时域分析法的学习要点及例题--《电视大学》1984年04期
时域分析法的学习要点及例题
【摘要】：正 自动控制理论研究的中心问题之一就是系统在控制过程中的精度。“精度”一词从工艺角度来说,一般指的就是静态的误差或称公差。而对控制工程来说,还有更深的含义。因为后者所研究的是动态系统,所以就必须研究系统在控制过程中的稳定性、平稳性、快速性及稳态误差。
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自动控制理论研究的中心向题之一就是系统在控制过程中的精度。“精度”一词从工艺角度来说,一般指的就是静态的误差或称公差。而对控制工程来说,还有更深的含义。因为后者所研究的是动态系统,所以就必须研究系统在控制过程中的稳定性、平稳性、快速性及稳态误差。 时域分析法
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京公网安备75号第三章 线性系统的时域分析法电气工程与自动化系通过上一章的学习，我们了解，在确定系统的数学 模型后，可以来分析控制系统的动态性能和稳态性 能。 在经典控制论中，常用的分析方法有： 时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析 的方法，具有直观、准确的优点。3-1 系统时间响应的性能指标控制系统性能的评价分为：动态性能指标和稳态 性能指标。为了求解系统响应，必须要了解输入信 号的解析表达式。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，
而 是随机的，很难用解析的方法表示。 因此，需要选择若干个典型输入信号。1.典型的输入信号常用的试验输入信号： （单位）阶跃函数： （单位）斜坡函数：r (t ) = 1(t ) , t ≥0r (t ) = t , t≥01 2 t , t≥0 2（单位）加速度函数： r (t ) = （单位）脉冲函数： 正弦函数：r (t ) = d(t ) , t = 0r (t ) = A sin wt究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，可 以参照系统正常工作时的实际情况。如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。 如室温调节系统 。 如控制系统的输入量是随时间等速变化， 采用斜坡信号作为实验信号。 如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采 用抛物线信号（宇宙飞船控制系统）。 如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。 如控制系统的输入随时间往复变化时，采用正弦 信号。对于某一具体系统，不同形式的输入信号，所 对应的输出响应是不同的，但系统性能是由自身结 构参数决定的，而与输入信号无关。 通常在线性系统分析中以单位阶跃函数作为典型 输入作用，则可以在一个统一的基础上对各种控制 系统的特性进行比较。2. 动态过程和稳态过程在典型输入信号作用下，任何一个控制系 统的时间响应都有动态过程和稳态过程两 部分组成。 动态过程和稳态过程，又称瞬态响应和稳 态响应 (Transient State Response & Steady state Response)。（1） 动态过程 在典型输入信号作用下，指系统从初始状态到 最终状态的响应过程。 由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原 因，系统的输出量不可能完全复现输入量的变 化。 动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。 一个实际运行的系统其动态过程必须是衰减的， 即系统必须是稳定的。（2） 稳态过程（稳态响应）在典型输入信号作用下，当时间t 趋于无穷大时，系 统的输出量的表现方式。表征了系统输出量最终复 现输入量的程度。 控制系统在典型性输入信号作用下的性能指标，通 常由动态性能和稳态性能两部分组成。3. 动态性能和稳态性能稳定是控制系统能够运行的首要条件，只有当动态 过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。（1）动态性能指标描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态 过程随时间 t 的变化状况的指标，称为动态性能指 标。1）延迟时间 t（Delay Time）： d 响应曲线从运动开始第一次达到稳态值的 一半所需的时间。h(t)0.5延迟时间tdt2）上升时间 （Rise Time）： r 响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间 对于过阻尼二阶系统，通常采用10～90%的上升时间 上升时间越短，响应速度越快。t欠阻尼系统h(t)上 升 时间trt过阻尼系统h(t)0.95上升时间trt3）峰值时间t（ p Peak Time）：响应曲线超过其终值到达第一个峰值所需 要的时间。欠阻尼系统h(t)峰值时间tpt4）调节时间ts（Setting Time）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数(通常 取5%或2%)作一个允许误差范围，响应曲线达到并 永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。h(t)调节时间tst? 5）最大超调量?s（ %Maximum Overshoot）:c与终值 (t p )之差的百 c (? )指响应的最大偏离量 分比，即 ：s %=c(t p ) - c( c(? ))100%h(t)A 超调量σ% = A 100% BBt动态性能指标h(t) h(t)A A 100% 超调量 超调量 σ%σ% = = 100% B B A A+0.05 -0.05峰值时间 峰值时间 tp B tpB上 升 上 升 时间 时间 tr tr调节时间tst t（2）稳态性能指标：当时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输 入量的确定函数，则系统存在着稳态误差。 ? 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数的作用下进 行测定或是计算。? 小结：上述性能指标中： tr , t p ,反应了系统 ts , td 暂态响应的快速性。 其中： t s反应了系统响应的总体快速性，所以一 般认为在 之前为暂态响应，之后为稳态响 ts 应。 反应了系统暂态过程的振荡性，其本质反 s 00 应了系统的相对稳定性。 ess 反应了系统的稳态精度。ts3.2 一阶系统的时域分析1 一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。 如图所示的RC电路，其微分方程为： R duc RC ? U c ? r (t ) + + dt c(t) r(t) i(t)CT C (t ) ? C (t ) ? R(t )（ a） 电 路 图?其中c(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压， T=RC为时间常数。R(s)I(s)C(s)（ b） 方 块 图当初始条件为零时，其传递函数为：C ( s) 1 G( s) ? ? R( s) Ts ? 1R(s)（ c） 等 效 方 块 图C(s)这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。2.一阶系统的单位阶跃响应? 设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数：r (t ) = 1(t )单位阶跃函数的拉氏变换为：R(s) = 1/ s则系统的输出由传递函数，可知：1 1 1 T C ( s) ? G ( s) R( s) ? ? ? ? Ts ? 1 s s Ts ? 1对上式取拉氏反变换，得：c(t ) = 1- e , t ≥0-t T一阶系统时域分析(单位阶跃响应）Φ(s) =?=5% ts=3T 1 ?=2% ts=4T单 位 阶 跃 响 应0.632k Ts+1 0.5h(t)=1-e-t/T(画图时取k=1,T=0.5)h?(0) ?1 Th(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) h(4T)=0.982h(∞) 0 0.5 1 1.5分析：一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零， 以指数规律上升到终值的曲线。 其响应为非周期响应，具有以下两个重要特点： 1. 可以用时间常数T去度量系统输出量的数值； 2. 响应曲线在 t&0 时的斜率为1/T ，并随时间的推 移下降。性能指标分析：1.动态性能指标：由于响应曲线没有超调，所以不需 要考虑峰值时间和超调量。 延迟时间： td = 0.69T上升时间： tr = 2.20T 调节时间： ts = 3T (5%误差带） 2.稳态性能指标： 稳态误差ess 系统的实际输出c(t)在时间t 趋于无穷 大时，接近于输入值，即：ess ? lim [c(t ) ? r (t )] ? 0t ??3.一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1， 输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即：g (t ) = L- 1[G(s)]这时，系统的输出称为脉冲响应记作g(t)， 因为: 1 C ( s) = Ts + 1 其表达式为： t 1 -T c(t ) = e , t ≥ 0 T一阶系统时域分析 （单位脉冲响应) g(t)=2 单 位 脉 冲 响 应1 Tt eT(画图时取k=1,T=0.5)g(0) ?1 T1 T2g?(0) ? ?0.54.一阶系统的单位斜坡响应当输入信号为理想单位斜坡函数 R(s) = ， 1/ s 2 输出响应为：1 1 C ( s ) = G ( s ) R( s ) = ? 2 Ts + 1 s1 T T + 2 s s 1 + Ts1 t T2对上式求拉氏反变换，得：c(t ) = t - T (1- e-1 t T) = t - T + Te注：前两项是稳态分量，后一项是瞬态分量。一阶系统时域分析 （单位斜坡响应）Φ(s) =k Ts+1c(t)=t-T+Te-t/T①一阶系统能跟踪斜坡输入 信号。稳态时，输入和输出 信号的变化率完全相同单 位 斜 坡 响 应 0Tc (t )?②由于系统存在惯性，从 0 上升到1时，对应的输出信 号在数值上要滞后于输入信 号一个常量T，这就是稳态 误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以 加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号的稳 态误差。0.55.一阶系统的单位加速度响应1 2 1 r (t ) ? t ? R( s) ? 3 2 s1 1 1 T T2 T2 C ( s) ? G ( s) R( s) ? ( ) 3 ? 3? 2? ? 1 Ts ? 1 s s s s s? T 1 ? t 1 2 2 c(t ) ? t ? Tt ? T (1 ? e T ) (t ? 0) 2e(t ) ? r (t ) ? c(t ) ? Tt ? T 2 (1 ? e1 ? t T)上式表明：跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此：一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。一阶系统对典型输入信号的响应输入信号 时域 输入信号 复域 输出响应t 1 ?T e T传递函数微 分 ?? (t )1(t )11 s 1 s2(t ? 0)? t T1? et ?0? t T微 分 ?1 Ts ? 1t1 2 t 2t ? T ? Tet ?01 s3t ? 1 2 2 t ? Tt ? T (1 ? e T ) t ? 0 2等价关系： 1.系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 2.系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数 由零初始条件确定。3-3 二阶系统的时域分析? 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方 程的控制系统，称为二阶系统。 ? 研究二阶系统的意义： 1.在控制过程中，二阶系统的典型应用极为普 遍； 2.不少高阶系统的特性在一定的条件下可用二 阶系统的特性来表征。? 1．二阶系统的数学模型?二阶系统的方框图: 相应的标准形式：2 ?n Gc (s) ? s(s ? 2??n )??开环传递函数： 闭环传递函数：??自然频率（无阻尼震荡频率） ----n ----? 阻尼比（相对阻尼系数）?n 2 C ( s) ?( s ) ? ? 2 R(s) s ? 2??n s ? ?n 2例： 前面学过的RLC无源网络。1 1 LC G ( s) ? ? LCs 2 ? RCs ? 1 s 2 ? R s ? 1 L LC ? ? ? ? R C 2 s ?2 2 L 1 ? ? LC ? 1 ? s?? LC ?21 ? ? LC ?2?其中：?n ?1 R C ,? ? LC 2 L2．二阶系统的单位阶跃响应由二阶系统的传递函数可知，二阶系统特征根的性质 取决于阻尼比值的大小。随着 值不同，系统的极点 ? 分布也不同。 下面就不同阻尼值的单位阶跃响应响应分别加以说明：s1， 2 ? ???n ? ?n ? ? 121. ? ? 0 两个正实部的特征根，系统不稳定； 0 2. ? ? 一对纯虚根，等幅震荡 无阻尼； 3. 0 ? ? 一对有负实部的共轭复根 衰减震荡 欠阻尼 ?14. 5.? ?两个相等的负实根 1? ?两个不相等的负实根 1临界阻尼； 过阻尼。（1）欠阻尼响应0 ? ? ?1系统的特征根： s 若令 :1， 2? ???n ? j?n 1 ? ?---衰减系数2? ? ??n?d ? ?n 1 ? ? 2 ---阻尼振荡频率则：s1， 2 ? ?? ? j?d? 在单位阶跃响应下 R ( s ) = 1 ，系统响应：s?n 2 1 C ( s ) ? ?( s ) R( s ) ? 2 ? 2 s ? 2??n s ? ?n s s ? ??n ??n 1 ? ? ? 2 2 s ( s ? ??n ) ? ?d ( s ? ??n ) 2 ? ?d 2对其求取拉氏变换：c(t ) ? 1 ? e 1??? n t[cos?d t ??1??2sin ?d t ]??? 2 t 1n t ( 1 ?? ?? ? 1 ? e ? cos ?d t ? ? sin ?? t) ) n d h(t ) ? 1 ?2 e sin( ? t ? d 2 1?? 1? ?其中： ? ? arctg1?? 2?? arccos ?欠阻尼二阶系统单位阶跃响应?nj2 ?n ? (s ) ? 2 2 s ? 2? ?ns ? ?nβ? ? ?ncosβ=ξ00 & ξ&1时：s1, 2 ? ? ? ? n ? j?n 1 ? ?2?n 2 1 C ( s ) ? ?( s ) R( s ) ? 2 ? s ? 2??n s ? ?n 2 s s ? ??n ??n 1 ? ? ? s ( s ? ??n )2 ? ?d 2 ( s ? ??n ) 2 ? ?d 2h(t ) ? 1 ? 1 1 ? ?2 e ? ??n t sin( ?d t ? ? )
(２) 临界阻尼（?=1）s1,2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1 ? ??n系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。2 2 X o (s) ?n ?n 传递函数 ? ( s ) ? ? 2 ? 2 X i ( s ) s ? 2??n s ? ?n ? s ? ?n ?22 ?n 1 X 0 ( s) ? ?( s) X i ( s) ? ? 2 ? s ? ?n ? s单位阶跃响应?n 1 1 ? ? ? s s ? ?n ? s ? ?n ? 2xo (t ) ? 1 ? ?nte??nt ? e??nt ? 1 ? e??nt (1 ? ?nt ) (t ? 0)xo(t) 1临界阻尼二阶系统 单位阶跃响应曲线0t临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1 的非周期上升过程。（3）过阻尼响应系统的特征根：S1, 2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1wn 2 1 C ( s ) = 系统的响应为： ( s + 1/ T1 )( s + 1/ T2 ) s其中： T1和T2被称为过阻尼二阶系统的时间常数， 且T1&T2。T1 = 1 wn (x + x 2 - 1)- t /T1, T2 =1 wn (x - t /T2x 2 - 1)则输出的拉氏变换为：e e h(t ) = 1+ + T2 / T1 - 1 T1 / T2 - 1过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非 周期上升过程，但过渡时间较临界阻尼长。 特点：1.响应特征里包含有两个单调衰减的指数项，其代数和绝不会超过稳态值1，是非振荡的. 2.响应速度由两个时间常数共同决定。(4) 无阻尼情况（ ?=0）s1,2 ? ???n ? ?n ? ? 1 ? ? j?n2系统具有一对纯虚根极点。 传递函数 系统响应2 X o ( s) ?n ?2 G( s) ? ? 2 ? 2 2 X i (s) s ? 2??n s ? ?n s ? ? 2?n 2 1 1 s X 0 ( s) ? G( s) X i ( s) ? 2 ? ? ? 2 2 2 s ? ?n s s s ? ?n单位阶跃响应x0 (t ) ? 1 ? cos ?nt系统响应曲线为无衰减的周期振荡，振荡频率为 ?n二阶系统单位 阶跃响应定性分析? ?( s) ? 2 2 s ? 2??n s ? ?n2 n1 1ξξ ＞ ＞1 1s1, 2t ?Tt ? ?? s ? s ? 1 2 n T2 1 e e ξ ＝ 1 h(t ) ? 1 ? T2 ? T1 过阻尼 ? 1 T1 T2 ? 12 j ?T?? ? ? ? ? 11 ξ? ＝ Tn n 02 1jj00 j临界阻尼h(t ) ? 1 ? (1 ? ?nt0 )e??nt2s ? ? ? ? ? j ? 1 ? ? j 1 , 2 n n 0 ＜ ξ ＜ 1 ξ ＝ 0 0＜ξ＜1 0h t) ? ξ(＝ 01 ? e???nt 1? ?2j j 00 jsin( t ? ?) 欠阻尼 s1? , 2d ? ? j?n0? t h(t ) ? 1 ? cos 零阻尼 n2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00200400600800100012001400图表示了二阶系统在不同ξ 值瞬态响应曲线 由图可见， ξ 值越大，系统的平稳性能越好，超调量越小； ξ 值越小，输出响应振荡越强，振荡频率越高。 ξ＝0时，系统为等幅振荡，不能正常工作，属于不稳定系统在欠阻尼系统中，ξ=0.5-0.8时，系统有比较理 想的响应曲线，这时瞬态响应时间短，且系统振 荡适度。因此一般希望二阶系统的阻尼比设计在 这一范围内。 对于某些情况则需要采用过阻尼系统，如 大惯性的温度控制系统。 对于那些不允许振荡而又要求响应较快的 系统，如仪表指示和记录系统，则采用ξ=1的 临界阻尼系统。3．欠阻尼二阶系统的动态过程分析? 在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的 系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快 速的响应速度和较短的调节时间。二阶欠阻尼系统单位阶跃响应：x0 (t ) ? 1 ?e???n t1? ? 2sin(?d t ? ? )Im j ?d ?n ? - ??n - j ?d Re?d ? ?n 1 ? ? 21? ? 2阻尼振荡频率 阻尼角? ? arctan?（1）上升时间tr对有振荡的系统 ，响应曲线从0第一次上升到终值 所经过时间。2 ? 1 ? ? 当t=tr时, xo (tr ) ? 1 1 ? 1 ? sin ? ?d tr ? arctan 2 ? ? 1? ? ?e???ntr? ? ? ?1? ? 2 ? 0 e?d tr ? arctan???ntr? 1? ? 2 ? 0 ?? sin ? ?d tr ? arctan ? ? ?1? ??0 ? ?1? ? 2?? 1? ? 2 ? ? ? arctan ? ? ? tr ? 2 ? ? ?n 1 ? ? ?? 1 ?? (? ? ? ) ? ?d ?由此可见，当 ξ 一定时，tr 与 ωn 成反比； 当ωn一定时，tr 随 ξ 增大而增大。（2） 峰值时间 tp指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间。dx0 (t ) ??n ???nt p ?d e n p ?0? e sin(?d t p ? ? ) ? cos(?d t p ? ? ) ? 0 dt 1? ? 2 1? ? 2??? t?d ? tan(?d t p ? ? ) ? ? tan ? ? ?d t p ? n? ??n? ? tp ? ? ?d ?n 1 ? ? 2n = 1时出现第一次峰值当 ξ 一定时，tp 与 ωn 成反比；当ωn一定时，tp 随 ξ 增大而增大。（3） 超调量当 t = tp 时，输出 xo(t)为最大值，而单位阶跃响应的稳 态值为1M p ? xo (t p ) ? xo (?)? ???n ? ? ?d ? ? ? ? e 2 ? ?1 ? ( 1 ? ? cos ?d ? ? sin ?d )? ?1 2 ?d ?d 1 ? ? ? ? ? ??e???n? ?n 1?? 2?e???1?? 2最大超调量?%仅仅与阻尼比 ? 有关，?越大，则?%越小。（4） 调节时间 ts 瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值??%允 许误差范围内的最小时间。 即当 t &= ts 时，xo (t ) ? xo (?) ? ?? xo (?)通常由响应曲线的一对包络线近似计算。xo(t)在整个瞬态响应过程中总包络在这对曲线内，同时包络线对称于稳态分量。h(t)由包络线求调节时间ts1?1 1? ? 2e ? ? ?nt它大于实际值2?? ? h(? ) ? 5% 由此可得： ? ? h(? ) ? 2%1?1 1? ? 2e? ? ?n t11 ? ?2e ? ??n t ? ?ts令h(t ) ? 1 ?1 1? ? 2e ? ? ?nt sin( ?d t ? ?)中的sin( ?d t ? ?) ? ?1求取调节时间可用近似公式：tS ? 3T ? tS ? 4T ? 3??n4, (? ? 0.68) , (? ? 0.76)? 5%误差带 ? 2%误差带??n当? 大于上述值时，可采用近似计算公式 1 tS ? （6.45?－1.7） 或?ntS ? 3.5T ?3.5??n? 5%误差带（5）延迟时间 td指输出响应第一次达到稳态值的50%所需时间。xo (td ) ? 0.51?e???n td 21? ?sin(?d td ? ? ) ? 0.5 ?td ?1 ? 0.7??n(0 ? ? ? 1)（6）稳态误差ess的直接计算当 r (t ) ? 1h(t ) ? 1 ?1 1?? 2e???nt sin(?d t ? ? )? ess ? lim e(t ) ? lim[r (t ) ? c(t )]t ?? t ??? limt ??1 1?? 2e???nt sin(?d t ? ? ) ? 0或者：利用终值定理求稳态误差ess ? lim e(t ) ? lim sE ( s) ? lim s( R( s) ? H ( s))t ?? s ?0 s ?0? 总之，通过上述对调节时间、超调量与阻尼比之 间关系的比较，可以得出如下结论：调节时间、超调量对阻尼比的要求是相互矛盾 的，即阻尼比的选择，无法同时满足调节时间、超 调量比较小的要求。工程上选取 计依据。x = 作为系统性能最佳的设 = 0.7072 2? 例1 设控制系统结构图如图所示，如要求系 统 ? p ? ? % ? 20,%, 试确定系统参数 和 t p ? 1s ? Kt，并计算单位阶跃响应的特征量 td , t。 r , tsK解：由图知，系统的闭环传递函数为：C ( s) K = 2 R( s) s + (1 + K t ) s + K求解过程如书P78 例3-14 过阻尼二阶系统动态性能分析 j2 ?n ? (s ) ? 2 2 s ? 2? ?ns ? ?n-be? bt-a0s1,2 ? ???n ? ?n ? ? 12j-b ???n -a 无零点的过阻尼二阶系统阶跃响应无振荡无超调0e? atξ不变时,ωn越大，调节时间ts越小ωn不变时,ξ越大，调节时间ts越大0?n t s0.707 1?整体而言-a点离虚轴越远越快！? ? ?( s ) ? 2 ? 2 1 s ? 2??n s ? ?n ( s ? T )( s ? T1 )2 n 2 n1 2调节时间ts的计算??T1 1? T 2因此ζ与自变量1/T1和1/T2的关系为延迟时间td的计算1 ? 0.6? ? 0.2? 22T1 T2当T1≥4T2，系统可等效为一阶系统，取ts =3 T1td ??n1 ? 1.5? ? ? 2上升时间tr的计算tr ??n5.二阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡函数1 R( s) ? 2 s时，由传递函数?n 2 C ( s) ?( s ) ? ? 2 R(s) s ? 2??n s ? ?n 2可得到输出量的拉氏变换式为：?n 2 1 C ( s) ? 2 ? 2 2 s ? 2??n s ? ?n s1 2? / ?n 2? / ?n ( s ? ??n ) ? (2? 2 ? 1) ? 2? ? s s s 2 ? 2??n s ? ?n 2欠阻尼单位斜坡响应c(t ) ? t ? 2?0 ? ? ?1e???nt sin(?d t ? 2? ) t ?0?n?1?n 1 ? ? 22?误差响应ess (?) ? lim e(t ) ?t ?0调节时间：?nts ? 3??n稳态误差和调节时间，表示了欠阻尼二节系统的 单位斜坡响应性能。 可知：减小系统的阻尼比，可以减少系统的稳态 误差，但是最大偏离量会增大，调节时间会加长， 从而动态性能恶化。? 注意：在比例系统中，通常只有增益可以调整，要 同时满足稳态和动态两方面特性的要求很困难，这 是因为：?1.改变开环增益就相当于改变系统的阻尼比的数值。 但是阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差 对阻尼的要求正好相反。?2.即使能够找到合适的开环增益，满足上述稳态和动 态要求，也不可能满足系统在扰动作用下的稳态误差 的要求。 3.在高精度控制系统中，需要采用高增益使死区、间 隙和摩擦等非线性因素的影响减到最低程度，因此不 能降低开环增益来换取较小的超调量。 基于上述原因，需要采用其他控制方式，以改善系 统的动态性能和稳态性能。??6．二阶系统性能的改善在改善二阶系统性能的方法中，比例－微分 控制和测速反馈控制是两种常用方法。（1）．比例-微分控制R(s)―E( s)12 ?n s(s ? 2?? n )C(s)Td s? E(s)是误差信号，Td是微分器的时间常数。输出量同时 受误差信号及其导数（速率）的双重作用。因此比例 微分控制是一种早期控制，可在出现位Z误差前，提 前修正从而达到改善系统性能的目的。R(s)―E( s)12 ?n s(s ? 2?? n )C(s)Td s?n (Td s ? 1) (Td s ? 1)?n 2 ?n 2 (Td s ? 1) K (Td s ? 1) C ( s) 2? G ( s) ? H ( s) ? ? ? ? s E ( s) s ( s ? 2??n ) 2?? s( s( s 2??n ? 1) s( s 2??n ? 1) ? 1) n 2??nK??n 2?称为开环增益?n , ? 有关2闭环传递函数为1 Td ?n (s ? ) 2 ?n (Td s ? 1) Td G( s) ?( s ) ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? G(s) s ? 2??n s ? Td ?n s ? ?n s ? (2??n ? Td ?n )s ? ?n1 Td ?n (s ? ) 2 ?n (Td s ? 1) Td ?( s ) ? 2 ? 2 2 2 2 2 s ? 2??n s ? Td ?n s ? ?n s ? (2??n ? Td ?n )s ? ?n2T? Td ?n ? 2? ?n ? ? d n 22 ' '?d ? ? ? ? ' ? ? ? Td ?n2令1 z? Td?n 2 ( s ? z ) ?n 2 (s ? z) ?( s ) ? ? ? z ( s 2 ? 2?d ?n s ? ?n 2 ) z ( s 2 ? 2?d ?n s ? ?n 2 )结论 ?可通过适当选择微分时间常数 Td ，改变 ?d 阻尼的大小; ?比例－微分控制可以不改变自然频率?n，但可增大系统的阻尼比; ?由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， 1 z? Td 故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。? PD控制对性能的影响： ? 可以增加系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降， 调节时间缩短，不影响常值稳态误差及自然频率。 ? 微分器对噪声信号，特别是高频噪声有放大作用， 在输入端噪声信号较强的情况下，不宜采用PD控 制。(2)测速反馈控制Kt : 为与测速发电机输出斜率有 关的测速反馈 系数。 (电压/单位转速)R(s)―E( s)―2 ?n s(s ? 2?? n )C(s)Kt s系统的开环传递函数:?n 2 s( s ? 2??n ) ?n 2 G( s) ? ? 2 2 ?n s ? (2??n ? ?n 2 Kt ) s 1? Kt s s( s ? 2??n )?n 2 1 ? ? 2 s 2 ?? ? ? n n Kt s( ? 1) 2??n ? ?n 2 Kt开环增益：K?2? ? K t?n?n闭环传递函数：wn 2 F (s) = ＝ 2 2 1 S + 2 x w S + w 2 2 ξ t n n s + 2(x ξ + k t wn )wn s + wn 21 式中： ξxt = x ξ + kt w n 2wn 2?n 2 1 G( s) ? ? 2 s 2 ?? ? ? n n Kt s( ? 1) 2??n ? ?n 2 Kt?n 2 K? 2??n ? ?n 2 Kt相应的闭环传递函数，表示为：令2?t?n ? 2??n ? Kt?n 21 ? t ? ? ? K t ?n 2?n 2 G( s) ?( s ) ? ? 2 1 ? G(s) S ? (2??n ? Kt?n 2 )S ? ?n 2结论 ①测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统 在斜坡输入时的稳态误差; ②测速反馈不影响系统的自然频率?n 不变;③可增大系统的阻尼比 ?t ? ? ? 1 2 Kt?n ④测速反馈不形成闭环零点，测速反馈与PD对系统动 态性能的改善程度是不相同的;?d 在0.4 ~ 0.8之间， ⑤设计时， 可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差.? (3). 比例－微分控制与测速反馈控制的比较(1)附加阻尼来源： 比例－微分控制的阻尼作用产生于系统的输入 端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用 来源于系统输出响应的速度，因此，对于给定的 开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态 误差值。? (2)使用环境： 比例－微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统 输入端噪声严重时，一般不宜选用比例－微分控制， 同时为优化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测 速反馈对系统输入端噪声有滤波作用，对系统组成元 件没有过高的质量要求。? (3)对开环增益和自然频率的影响： 比例－微分控制对系统的开环增益和自然频率均无 影响，但测速反馈会降低开环增益。 因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要 求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系 统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起 系统共振。? (4)对动态性能的影响： 比例－微分控制相当于在系统中加入实零点， 可以加快上升时间，在相同阻尼比的条件下，比 例－微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制 系统的超调量。3.4 高阶系统的时域分析设高阶系统的闭环传递函数为bm s m ? bm ?1 s m ?1 ? ... ? b0 ?( s ) ? a n s n ? a n ?1 s n ?1 ? ... ? a0假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数零点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为C ( s ) ? ? ( s ) R( s ) ?qKr ? (s ? Z j )j ?1 rm2 2 ( s ? P ) ( s ? 2 ? ? s ? ? nk ) ? i ? k nk i ?1 k ?1?1 s式中n ? q ? 2r1. 高阶系统的单位阶跃响应系统单位阶跃响应的拉氏变换为C ( s) ? ?( s) R( s) ? Kr ? (s ? Z j )j ?1 2 2 ( s ? P ) ( s ? 2 ? ? s ? ? ) ? i ? k nk nk i ?1 k ?1 q r m1 ? s式中n ? q ? 2r将上式展开成部分分式，得?0 ?i C ( s) ? ?? ?? s i ?1 s ? P k ?1 iq rBk ( s ? ? k ? nk ) ? C k ? nk 1 ? ? k s 2 ? 2? k ? nk s ? ? 2 nk2对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条 件下的单位阶跃响应为C (t ) ? ?0 ? ? ?i e pit ? ? ?k e?? k ?nk t cos(?nk 1 ? ? 2 k ? t )i ?1 k ?1 q r? ? Ck e?? k ?nk t sin(?nk 1 ? ? 2 ? t )k ?1rt?01.由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节） 的响应函数组成 2.输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为 系统响应的稳态分量 3.传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的 瞬态分量。 4.闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快， 系统的调整时间也就较短。5.闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号 （式中系数Bk）；6.所有闭环的极点均具有负实部,闭环极点均位于S 左半平面的系统，称为稳定系统 ； 7.过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入 量（控制量）有关 。附加零点对过阻尼二阶系统的影响无振荡有超调j 0结论：ts可能大了可能小了 上升时间减小1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显附加零点对欠阻尼二阶系统的影响j 0依 旧 论 结分子分母同阶的二阶系统2 ?( s) ? 2 s ? 2s ? 222(s ? 1) ? (s ) ? 2 s ? 2s ? 213 与 1 的ts相同32(s ? 1)2 ?( s) ? 2 s ? 2s ? 2增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。附加极点对系统的影响j0结论1：增加极点增加了阻尼结论2： 增加的极点越靠近原点 增加阻尼的作用越明显2. 高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析? 高阶系统的瞬态特性? 主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的 极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数 极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有 极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对） 极点就称为高阶系统的主导极点。? 高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。 ?在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择 这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，统。3.5线性系统的稳定性分析稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常 运行的首要条件。实际的控制系统在运行中，总会受到外界和内 部因素的扰动。如果系统不稳定，那么任何微小的 扰动都会使系统偏离原来的平衡状态。 分析系统的稳定性和提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。1．稳定性的概念? （1）稳定的基本概念： ? 任何系统在受到干扰作用后都会偏离原平衡状态， 产生初始的偏差。 当干扰作用消失后，系统能够恢复平衡状态，则 系统是稳定的。 若干扰消失后，系统不能回复到平衡状态，而且 偏差越来越大，则系统是不稳定的。d ↓g c boaa ↓g 平衡点 a 的稳定域单摆稳定的平衡点 ?大范围稳定的系统? ?不稳定的平衡点 ?小范围稳定的系统?对于稳定的线性系统：必然在大范围和小范围 内都稳定； ?非线性系统可能出现小范围稳定而大范围不稳 定(2)稳定性定义： 若线性控制系统在初始扰动的影响下，其 动态过程随时间的推移逐渐衰减，并趋于零， 则称系统渐近稳定，简称稳定； 反之系统的动态过时间的推移而发散，则称 系统不稳定。2. 线性系统稳定性的充分必要条件稳定性是系统固有特性，与外界条件无关。 线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲，这时系统的输出增量为脉冲响应。这就相当于系统在扰动信号作用下，偏离平衡点的问题。lim k (t ) ? 0t ??输出增量收敛于平衡点，线性系统稳定。传递函数： A Φ(s)= S+a零极点分布图：j运动模态1 K(t)=Ae-at-a00传递函数： A1s+B1 Φ(s)= (S+a)2+b2 零极点分布图：j运动模态2K(t)=Ae-atsin(bt+α)b-a00传递函数： A1s+B1 Φ(s)= S2+b2 零极点分布图：j运动模态3K(t)=Asin(bt+α)b00运动模态4传递函数： A1s+B1 Φ(s)= (S-a)2+b2 零极点分布图：j 0K(t)=Aeatsin(bt+α)b0aΦ(s) = s-a零极点分布图：j传递函数： A运动模态5K(t) = Aeat0 a运动模态小结j j j j j00000S平面稳定区域不稳定区域根据系统稳定的定义，充分必要条件为： 闭环系统特征方程的根均具有负实部。 闭环系统的极点均位于 S 平面的左半部。线性系统稳定的充分必要条件为：1.特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负 的复数根; 2.特征方程式的根均在复数平面的左半部分;3.系统的极点均在s平面的左半部分。3.劳斯-赫尔维茨判据（1）赫尔维茨判据?设线性系统的特征方程式为? ?线性系统稳定的必要条件为： 在特征方程中，各项系数为正。?线性系统稳定的充要条件是：?由特征方程各项系数所构成的主行列式? 如果主行列式及其对角线上的各子行列式都大于零， 则系统稳定，即特征方程式的各根都具有负实部；否 则，系统不稳定。? 例1 系统方程式为? 使用赫尔维茨判断，判别系统的稳定性。? 其中子行列式? 由于D1&0，因此不满足赫尔维茨行列式全部为正的条件。属不稳定系统。D2、D3 可以不再进行计算。（2）劳斯判据 劳斯判据表现为表格形式，又称劳斯表。 根据劳斯判据，线性系统稳定的充分必要条 件是： 劳斯表中第一列各值为正。a0 S n ? a1S n?1 ? a2 S n?2 ? ? ? ? ? an?1S ? an ? 0a0 ? 0(3 ? 5将各项系数，按下面的格式排成劳斯表Sn S n ?1 S n?2 S n ?3 ? ? ? S2 S1 S0 d1 e1 f1 d2 e2 d3 a0 a1 b1 c1 a2 a3 b2 c2 a4 a5 b3b1 ? c1 ? ? ? ? f1 ? e1 d 2 ? d1e2 e1a6 a7 a4??? ??? ???c3 表中 ? ? ?a1 a 2 ? a 0 a3 a a ? a0 a5 a a ? a0 a7 , b2 ? 1 4 , b3 ? 1 6 ??? a1 a1 a1b1 a3 ? a1b2 b a ? a1b3 b a ? a1b4 , c2 ? 1 5 , c3 ? 1 7 ??? b1 b1 b1表中 b1 ? a1 a 2 ? a 0 a3 a a ? a0 a5 a a ? a0 a7 , b2 ? 1 4 , b3 ? 1 6 ??? a1 a1 a1b1 a3 ? a1b2 b1 a5 ? a1b3 b1 a 7 ? a1b4 c1 ? , c2 ? , c3 ? ??? b1 b1 b1 ? ? ? e1 d 2 ? d1e2 f1 ? e1劳斯稳定判据?如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方 程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 ?如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数， 相应的系统为不稳定。? 例2：系统特征方程式：s 4 ? 2s3 ? 3s 2 ? 4s ? 5 ? 0试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：该系统的劳斯表为s4 s3 1 3 5 ? 改变符号一次 ? 改变一次 2 4 0 2? ） （ - (1 1? 4) 4） (2 ?3 3) 2 （ ?1 1 5 0 s = 2 2 (1 ??4) 5) （ 1 4） （ -(2 2? 5） s1 =? - -6 6 1 1 s0 5由于劳斯表的第一列系数有两次变号， 所以该系统不稳定，且有两个正实部根。例3 设负反馈系统的开环传递函数为K ( s ? 1) G( s) ? s (Ts ? 1)( 2s ? 1) 确定使闭环系统稳定的 K 及 T 的取值范围。解：系统特征方程为 劳斯计算表s3 s2 s1 s0 2T 2?T [(2 ? T ) ? ( K ? 1)T ] /( 2 ? T ) K2Ts 3 ? (2 ? T ) s 2 ? (1 ? K )s ? K ? 01? K K 0 T ?0 T ? ?2 2( K ? 1) ? ( K ? 1)T ? 0 K ?0当T & 2且0 & K & (T+2)/(T-2)，闭环系统稳定； 或K &1且0 & T & 2( K + 1 ) / ( K -1 )，闭环系统稳定；? 4.劳斯稳定判据的特殊情况（1）劳斯表中某行的第一列项为零，而其余 项不为零，或不全为零。 这样计算劳斯表下一行的第一个元时，将出现 无穷大，使得劳斯判据运用无效。?例3：系统特征方程为： D(s) = s3 - 3s + 2 = 0 列 劳 斯 表：s3 2 s s11 - 3 0 2 ? 0 ∞为了克服这种困难，可以用因子 ( s + a)来乘以 原特征方程，其中 a 为 任意正数；然后再对新的 特征方程应用劳斯判据。 如用:( s + 3) 乘以原特征方程可得到：s 4 + 3s3 - 3s 2 - 7s + 6 = 0列出新的 劳斯表：s4 s3 s2 s1 s01 3 - 2/3 20 6- 3 6 - 7 0 6 0 0 0（2）劳斯表出现全零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=04 s 1 劳 s3 5 斯 2 s 6 表 s1 0 2 s0 17 5 66① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程: s2+1=0对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表第一列全大于零,所以系统稳定这是零行③ 解辅助方程得对称根:劳斯表出现零行 1,2 注意：纯虚根为重根时， 1 劳斯表何时会出现零行? 系统一定不稳定 系统不再等幅振荡，而 由综合除法或比较系数法 2 出现零行怎么办? 是振荡发散。 可得另两个根s3,4= -2,-3 3 如何求对称的根?错啦 !!! s =±j5. 劳斯判据的应用例4： 已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0 求产生纯虚根为±j1的z值和k值。 解：∵有纯虚根，∴劳斯表一定有 零行 于是有： 6000k-k2-900kz=02+30kz=0 （ 6000-k)s 辅助方程: 30s3 + ks =0s4 200 kz 11 200 kz 30 k s3 30 k 6000 - K s2 kz 30 s1 6000k-k2-900kz 零行的上两行一定成比例 s0 ∴辅助方程求导可变为: 90s2+k = 90+k =0 k = 90代入左式得:z? 197 ? 6.6 30?劳斯判据主要用于判断系统是否稳定来确 定参数的允许范围，但不能表明特征根距虚 轴的远近，为保证系统稳定，且具有好的动 态特性，希望特征根在s左半面与虚轴有一定 距离，通常称为稳定裕量。? 例5：试用劳斯判据确定系统稳定的开环增益K的取 值范围。? 解：系统的闭环传递函数：40k 40k G( s) ? ? 3 s( s ? 10)( s ? 4) ? 40k s ? 14s ? 40s ? 40k系统特征方程式： s3 ? 14s 2 ? 40s ? 40k ? 0 ? 列劳斯表： s 3s s2 11 14 560 ? 40k 14 40k40 40k 040k&0，k&0;560-40k&0，k&14 0&k&14s0上例若要求闭环系统极点，全部位于S=-1垂线之左，K 应取何值？ 令s=z-1 代入原特征方程：( z ? 1)3 ? 14( z ? 1) 2 ? 40( z ? 1) ? 40k ? 0 ?? z 3 ? 11z 2 ? 15 z ? (40k ? 27) ? 0列 劳 斯 表：z z z z3 2 1 01 11 165 ? (40k ? 27) 11 40k ? 2715 40k ? 27 040k-27&0 , 165-(40k-27)&00.675&k&4.8? 本节小结：? ? ? ? 稳定性的定义 系统稳定的充要条件 系统稳定的判别方法 劳斯判据的应用3.6 线性系统的稳态误差系统稳定是前提 动态性能 控制系统的性能 稳态性能 ---稳态误差 e ss附加稳态误差稳态误差的不可避免性摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素原理性误差输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度)无差系统： 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。 有差系统： 在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。 本节主要讨论 系统结构--系统类型 输入作用方式 原理性稳态误差的计算方法1 误差的定义R(s) B(s)E(s)G(s)H(s)C(s)R(s) C(s)E(s)G(s)C(s)输入端定义：误差E(s)=R(s)-C(s)N(s)1 ? R( s ) E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s) 1 ? G(s) H (s)R(s)输出端定义：R( s ) R(s)1 @ ?H E(s)=C = -C(s) 希-C ( s实 ) 1? G ( s ) H (s ) H(s)G1(s) H(s)G2(s)C(s)R(s)@ E(s) @ G(s) H(s) C(s) 1 R(s) H(s)2 ? 希-C实 Cn ( s) En(s)=C = CC (s) N?G 1 ? G1G2 H2 求稳态误差的方法终值定理，求由输入产生的稳态误差。输入形式ess (?) ? ess ? lim sE ( s) ? lims ?0E ( s ) ? ? e ( s ) R( s ) ?sR( s) s ?0 1 ? H ( s )G ( s )R( s ) 1 ? H (s)G(s)R(s) B(s)E(s)G(s) H(s)C(s)结构形式公式条件：sE (s) 的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统 是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的 系统结构 。求图示系统的稳态误差ess 。N(s)R(s) 1 0.2s+1 2 C(s) 2 s(s+1)因为系统稳定, ∴essr=slimsEr(s)=→01 4令r(t)=0, En(s) = -Cn(s)其中 r(t)=t, n(t)= -1(t)解： 令n(t)=0,=2(0.2s+1) s(s+1)(0.2s+1)+4.1 s1 2Er(s)=R(s)-B(s) s(s+1)(0.2s+1) = s(s+1)(0.2s+1)+4essn=limsEn(s) =s→0.1 s2总误差ess= essr+ essn ∴ess= 1 + 1 = 3 2 4 43 系统型别与开环增益设开环传递函数G(s)H(s)= 注意：s → 0时，G0H0一定→1 此时的k为开环增益(? s ? 1) ? km i ?1 n ?? iG0H0s ? ? (T j s ? 1) j ?1其实k ? lim s ? G(s)H(s)s?0sν表示开环有ν个极点在坐标原点ν= 0 ν= 2 称为0型系统 称为Ⅱ型系统 ν= 1 ν= 3 称为Ⅰ型系统 称为Ⅲ型系统典型输入下的稳态误差与静态误差系数R(s) E(s)G(s)H(s)C(s)r(t)=R? 1(t)ess=RR(s)=R/s1 E(s)=R(s) 1+G(s)H(s)若系统稳定, 则可用终值定理求essk lim 1+ s→0 ν skpr(t)=V? t R(s)=V/s2ess=V k lim s? ν s s→0kvR(s) ess= lim s s→0 k 1+ ν G0H0 s3 r(t)=At2/2 R(s)=A/sess=A k 2 lim s ? ν s s→0ka取不同的ν稳态误差静态误差系数R? 1(t)R? 1(t)R0型V? tAt2/2kpkvV? tAt2/2ka1+ k∞V∞k0k0Ⅰ型Ⅱ型0 0R k lim 1+ s→0 ν sk∞A∞∞ess=0k0ess=kr(t)=V? t∞r(t)=At2/2r(t)=R? 1(t)ess=V k lim s? ν s s→0A k 2 lim s ? ν s s→0? 结论：静态误差系数，定量的描述了系统跟踪不同形 式输入信号的能力。 ? 当系统输入信号形式、输出量的希望值及容许 的稳态误差确定后，可以方便的根据静态误差系数 去选择系统的类型和开环增益。 ? 但是对于非单位反馈系统而言，静态误差系数 没有明显的物理意义。 ?? 1、kp、kυ、ka定量描述了系统跟踪不同形式输入信 号的能力，当系统的输入信号形 式、允许的稳态误差 确定后，以决定选择系统的类型。 ? 2、采用高类型的系统对提高系统的控制准确度有 利，但是当前向通道的积分环节数增多时，系统的稳 定性就成新要关注的问题。? 3、在误差分析中，只有当输入信号是阶跃、斜坡和加 速度函数时，或者是三者的线性组合时，静态误差系 数才有意义，如果是典型信号的组合输入，则根据叠 加原理，分别求出每一输入分量单独作用于系统，再 求其和。? 4、当输入信号为其他形式函数时，静态误差系数无法 应用。6 扰动作用下的稳态误差扰动不可避免 扰动稳态误差负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压 波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。 它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。N ( s) R(s) E ( s) (( ss )) G1 H ( s)控制器控制 对象C ( s)(( ss )) G2N ( s) R(s) E ( s) (( ss )) G1 H ( s) (( ss )) G2 C ( s)输出对扰动的 传递函数N(s)G1 (s)G2 (s)C(s)H(s)C ( s) G2 (s) ? N ( s) ? ? N (s) 1 ? G1 (s)G2 (s) H (s)扰动传递函数：F N ( s) = G2 ( s) C ( s) = N ( s) 1 + G1 ( s)G2 ( s) H ( s)由扰动产生的输出为:G2 (s) Cn (s) ? ? N (s) N (s) ? N (s) 1 ? G1 ( s)G2 (s) H (s)系统的理想输出为零，故扰动作用下误差为：G2 ( s) En ( s) ? 0 ? Cn ( s) ? ? N ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)扰动作用下的稳态误差为：essn sG2 (s) ? lim sEn ( s) ? ? N ( s) s ?0 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)7. 减小或消除稳态误差的措施从上面稳态误差分析可知，采用以下途径 来改善系统的稳态精度：? 1 提高系统的型号或增大系统的开环增益， 可以保证系统对给定信号的跟踪能力。但同时 带来系统稳定性变差，甚至导致系统不稳定。2. 增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益 或积分环节的个数，可以降低扰动信号引起的稳态 误差。但同样也有稳定性问题。 3. 采用复合控制，即将反馈控制与扰动信号的前馈或与 给定信号的顺馈相结合。提高系统的开环增益和增 加系统的类型是减小和消除 系统稳态误差的有效方法其他条件不变时影响系统的 动态性能 稳定性顺馈控制作用，能实现既减小系统的稳定误差， 又能保证系统稳定性不变的目的 1.对扰动进行补偿Gn (s)？N(s)R(s) + E(s)+G1 (s)G2 (s)C(s)图3-26 按扰动补偿的复合控制系统？ G ( s)nN(s)R(s) +E(s)G1 (s)+G2 (s)C(s)图3-26 按扰动补偿的复合控制系统N(s)1梅逊公式p1 ? ?G2 ( s )?1 ? 1 ?2 ? 1 ? ? 1 ? G1 ( s )G2 ( s )p 2 ? Gn ( s )G1 ( s )G2 ( s ) L1 ? ?G1 ( s )G2 ( s )Gn (s) G1 (s) -1-1G2 (s) 1C(s)C ( s ) p1?1 ? p 2 ? 2 G2 ( s )[Gn ( s )G1 ( s ) ? 1] ? ? N (s) ? 1 ? G1 ( s )G2 ( s )对应的信号流图C n ( s) ?G2 ( s)[Gn (s)G1 (s) ? 1] N ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s)分析 引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不 会影响系统的稳定性G2 ( s)[Gn (s)G1 (s) ? 1] C n ( s) ? N ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s)为了补偿扰动对系统输出的影响G2 (s)[Gn (s)G1 (s) ? 1] ? 01 Gn ( s ) ? G1 ( s)对扰动进行全补偿的条件由于 G1 ( s) 分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故上式 的条件在工程实践中只能近似地得到满足。2.按输入进行补偿Gr (s)？C(s)G1 (s)R(s)+ E(s) -按输入补偿的复合控制系统C(s) ? [ E(s) ? Gr (s) R(s)]G(s)Gr (s)？C(s)G(s)R(s)+ E(s) -E ( s ) ? R( s ) ? C ( s )C ( s) ? [1 ? Gr ( s)]G( s) R( s ) 1 ? G? s )C ( s ) ? R( s )输入信号的误差全补偿条件系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差 地复现输入量，具有理想的时间响应特性1 Gr ( s ) ? G( s)E ( s) ? 1 ? Gr ( s)G( s) R( s) 1 ? G? s )前馈补偿装置系统中增加了一个输入信号 Gr ( s) R( s) 其产生的误差信号与原输入信号 R( s) 产生的误差信号相比，大小相等而方向相反完全消除误差的物理意义减小和消除误差的方法----R(s)Gr(s) E(s) k1 T1s+1N(s)k2 s(T2s+1)C(s)s (T1s+1)(T2s+1) - k2 (T1s+1)Gr(s) 令N(s)=0, Er(s)= R(s) s (T1s+1)(T2s+1) + k1k2 令分子=0，得Gr(s)= s (T2s+1)/ k22) 按输入的稳态补偿s→0 s→01) 按输入的全补偿设系统稳定，R(s)= 1/s2 则 k2 1- S Gr(s) S essr= limsEr(s)= lim ∴Gr(s)=k1k2k2例题已知单位反馈系统开环 传递函数为G(s)，输入为 r(t)，试求稳态误差ess。解： 系统2不稳定， ∴ ess→∞ 系统3的A=2， ∴ ess=1/410 G1(s)= (0.1s+1)(0.5s+1) 7(s+3) G2(s)= s(s+4)(s2+2s+2)r3(t)=t2 r2(t)=tr1(t)=1(t)0型 Ⅰ型k=108(0.5s+1) G3(s)= 2 s (0.1s+1)Ⅱ型√ = 8/21 k=21/8 e × e =1/8 k=8 ×ess=1/11ssss解： 求图示系统的essn。n(t)=1(t) r=0 2 (0.1s+1)(0.5s+1) (1) 5 s c(t)1 5 (0.1s+1)(0.5s+1) s C(s)= s(0.1s+1)(0.5s+1)+10(1)∵系统稳定 ∴essn= -limsC(s) = -1/2 s→01 2s s C(s)= s(0.1s+1)(0.5s+1)+10 (2)n(t)=1(t)r=0 5 s c(t) 2 (0.1s+1)(0.5s+1) (2)∴essn= -limsC(s) = 0s→0几点说明 ① 增益 ② 型别 ③ 差异本章小结1. 时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作 用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系 统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能 指标来评价系统性能的优劣。 2. 二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼 ? 取值适当(如 ? ? 0.7左右)，则系统既有响应的快速 性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常 把二阶系统设计为欠阻尼。3.如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系 统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描 述的二阶系统来表征。4.稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常 系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结 构和参数，与外施信号的形式和大小无关。不用求 根而能直接判断系统稳定性的方法，称为稳定判据。 稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情 况，而不能确定根的具体数值。5.稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个 重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数 有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。 6.系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环 增益 的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法， 除了在系统中设Z校正装Z外，还可用前馈补偿的 方法来提高系统的稳态精度。
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