10微分几何测试题集锦(含答案)-第3页
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10微分几何测试题集锦(含答案)-3
三．计算题（10×4=40分）；1.求曲线C：r=｛；挠率.；2.设曲线C：r=?acost,；3.求圆柱面r=?Rcosu,asint,513；并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.；4.求曲面S：r=?a?u?v?,b?u-v?,；四．证明题（10×2=20分）；1．证明：如果一条曲线C：r=r(s)(s是弧长；有从切面都经过一个固定点，则C的挠率和
三． 计算题（10×4=40分）1. 求曲线C：r=｛挠率.2. 设曲线C： r=?acost,3. 求圆柱面 r=?Rcosu,asint,513cost, 813?sint, 1213cost｝的曲率和 求f(x). ?f?t?dt?是平面曲线，?处的切平面方程，Rsinu,v?在?u0,v0并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.4. 求曲面S：r=?a?u?v?,b?u-v?,uv??a?0,b?0?的高斯曲率.四． 证明题（10×2=20分）1．证明：如果一条曲线C：r=r(s) (s是弧长参数)的所有从切面都经过一个固定点，则C 的挠率和曲率之比是s的一次函数.2．?1?证明：可展曲面上的直母线是曲率线.如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平?2?证明：面.《微分几何》测试题（三）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ r(t)具有固定方向的充要条件是______________________。⒉ 挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。???
⒊ 曲线r?r(t)在P(t0)点的主法向量是?，则曲线在P点的从切面方程是?。⒋ 如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向
。⒌ 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为____________。7．半径为R的球面的高斯曲率K= .8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。9. 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 ?。二．选择填空题：（每小题3分，共30分）1、圆柱螺线x?cost,y?sint,z?t在点?1,0,0?的切线为______。A、C、x?10x?11??y0y1??z0z1
D、y?z?02、曲面的三个基本形式之间的关系为______。A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0
B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0
D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0?????
3、在直纹面r?a(u)?vb(u)（b(u)为单位向量）中，导线a(u)是腰曲线的充要条件是_____。????????????A、a?b?0
D、a//b4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。A、M = 0
B、L = N = 0
C、M = F = 0
D、F = 05、下列曲面中_____不是可展曲面。A、柱面
C、一条曲线的切线曲面
D、正螺面6不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角
B、曲线的弧长C、曲面域的面积
D、在一点沿一方向的法曲率7、曲面r?r(s,t)，n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，
是不正确的。A、N = rtt?n
B、N = ?rt?nt
C、N = rt?nt
D、N = n?rtt9、球面r?(Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?)的坐标曲线构不成
。 ????????????A、正交的渐近网
C、曲率线网
D、半测地坐标网?????
10、曲线r?r(s)在P点的基本向量是?,?,?,曲率为k(s) ,挠率为?(s)，则?(s) 。????????????
B、??? A、?
D、???三．计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）1、求螺线x?cost,y?sint,z?t上点?1,0,0?的曲率和挠率。2、确定螺旋面x?ucosv,y?usinv,z?cv上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。四．证明题：（每小题8分，共24分）1．证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。 《微分几何》测试题（四）一、填空题（每小题2分，共20分）1、变矢r(t)满足r?r'?0的充要条件是______________________。2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为?、?、?，则过P点由?和?确定的平面叫曲线（C）在P点的________________________。3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G的边界?G是一条光滑闭曲线，则??Kd??__________G?2?。二、选择题（每小题3分，共30分）11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。A、法曲率k n
B、挠率τC、测地曲率k g
D、曲率k12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。A、平面曲线
D、渐近线13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。A、大于零
D、不确定14、设?、?、?是曲线（C）在一点的三个基本向量，则??=_____（k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。A、k?
D、τ?15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。A、F= 0
C、F = M = 0
D、L = N = 016、曲面上的直线不一定是_____。A、渐近线
D、法截线19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。A、锥面
B、单叶双曲面
C、双曲抛物面
D、挠曲线的主法线曲面 ?三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)21、求曲线r(t) = { t ,
t 2 , e t } 在t = 0点的密切平面和主法线。?22、求曲线r(t) = {a (1－sint) ,
a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。 ?23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线。24、求抛物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。 25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。 《微分几何》试题（五）一．填空题：（每小题2分，共20分）?
⒈ 变矢r(t)具有固定方向的充要条件是__________________。???????r
⒉ 设曲线（C）的参数表示是r?r(s)，s是弧长，则???叫作曲线(C)的??r___________。⒊ 如果曲线在各点的曲率____________，则曲线是直线。????
⒋ 曲线r?r(t)在P点有挠率?=3，则曲线r?r(t)在P点附近的形状是__________。⒌ 一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向__________。⒍ 两个曲面之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第Ⅰ基本形式。⒎ 曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。则曲面上曲率线的微分方程是
。⒏ 在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的________重合于曲面的法线。⒐ 曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的__________。⒑ 曲面上连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。二．选择填空题：(每小题3分，共30分)11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率?n=0，则曲线一定是曲面上的_______。A、渐近曲线
B、平面曲线
D、测地线12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。A、平面曲线
D、渐近线13、在曲面上的双曲点，LN?M2_____。A、大于零
D、不确定??????
14、设?,?,?是曲线(C)在一点的三个基本向量，则??=_____。（k,?分别表示曲线在该点的曲率和挠率）????????A、k?
D、??15、正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是_____。22?A、?2dudv
B、?0 C、du?(u?b)dv
D、(u?b)du?dv16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。222222包含各类专业文献、中学教育、幼儿教育、小学教育、行业资料、应用写作文书、外语学习资料、10微分几何测试题集锦(含答案)等内容。　
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笑话大全集 笑话大全爆笑版 幽默笑话大全 全球冷笑话精选...高考狗，一模考的跟shi一样，第一天下午数学考完就觉得要歇，填空题错3个16题立体几何第二问证面面_百度知道
高考狗，一模考的跟shi一样，第一天下午数学考完就觉得要歇，填空题错3个16题立体几何第二问证面面
以前从没有过！这数学该怎么办！，然后17题解析几何第二问斜率又算错了！，第一天下午数学考完就觉得要歇.20题写的在意料之中，就写了第一问。考前写了很多去年的模拟题，结果，还特地跟我女神说这次考的肯定比她好，2，填空题错3个16题立体几何第二问证面面垂直就纠结了10分钟还没证出来！19.3问自己都不知道写的是什么高考狗？ 盐城，18题应用题根本没心思算，一模考的跟shi一样
把相关知道重新复习一下，所以，真正的还是高考别着急，加油吧，模拟考试 只是检验，根据自己做错的题
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2011届高考数学第一轮复习阶段立体几何质量检测试题及答案2
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2011届高考数学第一轮复习阶段立体几何质量检测试题及答案2
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 阶段质量检测(七)　立体几何(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷　(，共40分)
一、(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(;浙大附中模拟)已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为(　　)A.22　　　　　　　B.3＋22&&&&&&&&& C.32&&&&&&&&&&&&&&& D.3＋32
解析：根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示，CD垂直于等腰直角三角形ABC所在平面，于是，易得S＝S△ABC＋S△ACD＋S△CBD＝12＋12＋32＋12＋3＋32.答案：D2．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中为假命题的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．若a∥b，则α∥β&&&&&&&&&&&&&&& B．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交&&&&&& D．若α，β相交，则a，b相交解析：若α，β相交，则a，b既可以是相交直线也可以是异面直线．答案：D3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ&&&&&&&&&&& B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥β&&&&&&&&&& D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析：A中α与γ可以平行，C中可能有m⊂β，D中m与n可以平行．答案：B4．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是&&&& (　　)A．l1∥α且l2∥α　　　　 B．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄α&&&&&&&&& D．l1∥α且l2⊂α解析：根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知B为l1∥l2的一个充分条件．答案：B5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为(　　)A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内解析：根据面面垂直的性质定理，有选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．答案：D6.用一些棱长是1 cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．6 cm3&&&&&&&&&&& B．7 cm3C．8 cm3&&&&&&&&&&& D．9 cm3
解析：由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块，故体积最多为7 cm3.答案：B7．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．4条&&&&&&&& B．6条&&&&&& C．12条&&&&&&&& D．8条解析：如图，P、E、F、H分别为AD、AB、A1B1、A1D1的中点，则平面PEFH∥平面DBB1D1，所以四边形PEFH的任意两顶点的连线都平行于平面DBB1D1，共6条，同理在另一侧面也有6条，共12条．答案：C8.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.64&&&&&&&& B.34&&&&& C.62&&&&& D.72
解析：如图，取C1A1、CA的中点E、F，连接B1E与BF，则B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH为所求的DH=B1E= ，DA= ，所以sin∠DAH= 答案：A第Ⅱ卷　(非选择题，共110分)
二、(本大题共6小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)9．(;辽宁高考)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．
&则该几何体的体积为　　　　m3.解析：由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V= ×2× ×3×4=4 m3，答案：410．如图，AD⊥平面BCD，∠BCD＝90°，AD＝BC＝CD＝a，则二面角C－AB－D的大小为__________．
解析：取BD的中点E，连结CE，则CE⊥面ABD，作EF⊥AB，∴CF⊥AB得∠CFE为所求．
又CE= a，CF= ，∴sin∠CFE= 答案：60°11．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为________．解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为43π&#π，于是设底面圆的半径为r，则有2πr＝43π，所以r＝23，于是圆锥的高为h＝1－(23)2＝53，故圆锥的体积为V＝4581π.答案：4518π12．(;皖中模拟)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是________．解析：补成长方体易求4R2＝81，∴S＝4πR2＝81π.答案：81π13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于________．解析：过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F，连结BF，则∠BC1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角．设正方体的棱长为1，由P为棱DC的中点，则易得BC1＝2，C1F＝ 12＋(12)2＝52，BF＝ 12＋(12)2＝52.在△BC1F中，cos∠BC1F＝(2)2＋(52)2－(52)22×2×52＝105.答案：10514．(;江南测试)棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．解析：因为正方体内接于球，所以2R= ，R= ，过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR于点P，所以，在△QPO中，QR=2QP=2 答案： 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(;泉州模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．&&(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)证明：BD∥平面PEC；(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝42，BE＝22，AB＝AD＝CD＝CB＝4，∴VP－ABCD＝13PA×SABCD＝13×42×4×4＝6423.(2)证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，∵EB∥PA，且EB＝12PA，又OF∥PA，且OF＝12PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.(3)连结BP，∵EBAB＝BAPA＝12，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.16.(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.&(1)求证：BC⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)求四棱锥D－ABCE的体积.解：(1)证明：由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE.∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，∴BC⊥平面DCE.(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∴FG∥平面BCD(由线线平行证明亦可).(3)V＝13×1×2×3＝233.17.(本小题满分14分)(;徐州模拟)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、PD的中点.&(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PEFC的体积.解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG& 12CD，AE 12CD∴FG&& AE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG＝AF＝2，GF＝12CD＝2，S△PCF＝12PD•GF＝2.得四面体PEFC的体积V＝13S△PCF•EG＝223.18. (本小题满分14分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M为PC的中点，N点在AB上且AN＝13NB.(1)证明：MN∥平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角.解：(1)证明：过M作ME∥CD交PD于E，连接AE.∵AN＝13NB，∴AN＝14AB＝12DC＝EM.又EM∥DC∥AB，∴EM AN，∴AEMN为平行四边形，∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB交CB于点F，连接QF，过N点作NH⊥QF交QF于H，连接MH.易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，∴BC⊥平面QNF，∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角.通过计算可得MN＝AE＝22，QN＝34，NF＝342，∴NH＝QN•NFQF＝QN•NFQN2＋NF2＝64，∴sin∠NMH＝NHMN＝32，∴∠NMH＝60°.∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.19. (本小题满分14分)(;西安八校联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点.(1)求证：AC1∥平面B1CD；(2)求二面角B－B1C－D的正弦值.解：(1)证明：如图，连接BC1交B1C于点E，则E为BC1的中点.∵D为AB的中点，∴在△ABC1中，AC1∥DE又AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.又平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.∴平面B1CD⊥平面B1BD，过点B作BH⊥B1D，垂足为H，则BH⊥平面B1CD，连接EH，
∵B1C⊥BE，B1C⊥EH，∴∠BEH为二面角B－B1C－D的平面角.在Rt△BHE中，BE＝2，BH＝BB1•BDB1D＝23，则sin∠BEH＝BHBE＝63.即二面角B－B1C－D的正弦值为63.20. (本小题满分14分)(;东北四市模拟)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且CE＝λCC1.(1)λ为何值时，A1C⊥平面BED；(2)若A1C⊥平面BED，求二面角A1－BD－E的余弦值.解：法一：(1)连接B1C交BE于点F，连接AC交BD于点G，∴AC⊥BD，由垂直关系得，A1C⊥BD，若A1C⊥平面BED，则A1C⊥BE，由垂直关系可得B1C⊥BE，∴△BCE∽△B1BC，∴CEBC＝BCBB1＝12，∴CE＝1，∴λ＝CECC1＝14.(2)连接A1G，连接EG交A1C于H，则A1G⊥BD.∵A1C⊥平面BED，∴∠A1GE是二面角A1－BD－E的平面角.∵A1G＝32，EG＝3，A1E＝17，∴cos∠A1GE＝18＋3－，法二：(1)以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz.依题设，D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，∵CE＝λCC1＝4λ，∴E(0,2,4λ)， ∴ ＝(2,2,0)， ＝(2,0,4)，&＝(－2,2，－4)， ＝(0,2,4λ)，∵ • ＝2×(－2)＋2×2＋0×(－4)＝0，∴ ⊥ ，∴DB⊥A1C.若A1C⊥平面BED，则A1C⊥DE，∴ ⊥ ，∴ • ＝(－2)×0＋2×2＋(－4)×4λ＝4－16λ＝0，∴λ＝14.(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1B的一个法向量，则n⊥ ，n⊥ ，∴2x＋2y＝0,2x＋4z＝0，令z＝1，则x＝－2，y＝2，∴n＝(－2,2,1)由(1)知平面BDE的一个法向量为 ＝(－2,2，－4)∴cos〈n， 〉＝ ＝69.即二面角A1－BD－E的余弦值为69.文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?问：求解，填空题1、2、3都要，大学高数，向量代数和空间解析几何，要详细过程，满意必采纳。_百度知道
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太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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其他2条回答
都上大学了，还抄作业……
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