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matlab实现傅里叶变换
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3秒自动关闭窗口02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换_数字信号处理（精品）_ppt_大学课件预览_高等教育资讯网
数字信号处理（精品）：02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
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第二章序列的 Z变换与傅里叶变换2本章目录? 序列的 Z变换? 序列的傅里叶变换? 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系? Matlab实现32.1 引言? 信号与系统的分析方法,? 时域 分析? 变换域 分析? 连续时间信号与系统? 信号用 时间 t的函数 表示? 系统用 微分方程 描述? 离散时间信号与系统? 信号用 序列 表示? 系统用 差分方程 描述4时域与频域分析傅里叶变换时间域频率域(复频域 )拉普拉斯 变换推广傅里叶变换时间域频率域(复频域 )Z变换推广? 连续时间信号与系统? 离散时间信号与系统5本章主要内容? 序列的 Z变换? Z变换的主要性质? 序列的傅里叶变换? 傅里叶变换的主要性质62.2 序列的 Z变换? Z变换及其收敛域的 定义? 几种序列 的 Z变换及其收敛域? 逆 Z变换? Z变换的 性质和定理? 利用 Z变换 求解差分方程72.2.1 Z变换及其收敛域的定义? 序列的 Z变换定义? 双 边 Z变 换( ) [ ( ) ] ( ) ( 2, 1 )nnX z x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ?? 单 边 Z变 换110( ) [ ( ) ] ( ) ( 2, 2 )nnX z x n x n z?? ??? ? ? ?? 因果序列 的 Z变换, 单 边 Z变换可以看成因果序列情况下的双边 Z变换8Z平面与单位圆? 变量 z的极坐标形式? Z平面, Z变换定义 式中 z所在的复平面,z是一个连续复变量，具有实部和虚部? 单位圆,? 在 Z平面上 |z|= 1为半径的圆? 单位圆上的参数可表示为j| | ezz ??jez ??9例, 求序列的 Z变换例 2.1 求序列 的 Z变换 。 ( ) ( )nx n a u n?解,序列 x(n)是因果序列，根据 Z变换的定义1001 1 2 1 3( ) ( ) ( )1 ( ) ( )n n n nn n nX z x n z a z aza z a z a z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?分 析收敛性,X(z)是无穷项幂级数。1101( ) ( ),| | | |1nnzX z az z aa z z a?????? ? ???? ＞? X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为? 当 |z|≤a时级数发散，当 |z|＞ |a|时级数收敛。10Z变换的收敛域? 根据级数理论，式 (2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即? 收敛域, 对于给定的任意序列 x(n)，使其 Z变换收敛的所有 z值的集合组成的区域。? 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域| ( ) |nnx n z???? ? ???? ＜? 收敛半径 Rx-可以小到 0,Rx+可以大到 ∞? 收敛域以原点为中心,Rx-和 Rx+为半径的环域112.2.2 几种序列的 Z变换及其收敛域序列 x(n)的性质决定了 X(z)的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同 。? 有限长序列,0≤|z|＜ +∞ 或 0＜ |z|≤+∞? 右边序列,Rx-＜ |z|＜ +∞? 左边序列,0＜ |z|＜ Rx+? 双边序列,Rx- ＜ |z|＜ Rx+12有限长序列? 有限长序列只在有限区间 n1≤n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零? Z变换21( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?? 要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。| ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz? ?＜+ ||z ?0 ＜ ＜+x(n)有 界 开域? 边界讨论,z= 0及 z= ∞两点是否也收敛与 n1,n2取值情况有关。 （具体见教材 p40与例题）13例：求有限长 序列的 Z变换例 2.2 求序列 的 Z变换。讨论,? 假设 |a|是有限值，且 |a|＜ 1。? X(z)有一个 z= a的极点，但也有一个 z= a的零点，将零极点对消。? 收敛域为 0＜ |z|≤+∞。解,根据 Z变换的定义11111001 ( )( ) ( )1NNNn n nnnazX z a z a zaz?????????? ? ????( ) ( )n Nx n a R n?14右边序列? 右边序列只在有限区间 n≥n1 内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零? Z变换1( ) ( ) ( 2, 5 )nnnX z x n z????? ?? 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z1|上绝对收敛11| ( ) |nnnx n z??????? ＜15右边序列（因果）的收敛域假设, z是圆外任意一点，即 |z|＞ |z1|? 当 n1≥0时，序列为因果序列111( ) | ( ) | | ( ) |nnn n n nX z x n z x n z? ? ? ?????? ? ??? ＜＜? 显然，级数 X(z) 收敛。? 讨论：级数 X(z)中没有正幂项，|z|= +∞时级数收敛，因此收敛域包括 ∞点，即为Rx-＜ |z|≤+∞16右边序列（非因果）的收敛域? 当 n1＜ 0时，序列为非因果序列111012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )n n nn n n n nX z x n z x n z x n zX z X z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? 显然，当 z取有限值时，级数 X1(z) 的值有限，而级数 X2(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收敛域是以 Rx-为半径的圆的外部区域，即Rx-＜ |z|＜ +∞17左边序列? 左边序列只在有限区间 n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零? Z变换2( ) ( ) ( 2, 6 )nnnX z x n z ?? ? ?? ?? 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z2|上绝对收敛22| ( ) |nnnx n z ?? ? ???? ＜18左边序列（逆因果）的收敛域假设, z是圆内任意一点，即 |z|＜ |z2|? 当 n2≤ 0时，序列为逆因果序列222| ( ) | | ( ) |nnnnnnx n z x n z??? ? ? ? ? ????? ＜＜? 显然，级数 X(z) 收敛。? 讨论：级数 X(z)中没有负幂项，|z|= 0时级数收敛，因此收敛域包括 0点，即为0 ≤ |z| ＜ Rx+19左边序列（非因果）的收敛域? 当 n2＞ 0时，序列为非因果序列22 1012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )nnn n nn n nX z x n z x n z x n zX z X z?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? 显然，当 z取 0外的有限值时，级数 X2(z) 的值有限，而级数 X1(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收敛域是以 Rx+为半径的圆的内部区域，即0＜ |z|＜ Rx+20例：求左边 序列的 Z变换例 2.3 求序列 的 Z变换。解,讨论,? 当 |az|＜ 1，即 |z|＜ 1/|a|时，级数收敛。 X(z)可用封闭形式表示? X(z)有一个 z= 1/a的极点，但也有一个 z= 0的零点 。1122( ) ( )( 1 )n n nnnX z a z a za z a z a z? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?????( ) ( 1 )nx n a u n?? ? ?( ),| | 1 / | |1 azX z z aaz? ? ＜21双边序列? 双边序列指 n从 -∞到 +∞都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和? Z变换1210( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2,7 )nnnnnnX z x n z X z X zx n z x n z???? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ??????? 讨论,X1(z) 收敛域为 0＜ |z|＜ Rx+；X2(z)收敛域为 Rx-＜ |z|＜ +∞。双边序列Z变换的收敛域是公共部分。? 如果满足 Rx-&Rx+,则 X(z)的收敛域为环状区域，即 Rx-＜ |z|＜ Rx+ ；?如果满足 Rx-≥Rx+，则 X(z)无收敛域。22例：求双边 序列的 Z变换例 2.4 己知序列讨论,? 极点为 z1= a和 z2= b? 零点为 z1= 0和 z2= (a+b)/2? 收敛域为环域 a＜ |z|＜ b解,10( ) ( )( 2 )( ) ( )n n n n nn n nX z x n z b z a zz z z z a bz a z b z a z b? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?,0(),0nnanxnbn???? ???≥＜如果 0＜ a＜ b，求其 Z变换及其收敛域。232.2.3 逆 Z变换? 逆 Z变换,由 X(z)及其收敛域求序列 x(n)的变换。? 求逆 Z变换的方法,? 幂级数法 (长除法 )? 部分分式展开法? 围线积分法。24幂级数法 (长除法 )1 0 1 2( ) ( ) ( 1 ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2, 8 )nnX z x n z x z x z x z x z??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? Z变换的定义可知, X(z)是复变量 z-1的幂级数，其系数是序列 x(n)的值? 显见, 只要在给定的收敛域内，把 X(z)展开成幂级数，则级数的系数就是序列 x(n)? X(z)展开成幂级数的方法,? log,sin,cos等函数, 利用幂级数公式? 有理分式, 直接用长除法25例：幂级数法求逆 Z变换例 2.5 求, |a|＜ |z| 的逆 Z变换。展开 X(z)得解,利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的幂级数公式1( ) l n (1 )X z a z ???112311 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )23nnnnnx x x x x x xnn?? ?????? ? ? ? ? ? ? ??LL ＜≤111( 1 )( ) l n ( 1 ) n nnnX z a z a zn???????? ? ? ?1( 1 )( ) ( )n nx n a u nn???由收敛域 |a|＜ |z|知 x(n)为右边序列注, X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定 x(n)。26长除法, 展开有理分式 X(z)? 使用前判定对应 x(n) 类型, 由收敛域确定? 右边序列 (或因果序列 )? 左边序列 (或逆因果序列 )。? 根据 x(n) 类型展开 X(z)? 右边序列, X(z)展成负幂级数，分子分母应按 z的降幂排列? 左边序列, X(z)展成正幂级数，分子分母应按 z的升幂排列。27例：长除法 --X(z) 降幂排列例 2.6 求, |z|＞ 3的逆 Z变换。解,收敛域是圆外部，对应右边序列。当 z→∞ 时,X(z)趋近于有限值 0，说明收敛域包括 ∞点，因此是因果序列。把 X(z)的分子分母按 z的降幂排列1123()(1 3 )zXzz??? ?1123()1 6 9zXzzz???? ??1 2 2 3 3 4 40( ) 0 3 2 3 3 3 4 3 3 nnnX z z z z z n z??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??L长除运算，得由此得到( ) 3 ( )nx n n u n??28例：长除法 --X(z) 升 幂排列例 2.7 求, |z|＜ 3的逆 Z变换。解,收敛域是圆内部，对应左边序列。当 z=0时,X(z)趋近于有限值 0，说明收敛域包括 0点，因此是逆因果序列。把 X(z)的分子分母按 z的升幂排列1123()(1 3 )zXzz??? ?1213()9 6 1zXzzz???? ??12 3 41 2 1 4( ) ( ) 33 9 9 8 1 nnnX z z z z z n z? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??L长除运算，得由此得到( ) 3 ( 1 )nx n n u n?? ? ? ? ?29部分分式展开法1001100 1( 1 )()( ) ( 2,9)() ( 1 )MMkkkkkNNkk kk kb c zbzPzXzQz az a d z????? ?? ??? ? ????? ?? 方法：如果有理分式 X(z) 是两个实系数多项式 P(z)和 Q(z)的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆 Z变换，再相加得到 x(n)。? 式中,? ck是 X(z)的非零零点,dk是 X(z)的非零极点? P(z)和 Q(z)的阶次分别为 M和 N。30部分分式系数的计算? 当 M＜ N且 X(z)只有一阶极点时，则11( ) ( 2, 1 0 )1N kk kAXzdz ??? ??? 由留数定理1( 1 ) ( ) | (2, 1 1 )kk k z dA d z X z? ???? 当 M≥N且 X(z)除有一阶极点外，在 z= di处还具有 s阶极点，则110 1 1( ) ( 2, 1 2 )1 ( 1 )M N N s srkmr mr k mkiAcX z B zd z d z?? ???? ? ?? ? ???? ? ?? 式中,Br用长除法得到，系数 cm由式 (2.13)得到110 1 1( ) ( 2, 1 3 )1 ( 1 )M N N s sr kmr mr k mkiAcX z B zd z d z?? ???? ? ?? ? ???? ? ?31例：部分分式法求逆 Z变换例 2.８ 用部分分式法求逆 Z变换。求得系数为解,收敛域为圆外，右边序列。 z→∞ 时,X(z)趋近于有限值 1，确定是因果序列。 X(z)有两个一阶极点,z1= 2和 z2= 0.5111( ),| | 2( 1 2 ) ( 1 0, 5 )X z zzz??? ?? ＞1211() 1 2 1 0,5AAXzzz??????1121112 0, 51114( 1 2 ) |( 1 2 ) ( 1 0, 5 ) 3( 1 0, 5 ) |( 1 2 ) ( 1 0, 5 ) 3zzAzzzzz????????? ? ? ???? ? ? ? ???41( ) [ 2 0,5 ] ( )33nnx n u n? ? ? ?查表 2.1可得322.2.4 Z变换的性质和定理? １．线性,满足叠加原理Z[ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z),R-＜ |z|＜ R+ (2.20)例 2.12 求序列 x(n) = u(n)- u(n-3)的 Z变换。? 由于出现零极点抵消，收敛域增大了。? 由于 x(n)是 n≥0的有限长序列，收敛域是除 |z|=0之外的全部 z平面。Z [ ( ) ],11zu n zz? ? ＞3213Z [ ( 3 ) ],111nnzzu n z zzz???? ???? ? ? ???? ＞222( ) Z [ ( ) ] Z [ ( 3 ) ]111X z x n x nz z z zz z z?? ? ??????33Z变换性质? ２．序列的移位,Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( )n m k mnkx n m x n m z z x k z z X z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???证明Z [ ( ) ] ( )mx n m z X z???? ３．乘以指数序列,11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnna x n a x n z x n a z X a z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???证明1Z [ ( ) ] ( )na x n X a z??34Z变换性质? ４．序列的线性加权,1dd( ) ( ) ( ) ( )dd( ) [ ( ) ]nnnnnnz X z z x n z z n x n zzzn x n z Z n x n? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ??????证明? ? dZ [ ] ( )dnx n z X zz??? ５．序列的折叠,11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx n x n z x n z X z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???证明1 1 1Z [ ( ) ] ( ),xxx n X z R z R? ? ????? ＜＜35Z变换性质－－初值定理? ６．初值定理, 若 x(n)是因果序列，即x(n)= 0,n＜ 0，则120( ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nnnX z x n z x x z x z x n z?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? LL证明,x(n)是因果序列，有 ( 0 ) l i m ( )zx X z???( 0 ) li m ( )zx X z???显然0( 0 ) li m ( )zx X z??若 x(n)是逆因果序列，即 x(n)= 0,n＞ 0，有36Z变换性质－－终值定理? ７．终值定理, 若 x(n)是因果序列，且 X(z)的全部极点，除在 z= 1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则? ?( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] nnz X z z X z X z Z x n x n x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??证明：由 移位性质可得 1l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z? ? ? ???1( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]n knkz X z x k x k z ?? ? ???? ? ? ??x(n)是因果序列，则11l i m [ ( 1 ) ( ) ] l i m [ ( 1 ) ( ) ]l i m { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }l i m { ( 1 ) } l i m ( )nznknnnz X z x k x kx x x x n x nx n x n? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??L有37Z变换性质? ８．序列的卷积,W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z)·Y(z),R-＜ |z|＜ R+( ) Z [ ( ) * ( ) ] [ ( ) ( )] nnkW z x n y n x k y n k z???? ? ? ? ? ?? ? ???证明交换求和次序，并代入 m= n-k得( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nknkmkmW z x k y n k zx k z y m z X z Y z???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ?????38例,Z变换性质 求卷积例 2.１３X(z)和 H(z)收敛域分别为 |z|＞ a和 |z|＞ b，所以解, 查表得1( ) ( ),( ) ( ) ( 1 )n n nx n a u n h n b u n a b u n?? ? ? ?111 1 1 11 1 1( ),( )1 1 1 1a z a zX z H za z b z b z b z??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ),| |zY z X z H z z bzb? ? ? ? ＞-1( ) ( n ) * ( n ) = Z [ ( ) ] = ( )ny n x h Y z b u n?由收敛域知 y(n)是因果序列讨论, 在 z= a处,X(z)的极点被 H(z)的零点所抵消，如果 |b|＜ |a|，则 Y(z)的收敛域比 X(z)与 H(z)收敛域的重叠部分要大，如图 2.10所示。392.2.5 利用 Z变换求解差分方程? N阶线性常系数差分方程? 时域求解Z变换移位性质? Z变换求解 差分方程代数方程 Z变换式输出序列逆 Z变换解方程40例,Z变换 求差分方程例 2.１ 5 已知一个线性时不变系统的差分方程 y(n)=ay(n-1)+ x(n)，设初始条件 y(-1)= 2，输入时系统的输出序列。解,( ) ( )nx n b u n?112 ( )( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( )1a X zY z a z Y z y z X z Y zaz???? ? ? ? ? ??11( ) ( ) ( )1nx n b u n X zbz ?? ? ? ?于是1 1 121()1 ( 1 ) ( 1 )aYza z a z b z? ? ???? ? ?111( ) 2 nnn aby n aab??? ????零输入解和零状态解分别为 11 ( ) 2 ny n a ??112 ()nnabyn ab???? ?412.3 序列的傅里叶变换? 序列傅里叶变换的定义? 序列傅里叶变换的性质? 周期序列的傅里叶级数表示? 周期序列的傅里叶变换表示422.3.1 序列傅里叶变换的定义? 序列的傅里叶变换定义? 傅里叶逆变换定义j - j(e ) F [ ( ) ] ( ) e ( 2, 3 8 )nnX x n x n????? ? ??? ?1 j j j-1( ) F [ ( e ) ] ( e ) e d ( 2,3 9 )2nx n X X?? ? ?? ????? ?? 由 Z变换定义式j-je( ) ( ) enz nX z x n????? ? ? ?? ?? 比较可见, 序列的傅里叶变换在数值上等于它在 z平面单位圆上取值的 Z变换jj e( e ) ( ) ( 2, 4 0 )zX X z ?? ??j1 j 1e1( ) F [ (e ) ] ( ) d ( 2, 4 1 )2jnc zx n X X z z z ???????? ?i43傅里叶变换对的计算? 频谱用实部和虚部表示? 频谱用幅度和相位表示j j jRI( e ) ( e ) j ( e ) ( 2, 4 2 )X X X? ? ???jj j j a r g [ ( e ) ] j ( )( e ) | ( e ) | e ( ) e ( 2, 4 3 )XX X X?? ? ? ????? 幅度特性? 相位特性j 2 j 2 jRI( ) | ( e ) | ( e ) ( e ) ( 2,4 4 )X X X X? ? ?? ? ? ?jj IjR( e )( ) a r g [ ( e ) ] = a r g ( 2, 4 5 )( e )XXX????? ?44例,求序列傅里叶变换例 2.１ 6 求序列 x(n)= RN (n)的傅里叶变换。解, -j1j - j - j-j0- j / 2 j / 2 - j / 2- j ( 1 ) / 2- j / 2 j / 2 - j / 21e( e ) ( ) e e1ee ( e e ) s i nee ( e e ) s i n / 2NNnnNNnnN N NNR R nN?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ????????j s i n| ( e ) |s i n / 2NNR ? ???ja r g [ ( e ) ] = - ( 1 ) / 2NRN? ? ?画出模和相位的曲线,如图 2.11。45序列傅里叶变换的特点? 频谱是 ω的连续周期函数，周期为 2π。? x(n)为实序列时，频谱幅度在区间 0≤ω≤2π内是偶对称函数，相位是奇对称函数。j ( 2 ) j( e ) ( e )XX? ? ?? ?462.3.2 序列傅里叶变换的性质? １．线性,满足叠加原理jj1 2 1 2F [ ( ) ( ) ] ( e ) ( e )a x n b x n a X b X??? ? ?00j j ( )F [ e ( ) ] ( e )n x n X? ? ???- j jF [ ( ) ] e ( e )kx n k X????? 2．序列的移位,? 3．序列的调制,jd ( e )F [ ( ) ] jdXn x n ???? 4．序列乘以 n,47序列傅里叶变换的性质? 5．序列的折叠,-jF[ ( ) ] ( e )x n X ???jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e nnx n y n x n y n ?? ?? ? ?? ? ??* * - jF [ ( ) ] ( e )x n X ??? 6．序列的复共轭,? 7．序列的卷积,j( ) ( )e nnkx k y n k ??? ?? ? ? ? ? ?????* * jF [ ( ) ] ( e )x n X ???j j j j( )e ( )e (e ) (e )knkmx k y m X Y? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????令 n-k= m48序列的乘积jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e nnx n y n x n y n ?? ?? ? ??? ?? 8．序列的乘积,j j j1 (e )e d ( )e2nnnX y n? ? ? ?? ??? ??? ? ???? ?j j ( )1 (e )d ( )e2nnX y n? ? ? ?? ?? ? ???? ? ?? ??j j( )1 ( e ) ( e ) d2 XY? ? ? ?? ????? ?49序列的乘积2 j j1| ( ) | ( ) ( ) ( ) [ (e )e d ]2nn n nx n x n x n x n X? ??? ??? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? 8．帕斯瓦尔定理,能量守恒定理，表明信号在时域的总能量等于其频域的总能量jj1 (e ) ( ) e d2nnX x n? ??? ?? ?? ??? ? ?? ??jj1 ( e ) ( e ) d2 XX? ??? ????? ?j21 | ( e ) | d2 X? ?? ?? ?? ?50序列傅里叶变换的对称性? 任何序列 x(n)总能表示为一个共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列 xo(n)之和eo( ) ( ) ( )x n x n x n??**e e o o( ) ( ),( ) ( )x n x n x n x n? ? ? ? ?eo11( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]22x n x n x n x n x n x n??? ? ? ? ? ?? 定义 xe(n)和 xo(n)? 序列 x(n)与 xe(n)和 xo(n)的关系51序列傅里叶变换的对称性质522.3.3 周期序列的傅里叶级数表示? 周期序列 定义,? 周期序列 不是绝对可和 的,在任何 z值下，其 Z变换都不收敛( ) ( ),kx n x n k N??%% 为任意整数? 周期序列的 傅里叶级数表示2j( ) e knNkkx n a???? ? ?? ?% （2, 7, 4 ）? ak,傅里叶级数的系数? 基频序列, e1(n)? k次谐波序列, ek(n)2j1e (n)= enN?2je ( ) e knNk n??53周期序列用离散傅里叶级数表示? 离散傅里叶级数只有 N个独立谐波分量,因为复指数序列是 k的周期函数? 周期序列, 只取 k＝ 0到 N-1的 N个独立谐波分量足以表示原信号54周期序列的离散傅里叶级数变换对? DFS推导过程见 P63，得到变换对,? 离散傅里叶级数正变换? 离散傅里叶级数反变换55周期序列,时域与频域? 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是周期序列? 周期序列与有限长序列之间本质联系,周期序列的信息可用它在一个周期中的 N个值来代表，式(2.76)与 (2.77)中只取 N个序列值说明这一点。56例,求周期序列的傅里叶级数例 2.１ 7 设 {···,0,1,2,3,0,1,2,3,···}是一个以 N= 4为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。解, 2-j 44 ejW ?? ? ? 4 1 3400( ) ( ) ( j ) ( ),1,2,k n k nnnX k x n W x n k???? ? ? ? ? ???% %% L30(0 ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6nX x n x x x x?? ? ? ? ? ??% % % % % %因此得到，离散傅里叶级数 {···,6,-2+2j,-2,-2-2j,6，-2+2j,-2,-2-2j,··}30( 1 ) ( j ) ( ) (0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jnnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %3 20( 2 ) ( j ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2nnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %3 30( 3 ) ( j ) ( ) (0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jnnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %572.3.4 周期序列的傅里叶变换表示例 2.１ 8 设 = {···,1,1,1,1,0,0,0,0,···} 是一个以 N = 8为周期的周期序列，求傅里叶变换。解, 如图 2.14(a)是周期序列的周期 N= 8，傅里叶变换为j 22(e ) ( ) ( ),8kX X k k NNN? ?? ????? ? ?? ? ??%%参考例 2.16，可以得到2213- j - j800( ) ( )e eN k n k nNnnX k x n?????????% %7-j8 s i n ( )( ) es i n ( / 8 )k kXkk? ???%7-jj 8 s i n ( )( e ) e ( )4 s i n ( / 8 ) 4kkkXkk?? ? ? ??????? ? ????%582.4 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系? 对连续时间信号的理想取样输出，求拉普拉斯变换? 与离散时间信号的Ｚ变换式比较，得到? ?( ) ( ) e d ( ) ( ) e d( ) ( ) e d( ) ( ) e d ( ) es t s ta a astans t s ntaannX s x t t x t p t tx nT t nT tx nT t nT t x nTdd+?---?+ +--= -+? +---= -? -===-= - =蝌?ò邋 ò? ?e ?( ) (e ) ( 2, 8 9 )sT sT azX z X X s? ??? 当 时，取样序列 xa(nT)的Ｚ变换等于取样信号 的拉普拉斯变换。esTz?? ()axt59s平面到 z平面的映射关系? 将 s平面用直角坐标表示，即 s=σ+jΩ,z平面用极坐标表示，代入式 (2.90)中，得到1e,l n ( 2,9 0 )sTz s zT??j ( j ) j0 e e e eT T Tr ? ? ?? ? ???? 因此0 e,TrT? ?? ? ?? σ= 0时,r0= 1,s平面的 jΩ轴映射成 z平面的单位圆；? σ＜ 0时,r0＜ 1,s平面的左半平面映射成 z平面的单位圆内部；? σ＞ 0时,r0＞ 1,s平面的右半平面映射成 z平面的单位圆外部；60序列的 Z变换与傅里叶变换的关系? 傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即 s＝ jΩ，因而映射到 z平面上为单位圆，代入式 (2.89)得j je ?( ) (e ) ( j ) ( 2, 9 4 )T T azX z X X? ? ?? ??? 取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。612.5 Matlab实现? 序列逆 Z变换的 Matlab实现? 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现622.5.1 序列逆 Z变换的 Matlab实现? 函数 residuez,适合计算离散系统有理函数的留数和极点，可以用于求解序列的逆 Z变换。10111 1001()( ) ( 2, 9 8 )( ) 1M N M N kMk kN kkNkb b z b z RBzX z C za a z a z A z p z?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???LL? 函数 residuez基本调用方式,&&[r,p,c]= residuez(b,a);? 输入参数, b=[b0,b1,…, bM]为分子多项式的系数,a=[a0,a1,…, aN]为分母多项式的系数，这些多项式都按z的降幂排列? 输出参数, r是极点的留数,p是极点,c是无穷项多项式的系数项，仅当 M≥N时存在。63例：计算逆 Z变换例 2.19 计算 的逆 Z变换 。解, 有理分式 X(z) 分子和分母多项式都按 z的降幂排列。2() 2 3 1zXzzz? ??12 1 20()2 3 1 2 3zzXzz z z z??????? ? ? ??&&b= [0,1]; a= [2,-3,1]; % 多项式的系数?[r,p,c]= residuez(b,a); % 求留数、极点和系数项?disp('留数,');disp(r'); % 显示输出参数?disp('极点,');disp(p');?disp('系数项,');disp(c');程序运行结果为?留数, 1 -1?极点, 1.0?系数项,X(z)的部分分式形式 为1111() 1 1 0,5Xz zz??????逆 Z变换 为( ) ( ) ( 0, 5 ) ( )nx n u n u n??642.5.2 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现? DFS式 (2.77)的矩阵形式1 2 12 4 2 ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 ( 0 )( 0 )1 ( 1 )( 1 )1 ( 2,9 9 )( 2 )( 2 )1 ( 1 )( 1 )NN N NNN N NN N N NN N NxXW W W xXX W W W W xxXW W W xNXN??? ? ? ??? ?? ???? ?? ???? ???? ??? ? ? ??? ?? ???? ???? ?? ????????% %L% %L% % %%LM M M O M MM% %L? 由周期序列的 DFS定义,0≤n≤N-1,0≤k≤N-1，有? ?'0 0 0 0 01 0 1 2 10 1 2 1 ( 2.100)2 0 2 4 2( 1 )1 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )Nn k N NN N N N N? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?LLL LM M M M O ML? 只需计算 WN因子，由矩阵理论可计算式 (2.99)'()( ) ( 2, 1 0 1 )nkNX W x W x?? ? ? ?% %%65例：计算 周期序列 离散傅里叶级数例 2.21 计算 以 N= 4为周期进行周期延拓,求周期序列的离散傅里叶级数 。解,,0 3()0,nnxn ?? ??≤≤其它?&&xn= [0,1,2,3];N= 4; % 设定序列和周期?n= [0:1:N-1];k= [0:1:N-1]; % 设定 n和 k?WN= exp(-j*2*pi/N); % 设定 Wn因子?nk= n'*k;WNnk = WN.^ % 计算 W矩阵?Xk= xn*WN % 计算 DFS的系数 Xk?disp(xn);disp(Xk); % 显示计算结果 (系数 )程序运行结果为?0 1 2 3?6.0 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i
课件名称：课件分类：电子与通信课件类型：电子教案文件大小：5.31MB下载次数：1评论次数：1用户评分：8
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