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设函数f（x）=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（1）求f（x）的解析式；（2）已知函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，求其对称中心的坐标；（3）设直线l是过曲线y=f（x）上一点P（x0，y0）的切线，求直线l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）由题意得，f′（x）=a-1(x-b)2，∵在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，∴a-1(2-b)2=02a+12+b=3，解得a=1b=-1或a=94b=-83，∵a、b∈Z，∴a=1b=-1，则f（x）=x+1x-1，（Ⅱ）证明：由函数y1=x，y2=1x都是奇函数得，函数g（x）=x+1x也是奇函数，则g（x）的图象是以原点为中心的中心对称图形，∵f（x）=x+1x-1=x-1+1x-1+1，∴将函数g（x）的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，∴函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点（x0，x0+1x0-1），则由（I）得，f′(x0)=1-1(x0+1)2，∴过此点的切线方程为：y-（x0+1x0-1）=（1-1(x0+1)2）（x-x0），令x=1得y=x0+1x0-1，切线与直线x=1交点为（1，x0+1x0-1），令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为（2x0-1，2x0-1）．∵直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．∴所围三角形的面积为12|x0+1x0-1-1||2x0-1-1|=12|2x0-1|||2x0-2|=2，故所围三角形的面积为定值2．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方..”主要考查你对&&函数解析式的求解及其常用方法，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数解析式的求解及其常用方法函数的极值与导数的关系
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“设函数f（x）=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方..”考查相似的试题有：
521073288105500557554672456240430291(window.slotbydup=window.slotbydup || []).push({
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已知函数f（x）=ax2+（b-1）x+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a+b=（　　）A．13B．23C．43D．2
题型：单选题难度：偏易来源：不详
∵函数f（x）=ax2+（b-1）x+3a+b是定义域为[a-1，2a]的偶函数，∴其定义域关于原点对称，故a-1=-2a，解得a=13．又其奇次项系数必为0，故b=1，所以a=13，b=1，∴a+b=43．故选C．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax2+（b-1）x+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax2+（b-1）x+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a..”考查相似的试题有：
244491459887406706330495758094567437函数f(x)=(1+x的平方)分之(ax+b)的定义域为(-1,1),对于任意x,都有f(-x)=-(x)且f(2 分之1）=5分之2（1）确定函数f(x)的解析式 （2）用定义证明f(x)在(-1,1)上的单调性 （3）解不等式f(t-1)+f(t)＜0
1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)因为：f(x)是奇函数,所以：f(0)=b=0,即：f(x)=ax/(1+x^2).又因为f(1/2)=2/5所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5所以：a=1所以,所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2).2、设x1＜x2,且x1,x2∈(-1,1)f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]显然,上式中分母＞0,我们只需考查分子.分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)=(x2-x1)(1-x1x2)因为x1,x2∈(-1,1),所以x1x2＜1,即：1-x1x2＞0又因为x1＜x2,所以x2-x1＞0所以：当x2＞x1时,f(x2)＞f(x1)即：在(-1,1)定义域内,f(x)是增函数.补充答案：呵呵,楼主提出了第三问.那我就试试.3、解不等式f(t-1)+f(t)＜0解法一：因为：f(x)=x/(1+x^2). 所以不等式变为：(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)＜0[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]＜0因为分母＞0,所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)＜0即：2t^3-3t^2+3t-1＜0t^3+(t-1)^3＜0t^3-(1-t)^3＜0因为t-1,t∈(-1,1),所以t∈(0,1).所以上述不等式变为t^3＜(1-t)^3t＜1-t2t＜1t＜1/2前面我们有t∈(0,1),所以,不等式的解为：0＜t＜1/2解法二：因为f(x)是奇函数,即：f(-x)=-f(x)所以不等式变为f(t-1)＜f(-t)又因为：f(x)=x/(1+x^2)所以：(t-1)/(1+(t-1)^2)＜-t/(1+t^2)(t-1)(t^2+1)＜-t((t-1)^2+1)t^3-t^2+t-1＜-t^3+2t^2-2tt^3＜-(t^3-3t^2-3t-1)t^3＜-(t-1)^3t＜-(t-1)所以：t＜1/2.又因为：对于f(x),有x∈(-1,1).所以：t-1,t∈(-1,1),即：t∈(0,1).所以,不等式的解为：0＜t＜1/2/question/.html?si=4
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