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平面几何与立体几何
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欧几里得几何的意思：
【词语】： 欧几里得几何
【解释】： 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
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非欧几里得几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同。所谓广义的非欧几何是泛指一切和不同的几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指椭圆几何学。
非欧几里得几何诞生
的《》提出了五条公设，头四条公设分别为：
1.过两点能作且只能作一直线。 　　2.（有限直线）可以无限地延长。 　　3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。　　4.任何直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
长期以来，数学家们发现第五和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式相矛盾的,用它来代替第五公设，然
罗巴切夫斯基
后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五。我们知道，这其实就是数学中的。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
非欧几里得几何罗氏几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于不同，经过却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
同一直线的和斜线。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷远点。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的”。
非欧几里得几何黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何
讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在中不承认的存在，它的另一条讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、和等方面。
非欧几里得几何其他贡献
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什也曾研究过平行线理论，与高斯有过书信交往，但在一次发现其理论有简单的错误后受到打击，所以在研究第五公设时，认为这种研究是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
非欧几里得几何公设差别
公设一：由任意一点到任意一点可作直线。
公设二：一条有限直线可以继续延长。
公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设四：凡直角都相等。
公设五：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）
公设一：由任意一点到任意一点可作直线。
公设二：一条有限直线可以继续延长。
公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设四：凡直角都相等。
公设五：过直线外一点，至少可以做一条直线与已知直线平行。
非欧几里得几何关系
、、（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。
宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。
非欧几里得几何分析
根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。
罗氏几何：
根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交（可能是罗氏平行线）。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷（不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远）。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的，不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。
黎曼几何：
黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在上是可以应用的。
曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。
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逻辑不仅仅是思维方式
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--- 欧几里德几何学告诉了我们什么
古埃及也许注定发展不出现代文明。他们在公元前4500年前就已成功建造了结构复杂得令人叹为观止的金字塔，在公元前60
年又有妖艳的克丽奥帕特拉勾引古罗马三巨头，将所向披靡的凯撒和英雄的安东尼收在她的石榴裙下，几乎让罗马帝国为之倾城倾国 ---
但是发达的建造技术和绝顶美丽的女性跟科学精神无关，更孕育不出独立的人格和自由的思想。几何知识在古埃及虽然已经运用了几千年，希腊的米利都人泰勒斯只在公元前600年，在金字塔下小心翼翼地利用影子的长度来测量金字塔的高度（注一），欧几里德还只在公元前300年到埃及的亚历山大去学习几何，但是几何作为一门科学，只有在希腊人的头脑里才能创造出来，并且让一代又一代科学家为之着迷（西方几乎所有的数学家都从欧几里德的《几何原理》中寻找自己出发的灵感。）骄奢淫逸的托勒密王朝（公元前300年到公元前30年）终究无法摆脱崩溃的命运，而希腊人对外部世界的好奇和对内心的逻辑追求注定要在科学和哲学上为西方的文明打下坚实的基础，注入可持续发展的动力。
关于文明的成长，英国历史学家阿诺德·汤因比是这么告诉我们的：
“如果说自决是成长的标准，自决的意思是自省，那我们就可以分析各个文明实际上赖以成长的进程，条件是我们需要研究一下各个文明不断认识自己的途径。….一个社会是交流的中介,人类通过它来互相作用,正是许多个人而不是各个社会在‘创造’着历史。”（注二）
古希腊之所以能产生辉煌的文明，（其间的哲学家几乎都是数学家）从泰勒斯，毕达哥拉斯，欧几里德到苏格拉底，柏拉图，亚里斯多德以及无法罗列的长长的哲人名单，除了能解释的独特的地理位置（众多岛屿，面向大海，独立的城邦和开放的贸易等等）和民主制度外，还有令人羡慕的上天眷顾。正是城邦民主制度才能让“许多个人”得以自由行动和心灵自决。我们不在这里讨论产生古希腊文明的原因，我们要讨论的是，古希腊文明的一个分支，几何学
--- 一个对自由和普遍性原则追求的科学---对西方文明产生了什么影响。
事实上，演绎推理早在公元前6世纪在埃及和希腊就已经开始盛行，泰勒斯，毕达哥拉斯，欧几里德以及其他许多该时期（从泰勒斯到欧几里得，大约经过了300多年）的数学家只是对前人的成就做出整理，将之系统化和专业化，而其中尤以欧几里德的《几何原本》（ELEMENT）最为出色最为完整，影响也最为深远，直至今日。从流传下来的13卷《几何原本》看，欧几里德运用所谓不证自明的23个定义，5个公设和5个定理，将几何创造性地从技术层面上升到科学，而他所使用的工具则是逻辑演绎。（注三）一条公理与另一条公理相连，一个命题又带出另外一个命题，欧几里德用严谨的逻辑构织了几何学网络，而且后人可以从他的网络出发，不断地去证明，去创造新的命题。可以说，数学成为一门科学自欧几里得始。
那么他是如何做到呢？
欧几里德从不证自明的常识开始构造他的几何学：
对概念的定义：1，点是没有部分的；2，线只有长度没有宽度；3，一线的两端是点；….如此等等。
5条公设：1，从任一点到任一点可作直线；2，线段可以任意延长；3，以任意一点为中心，任一距离为半径可以作一圆；…如此等等。
5条公理是关于量的规定：1，等于同量的量彼此相等；2，等量加等量总量仍相等；3，等量减等量，余量仍相等；…如此等等。
欧几里德正是从这些一望而知的公理公设出发，运用人类大脑中天赋的演绎推理能力，来建立人类历史上第一座数学大厦。欧几里德通过他的几何学告诉我们，点、线、面、体是物理世界存在的本质。他没有直接说出来的是，只要前提正确，演绎逻辑可以还我们一个全新的世界。
显然，逻辑不仅仅是一种思维方式，还是发现新世界的方式。这种方式只依赖人类的理性，而不是外在的权威，来寻求普遍性。
倘若连运用逻辑的权利也被剥夺，人民失去了自决的能力，那么自由思想便彻底失去了机会，科学当然无从建立。
而在这里，我们要说的是另外一种可怕的权威，一种来自人类自身的盲目信仰。人们往往把外在的权威理解为政治上的权力高压。殊不知，当人类过于相信某种知识权威时，比如欧几里德的公设，那么理性就可能走向反面，成为自己的敌人。欧几里德的第五公设引出的历史性探索值得我们深思。
第五公设是这样表述的：
如果任一直线与另两直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长必在这一侧相交。
第一个试图证明这一公设的是一个叫克劳迪亚斯·托勒密的希腊数学家，他生于大约在公元200年间。300年后，另一个数学家，普罗克罗斯发现了托勒密的错误，做出了自以为正确的证明。以后还有不计其数的数学家为此付出了艰苦的努力，但都没有成功。他们对欧几里德几何学的信仰，使他们无法寻求其他可能性。直到公元5世纪，苏格兰人约翰.普雷菲尔建立了一个替代公理：“通过一条已知直线外的一个给定的点，有且只有一条直线平行于已知直线”。这条被称为“普雷菲尔公理”启发了18世纪的德国数学家高斯，19世纪的匈牙利数学家波约伊，俄国数学家罗巴切夫斯基这些伟大的数学家，他们各自独立考察了普雷菲尔公理并做出了可能性证明。这些证明都在逻辑上自洽，互不矛盾。高斯最早发现在这种新几何中，三角形内角和居然小于180度，他认为这与欧几里德几何学相违背，为此他不敢发表自己的论文。波约伊于日发现后高兴地欢呼：我从虚无中创造了一个新世界。（Out
of nothing, I have created a strange new
universe.）。但很快就被高斯的一番嘲讽压了下去。只有当罗巴切夫斯基在日在喀山大学宣读他的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》时，非欧几里德几何学才正式诞生。（注四）
从欧几里德几何学到非欧几里德几何学，虽然运用的都是逻辑演绎方法，但两者还是有本质差别的，前者还是在物理世界中，还是在经验和语言范畴之内。而后者则已经从物理世界中解放出来，运用想象的概念和严密的逻辑，创造了一个全新的世界。不像物理学的研究对象是实体世界，数学的研究对象就是数学本身---概念的提出提炼和提升，逻辑的演绎和扩展。正因为如此，几何学才能从平面几何走到立体几何，有多少几何学家就有多少种几何学。
欧几里德几何学运用的演绎逻辑不仅可以在自己的体系中不断发现，还可以创造出另外一个体系，另外一个世界。逻辑不仅是工具，它还是能量本身。不仅是一种世界观，还是为西方文明提供不断超越自我和他我的内生动力。
欧几里德几何学给西方文明的影响，不在它的体系和具体知识，而是她提供的方法，一种建立在不证自明的公理基础上，从公理中推出定理、再推出各种结论，从而保障知识的关联性和正确性。从人人明白的公理出发，而不是从人人不懂的信仰或教条出发，西方文明从欧几里德几何学那里获得的不仅是科学知识，更重要的是它的科学精神和科学方法。没有什么权威比人的常识更加可靠，也没有什么理论比逻辑更加值得尊重。文明的成长依赖成长中的文明因素，而逻辑就是其中最重要的因素。在西方文明中，古希腊的哲学（其中包含了数学和天文学等自然科学），中世纪神学和17世纪开始的科学导致了现代文明的产生。按照英国哲学家罗素的观点，一切确切的知识，都属于科学；一切涉及超乎确切知识之外的教条都属于神学。而介乎神学与科学之间还有一片受到双方攻击的无人之域，就是哲学。从西方历史看，不管是哲学，神学和科学，它们所依赖的工具都是从不证自明的公理开始，运用严谨的逻辑，建立自己的知识和信仰系统。神学就建立在不证自明的上帝存在上，而像圣.奥古斯丁这样的神学家，几乎就是哲学家和逻辑学家。
黑格尔在他的《哲学史演讲录》中，在“哲学在希腊的开始”一节中说：“个体的精神认识到它自身的存在是有普遍性的，这种普遍性就是自己与自己相关联。自我的自在性，人格性和无限性构成精神的存在。….一个民族之所以存在即在于它自己知道自己是自由的，是有普遍性的；自由和普遍性就是一个民族整个伦理生活和其余生活的原则。”（注五）哲学之所以能在古希腊绽放朵朵奇葩，如同几何学在泰勒斯，毕达哥拉斯和欧几里德身上放出耀眼的光芒，正是因为那个时代的人们充满了追求自由和真理的自觉行动和自我意识
& 自决正是文明成长的关键因素，在这点上，欧几里德的演绎逻辑给我们的启发已经超出了逻辑本身。
注一：根据公元前三世纪第欧根尼.拉尔修的《名哲言行录》，古希腊早期一些天文和数学方面的发现和发明虽然都归在泰勒斯的名下，其实有可能应该属于毕达哥拉斯或其他同时代人。但利用太阳照射的影子来测量金字塔的高度无疑是泰勒斯所创造。见《名哲言行录》（上），第18页，
吉林人民出版社，2003年第一版。
注二：阿诺德.汤因比《历史研究》第122页，上海人民出版社出版，2009年9月第1版。
注三：第欧根尼.拉尔修在他的《名哲言行录》中这么介绍欧几里德：“他拒绝使用类比进行辩论，宣称它必定要么取自相似者，要么取自不相似者。如果取自相似者的话，那么辩论应该处理的就是这些相似者，而不是它们的类比；如果取自不相似者的话，那么把这些不相似者放在一起就是没有道理的”。由此可见类比被逻辑学家的鄙视。
注四：参见纪志刚《数学的历史》（江苏人民出版社2009年10月第一版）105页到109页和约瑟夫.马祖尔《雨林中的欧几里德》（重庆出版社出版，2006年12月第一版），69页到73页。
注五：黑格尔《哲学史演讲录》第一卷，第118页，商务印书馆，1997年2月北京第9次印刷
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