故PQ?u＝0.又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD．(2)解：设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．?????由CM＝(－xy00
,?????1)，BM＝
???x0x?y0?y?z?0,?1,知? 得m
＝.0????z?0.又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)，|m?n|?于是|cos〈m，n〉|
|?y?1?，即?0?① ???2?x0?2????????又BC⊥CD，所以CB?CD＝0，故(－x0
，y00)?(－xy0,0
,0)＝0，即x0＋y0＝2.②
22?x????x0?0,?0联立①，②，解得?(舍去)
或???y0??y?0??2所以tan∠BDC
?. 又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°. （2012年浙江）如图，在四棱锥P―ABCD
中，底面是边长为BAD＝120，且PA⊥平面ABCD，PA
＝?M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A―MN―Q的平面角的余弦值．
(Ⅰ)如图连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在?PBD中，MN∥BD．又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如图建系：A(0，0，0)，P(0，0
3，0)． 3，，0)，
2????????设Q(x，y，z)
，则CQ?(xy?3，z)，CP?(?3．
∵CQ??CP?(，?3?
)，∴Q，3?3?)． ????????????????1?OQ?CP?0，得：??．
即：Q2． 3?对于平面AMN：设其法向量为n?(a，b，c)．
由OQ?CP∵AM?(?????????????????3，0)，AN0，0)．
2??a???11?．
∴n?，0)． ?b?33??c?0??????????AM?n?0则???????AN?n?0??3?b?0??2?0?1． 同理对于平面AMN
得其法向量为v?记所求二面角A―MN―Q的平面角大小为?，
??n?v则cos???． n?v∴所求二面角A―MN―Q
（2011年浙江）如图，在三棱锥P?． ABC中，AB?AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
法一：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系????????则O(0,0,0)，A(0,?3,0)，B(4,2,0)，C(?4,2,0)，P(0,0,4)，AP?(0,3,4)，BC?(?8,0,0)????????由此可得AP?BC?0 ，????????所以AP?BC ，即AP?BC?????????（Ⅱ）解：设PM??PA,??1
，?????则PM??(0,?3,?4)，
??????????????????????BM?BP?PM?BP??PA?(?4,?2,4)??(0,?3,?4) ?(?4,?2?3?,4?4?)，????????AC?(?4,5,0)，BC?(?8,0,0)??设平面BMC的法向量n1?(x1,y1,z1)，
综上所述，存在点M 符合题意，法二：（Ⅰ）证明：AM?3 AB?AC,D为BC中点,?AD?BC,又PO?平面ABC,?PO因为?PO?所以BC?BC AD?O ?平面PAD
故BC?PA（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BM由（Ⅰ）知BC又AP?AP于M,连结CM, ?PA,得PA?平面BMC， ?平面PAC,?平面PAC, 所以平面BMC在Rt?ADB中，AB2?AD2?BD2?
41得AB?2在Rt?POD中，PD在Rt?PDB中，PB?PO2?OD2， ?PD2?BD2所以PB2?PO2?OD2?BD2?36得PB?6，
2PA2?PB2?AB21? 在Rt?POA中，PA?AO?OP?25得PA?5又cos?BPA?2PA?PB3222从而PM所以?PBcos?BPA?2， AM?PA?PM?3AM?3 综上所述，存在点M 符合题意，
（2010年浙江）如图， 在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE?EB?AF?（Ⅰ）求二面角2FD?4.沿直线EF将VAEF3翻折成VAEF，使平面'A'EF?平面BEF.
A'?FD?C的余弦值；'（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长
（2009年浙江）
如图，平面PAC?平面ABC，?ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10．（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；（II）证明：在?ABO内存在一点M，使FM?平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
（2008年浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF， ?BCF??CEF?90?
，AD?EF?2．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）当
AE∥平面DCF； AB的长为何值时，二面角A?EF?C的大小为60?？ D ACBFEE A D C B F
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四面体A-BCD,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点,求证（1）直线EF∥面ACD（2）面EFC⊥面BCD
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.∵E F是中点∴EF是三角形ABD的中位线
所以EF∥AD,
因为AD属于面ACD,所以EF∥面ACD（2）因为BC=CD
所以等腰△BCD
F为BD中点 所以CF⊥BD
因为AD⊥BD
EF∥AD 所以EF⊥BD
BD ⊥EF∴BD⊥面EFC ∵BD属于面BCD
∴面EFC⊥面BCD
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