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函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lgx的图象如图所示．(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么．(2)以已有图象为基础，在同一坐标系中画出，，的图象．(3)从(2)的图中你发现了什么？
主讲：王士轩
(1)当底数全大于1时，在x＝1的右侧，底数越大的图象越在下方．所以，①对应函数y＝lgx，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x．(2)(3)从上图发现，y＝log2x，y＝log5x，y＝lgx分别与，，的图象关于x轴对称．
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设f(x)在(a,b)内可导,且f'(x)单调,求证:f'(x)在(a,b)内连续。最好不要简单地说是洛必达法则之类的，希望能指点导函数单调的条件怎么用。如果有思路过程更好。谢大神。。
1、区间上单调函数处处的左右极限存在，因而只有第一类间断点；2、区间上的导函数只有第二类间断点；综合1、2知f'连续。
借题主这道题来巩固一下微积分基本功……&br&&br&题主想要证明的命题，其实是下面这个命题的一个推论：&br&&blockquote&&b&命题1：在一个开区间上处处可导的函数，其导函数不可能有第一类间断点。&/b&&/blockquote&第一类间断点，指的是双侧极限都存在，但极限不相等，或相等但不等于该点处函数值的间断点。&br&与此相对的第二类间断点，指的是至少一侧极限不存在或为无穷的间断点。&br&上面这个命题换句话说，则是：&br&&blockquote&&b&命题2：若导函数在某点有单侧极限，且原函数在此点有同侧导数，则二者必相等。&/b&&/blockquote&题主的题目中，导函数的单调性保证了其单侧极限存在（单调有界必有极限），所以只要能证明命题2，就能立即得到题主要证的结论。&br&&br&而命题2可以这样证明：&br&设在点&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&处导函数的单侧（不妨取右侧）极限为&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&，即&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+c%5E%2B%7D+f%27%28x%29+%3D+A& alt=&\lim_{x \rightarrow c^+} f'(x) = A& eeimg=&1&&；&br&又设原函数在点&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&处的同侧导数为&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&，即&img src=&///equation?tex=f%27_%2B%28c%29+%3D+B& alt=&f'_+(c) = B& eeimg=&1&&。&br&由极限和导数的定义，&img src=&///equation?tex=%5Cforall+%5C%2C+%5Cvarepsilon+%3E+0& alt=&\forall \, \varepsilon & 0& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cexists+%5C%2C+%5Cdelta%3E0& alt=&\exists \, \delta&0& eeimg=&1&&，使得&img src=&///equation?tex=%5Cforall+%5C%2C+x+%5Cin+%28c%2C+c%2B%5Cdelta%29& alt=&\forall \, x \in (c, c+\delta)& eeimg=&1&&，下面两式同时成立：&br&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%7Cf%27%28x%29+-+A%7C+%3C+%5Cvarepsilon& alt=&|f'(x) - A| & \varepsilon& eeimg=&1&&；&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%7C+%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%28c%29%7D%7Bx-c%7D+-+B+%5Cright%7C+%3C+%5Cvarepsilon& alt=&\left| \frac{f(x)-f(c)}{x-c} - B \right| & \varepsilon& eeimg=&1&&。&br&&/li&&/ul&由&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/zh/%25E6%258B%%25A0%25BC%25E6%259C%%%25E4%25B8%25AD%25E5%2580%25BC%25E5%25AE%259A%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&拉格朗日中值定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，存在&img src=&///equation?tex=y+%5Cin+%28c%2Cx%29& alt=&y \in (c,x)& eeimg=&1&&，满足&img src=&///equation?tex=f%27%28y%29+%3D+%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%28c%29%7D%7Bx-c%7D& alt=&f'(y) = \frac{f(x)-f(c)}{x-c}& eeimg=&1&&，故有&img src=&///equation?tex=%7Cf%27%28y%29+-+B%7C+%3C+%5Cvarepsilon& alt=&|f'(y) - B| & \varepsilon& eeimg=&1&&。&br&而又因为&img src=&///equation?tex=y+%5Cin+%28c%2Cc%2B%5Cdelta%29& alt=&y \in (c,c+\delta)& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=%7Cf%27%28y%29+-+A%7C+%3C+%5Cvarepsilon& alt=&|f'(y) - A| & \varepsilon& eeimg=&1&&。&br&由上面两式得&img src=&///equation?tex=%7CA-B%7C+%3C+2%5Cvarepsilon& alt=&|A-B| & 2\varepsilon& eeimg=&1&&。而&img src=&///equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&&是任意小的正数，所以&img src=&///equation?tex=A%3DB& alt=&A=B& eeimg=&1&&。&br&&br&========= 扩展阅读 ===========&br&&br&命题1说，导函数可以具有第二类间断点。&br&其实，利用与上面证明类似的方法，可以证明，若原函数在某点单侧可导，则导函数在此点的同侧极限不可能为无穷。&br&所以其实命题1可以更严格地表述为：&br&&blockquote&&b&命题3：在一个开区间上处处可导的函数，若其导函数有间断点，则导函数在此间断点两侧的极限一定都不存在，且非无穷。&/b&&/blockquote&极限不存在且非无穷的典型例子就是振荡。&br&导函数具有振荡间断点的一个经典例子是&img src=&///equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Cbegin%7Bcases%7D+x%5E2+%5Csin+%5Cfrac1x+%26+x%5Cneq+0%5C%5C+0+%26+x%3D0+%5Cend%7Bcases%7D& alt=&f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac1x & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}& eeimg=&1&&&br&这个函数处处可导，在&img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&处导数为0，但其导函数&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29+%3D+2x%5Csin%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+-+%5Ccos%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D& alt=&f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&两侧都是振荡的。
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用Darboux导数介值定理
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社交帐号登录函数的连续基础问题一个函数出现了一个不连续点的话就不连续了?如果是一个不连续函数的复合函数lim与f还可以交换位置么?
沉默wan1428
是不可以 lim在前的话,极限可能不存在
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y=（x^4-3x^2-6x+13）^0.5-(x^4-x^2+1)^0.5的图像连续，那它的导函数是什么？怎么算？我用求导的那些什么法则算法算不出。
连续函数不一定可导哦,你给的直接算就行了,用链法则和加法法则,还有求导公式
你这函数完全是无理取闹
初学导数能叫你算这么复杂的函数的导数？光用链式法则就能累死
这个求导出来的结果很复杂把 考试一般都是三次函数或者ln什么的 - -
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或这个函数是连续的吗?（这函数很基础的）我知道初等函数由基本初等函数变形之类的所形成的,都是连续的函数,但x^5-3x=1也是连续函数吗?我无法判断它是否是初等函数,所以不知道是否连续.怎么办?
吴孟达飝1a1
是连续的,既不分段也无间断点啊.不连续,那肯定是某些分段函数,或某些有明显间断点或无定义点的函数,如y=1/x
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是初等函数，是连续的，自变量经过加、减、乘、除、乘方、开方运算得到的函数都是初等函数。
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