∫(xsinx积分)^ndx=？有没有什么固...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-09 16:11 标签： xsinx积分
设I(n)=∫(sinx)^ndx 试证In=((n-1)/n)(In-2)
清枫捫優摫
I(n)=∫(sinx)^ndx =∫[(sinx)^(n-1)]sinxdx =-∫[(sinx)^(n-1)]d(cosx)=-[(sinx)^(n-1)]cosx+∫cosxd[(sinx)^(n-1)]=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫cos²x[(sinx)^(n-2)]dx=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫(1-sin²x)[(sinx)^(n-2)]dx=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫[(sinx)^(n-2)]dx-(n-1)∫[(sinx)^n]dxn∫[(sinx)^n]dx=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫[(sinx)^(n-2)]dx∫[(sinx)^n]dx=-{[(sinx)^(n-1)]cosx}/n+[(n-1)/n]∫[(sinx)^(n-2)]dxI(n)=[(n-1)/n]I(n-2) -{[(sinx)^(n-1)]cosx}/n
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扫描下载二维码证明积分sinx^ndx(下限为0,上限为π）=积分sinx^ndx（下限为0,上限为二分之π）
血刺鬼哥撑g
应该是2倍,
∫(0,π)sinx^ndx=∫(0,π/2)sinx^ndx+∫(π/2,π)sinx^ndx对第2个积分,设x=π-t
当x从π/2,到π,t从π/2,到0,于是：∫(π/2,π)sinx^ndx=-∫(π/2,0)sin(π-t)^ndt=∫(0,π/2)sint^ndt=∫(0,π/2)sinx^ndx所以：∫(0,π)sinx^ndx=2∫(0,π/2)sinx^ndx
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基本初等函数乘积的不定积分基本初等函数乘积的不定积分
2012年第15期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　【摘要】本文给出基本初等函数15种乘积的不定积分公式结果。在15种结果中，有11种情况的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况的积分结果不能用初等函数表示出来。中国论文网 /9/view-3435016.htm　　【关键词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数　　【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号）　　一、幂函数与指数函数乘积的不定积分　　1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。　　二、幂函数与对数函数乘积的不定积分　　2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。　　三、幂函数与三角函数乘积的不定积分　　3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。　　4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。　　四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分　　5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。　　6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。　　其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,　　五、指数函数与对数函数乘积的不定积分　　7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。　　六、指数函数与三角函数乘积的不定积分　　8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。　　9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。　　七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分　　10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。　　11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。　　八、对数函数与三角函数乘积的不定积分　　12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。　　13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。　　九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分　　14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。　　15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。　　十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分　　16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。　　17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。　　18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。　　19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。　　十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分　　20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。　　十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分　　21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。　　十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分　　22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,　　∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。　　十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分　　23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。　　24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。　　25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。　　十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分　　26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。　　27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。　　28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。　　上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。　　例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。　　解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。　　　　【参考文献】　　［1］侯风波。高等数学：第二版［M］。北京：高等教育出版社，。　　［2］中国高等教育学会组织编写，侯风波主编。应用数学（理工类）：第一版［M］。北京：科学出版社，。
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浪子菜刀76孬
∫sinx^ndx
(0→π)=2 ∫sinx^ndx (0→π/2)=2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 4/5 · 2/3 · 1
(n为正奇数） 2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 3/4 · 1/2 · π/2
(n为正偶数）n为正奇数∫cosx^ndx
(0→π) = 0n为正偶数∫cosx^ndx
(0→π) =2 ∫cosx^ndx (0→π/2)=2 ∫sinx^ndx (0→π/2)=2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 4/5 · 2/3 · 1
(n为正奇数） 2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 3/4 · 1/2 · π/2
(n为正偶数）望采纳
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